Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 2
Текст из файла (страница 2)
1.15.3. Линейные функционалы (98). 1.15.4. Билинейные и квадратичные функционалы (99). 1.155. Дифференцируемые функционалы (99). 1.15.6. Второй дифференциал функционала (101) 1.15.7. Необходимые условия экстремума (101). 1.15.8. Достаточные условия экстремума (102). 1.15.9. Изопериметрическая задача. Правило множителей (202). 1.15.10.
Общая задача на условный экстремум (103). Глава 11. Интегральные уравнения 9 О. Введение 2.0.1. Определение. Примеры (105). 2.0.2. Классификация интегральных уравнений (107). 2.0.3. Сведения об интеграле Лебега (108). 2.0.4. Последовательности и ряды ортогональных функций (112). 9 1. Интегральные уравнения Вольтерра 2.1.1.
Теоремы существования и единственности (114). 2.1.2. Метод последовательных приближений (114). 2.1.3. Связь уравнения Вольтерра с дифференциальными уравнениями (116). 2.1.4. Уравнения Вольтерра первого рода (116). 8 2. Интегральные уравнения Фредгольма второго рода 2.2.1. Теоремы существования и единственности решения (117). 2.2.2. Метод последовательных приближений (118). 2.2.3. Уравнения Фредгольма с вырожденным ядром (119). 2.2.4. Аппроксимация невырожденного ядра вырожденным (120). 2.2.5.
Теоремы Фредгольма (122). 8 3. Симметричные интегральные уравнения 2.3.1. Существование характеристического числа ( 1 23). 2.3.2. Ортогональность собственных функций (123). 2.3.3. Действительность характеристических чисел (124). 2.3.4. Ортогонализация собственных функций (125). 2.3.5. Количество собственных функций, соответствующих характеристическому числу, и распределение характеристических чисел (126). 2.3.6. Билинейная формула (127).
2.3.7. Теорема Гильберта — Шмидта (129). 2.3.8.Билинейные ряды итерированных ядер (129). 2.3.9. Решение неоднородного уравнения (130). 2.3.10. Альтернатива Фредгольма для симметричных интегральных уравнений (131). 2.3.11. Экстремальные свойства характеристических чисел и собственных функций (131).
8 4. Интегральные преобразования и интегральные уравнения 2.4.1. Преобразование Фурье (133). 2.4.2. Преобразование Лапласа (136). 8 5. Уравнения Фредгольма первого рода 2.5.1. Теорема Пикара (138). 2.5.2. Метод последовательных приближений (138). 2.5.3. Решение некоторых интегральных уравнений первого рода (139). 8 6. Приближенные методы решения интегральных уравнений 2.6.1. Метод последовательных приближений решения уравнения Фредгольма второго рода (140). 2.6.2. Метод механических квадратур (140).
2.6.3. Метод наименьших квадратов и метод Галеркина (141). 2.6.4. Формулы для отыскания характеристических чисел (! 42). 8 7. Некоторые нелинейные интегральные уравнения 2.7.1. Нелинейные уравнения Вольтерра (143). 2.7.2. Уравнения типа Гаммерштейна (143). 2.7.3. Бифуркация решений (144).
8 8. Сингулярные интегральные уравнения 2.8. 1. Главное значение несобственного интеграла (145). 2.8.2. Преобразование Гильберта — М. Рисса (146). 2.8.3. Сингулярное интегральное уравнение Гильберта (147). 2.8.4. Сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши (148). Глава 1П. Некоторые приложения вариационного исчисления и интегральных уравнений ч О. Введение 3.0.1.
Содержание главы (149). 8 1. Задачи о геодезических 3.1.1. Задача о геодезических в трехмерном евклидовом пространстве (149). 3.1.2. Отыскание геодезических в случае, когда поверхность задана параметрическими уравнениями (151). 3.1.3. Отыскание геодезических на римановых многообразиях (152). 8 2. Вариационнные принципы механики 3.2.1. Принцип Гамильтона — Остроградского (153). 3.2.2. Принцип наименьшего действия в форме Лагранжа и Якоби (156).
3.2.3. Принцип наименьшего действия и его связь с теорией геодезических (157). 3.2.4. Вывод уравнения малых колебаний струны (157). 3.2.5. Вывод уравнения колебаний мембраны (159). 3.2.6. Вывод уравнения колебаний стержня, заделанного на концах (160). 133 138 140 143 149 149 149 153 8 3. Задача Штурма — Лиувилля 3.3.1. Постановка задачи (161). 3.3.2. Задача Штурма — Лиувилля (162).
3.33. Формула Грина. Самосопряженные краевые задачи (163). 3.3.4, Функция Грина самосопряженной краевой задачи Штурма— Лиувилля (164). 3.3.5. Теорема Гильберта (167). 3.3.6. Эквивалентность самосопряженной задачи Штурма — Лиувилля симметричному интегральному уравнению (167). 8.3.7. Свойства собственных значений и собственных функций самосопряженной задачи Штурма — Лиувилля (168). 3.3.8. Знак собственных значений (169).
3.3.9. Неоднородная краевая задача (170). 3.3.10. Обобщенная функция Грина (170). 3.3.11. Экстремальные свойства собственных значений и собственных функций (173). 3.3.12. Метод Ритца (176). 3.3.13. Теория Якоби второй вариации в простейшей задаче вариационного исчисления (179). Литература Предметный указатель 161 181 185 Абеля задача 106 — интегральное уравнение 107 Альтернатива Фредгольма 123 — — для симметричных интегральных уравнений 131 Банаха пространство 97 Беллмана принцип оптимальности 85 Бесселя неравенство 113 Билинейная формула 127 Билинейные ряды 129 Билинейный функционал 99 Бифуркация решений 144 Больца задача 71 — 74 Вариационная задача в параметрической форме 29, 52, 57 — — инвариантная 62 — — линейная 93 — — на условный экстремум 64 — — простейшая 14 — — с подвижными концами 20 — 23 Вариационное исчисление 11, 12, 83, 85 — —, прямые методы 92 Вариация функционала вторая 15, 179 ПРЕДМЕТНЫИ УКАЗАТЕЛЬ вЂ” — первая 15 — — с переменной областью интегрирования 60 Вейерштрасса условие экстремума достаточное 53 — — — необходимое 19, 25, 32, 76 Вейерштрасса условие экстремума усиленное 69 — форма уравнений Эйлера— Лагранжа 31 — формула 32 — функция 19, 32 Вейерштрасса — Эрдмана условия 18, 64 (аналог) Вольтерра уравнение 108 — — второго рода 114, 115 — — нелинейное 143 — — первого рода 116 Галеркина метод решения уравнения Фредгольма второго рода 142 Гамильтона — Остроградского принцип 154, 155 Гамильтона — Якоби уравнение 44 Гамильтониан 41 Гамильтонова система уравнений Эйлера — Лагранжа 41 — форма уравнений Эйлера— Лагранжа 41 Гаммерштейна теорема 129 Гато дифференциал функционала 100 Геодезическая линия 152 — экстремаль 151 Геодезическое расстояние между точками 46 — — от точки до поверхности 47 Гильберта инвариантный интеграл 49 — сингулярное интегральное уравнение 147 — теорема 167 Гильберта — М.
Рисса преобразование 146 — Гильберта — Шмидта теорема 129 Голокомная связь 70 Грина формула 163 — функция самос опряжен ной краевой задачи Штурма— Лиувилля 164, 166„ 171 Данцига симплекс-метод 89 — 90 Дарбу сумма верхняя, нижняя 109 Действие по Гамильтону 154 — по Лагранжу 156 — по Якоби 157 Дифференциал Гато функционала 100 — Фреше функции !04 — функционала 99 — функционала второй 101 — — сильный 99, 101, 104 — — слабый 100 Задача Абеля 106 — Больца 71 — 74 — — акцессорная 77 — —, вторая вариация 77 — — присоединенная 77 — —, условия трансверсальности 76 — вариационного исчисления простейшая 14 — изопериметрическая 73 — Лагранжа 69, 72 — 74 — линейного программирования 88, 89 — Майера 70, 73, 74 — на условный экстремум общая 103 — о брахистохроне 1! — о геодезических 149, 151, 152 — о малых колебаниях струны 105 — об оптимальном быстродействии 80, 82, 87 — разрывная второго рода 34 — — для функционала„зависящего от нескольких функций 36 — — первого рода 34, 62 — — с подвижными концами в пространстве 37 — с подвижными концами, достаточные условия сильного экстремума 55 — 56 — транспортная 90 — Чаплыгина 72, 75 — Штурма — Лиувилля 162, 163 Изопериметрическая задача 64„66„73 — — достаточные условия экстремума 69 — —, необходимое условие Клебша 67 — —, — — Якоби 67 — — правило множителей Лагранжа 103 — —, условия трансверсальности 66 Импульс 87 Инвариантность уравнения Эйлера— Остроградского 59 Интеграл — см.
соответствующее название Интегральное уравнение 105 — — Абеля 107 — — Вольтерра — см. Уравнение Вольтерра — — неоднородное 107,122,130 — — однородное !07, 122 — — особое 146 — — приближенные методы решения 140 — 142 — — симметричное 108, 123 — — сингулярное 146 — — союзное (сопряженное) 122 — — типа 1 аммерштейна 143 — — Фредгольма — см. Уравнение Фредгольма Интегрируемость по Риману, необходимое и достаточное условие 109 Итерированное ядро, билинейные ряды 129 ,У-длина линии 46 ,У-прямая 46 ,У-расстояние 46 Каноническая система уравнений Эйлера — Лагранжа 41 — форма уравнений Эйлера— Лагранжа 41 Канонические переменные 41 Каноническое преобразование 46 Квадратический функционал 99 Квадратурная формула Чебышева 141 Кинетический потенциал 154 Класс измеримых функций 110 Классы функций 12 Клебша условие экстремума необходимое 67, 76 — — — усиленное 69 Колебание функции 109 Координатные функции 92 Координаты Лагранжа обобщенные 155 Косинус-преобразование Фурье 134 Коэффициенты Фурье 112 Кратность собственного значения 68 Кристоффеля символы первого рода 153 Критерий 84 Лагранжа задача 69, 72 — 74 — обобщенные координаты 155 правило множителей для изопериметрической задачи 103 — принцип наименьшего действия 156 — скобка 50 — функция 154 Лапласа преобразование 137 — — обратное 137 Лебега интеграл 110, 111 Лежандра условие включения экстремали в поле усиленное 50 — — экстремума необходимое 19, 24 Линейное нормированное пространство 97 — программирование $8 Линии сравнения "12,, Майера задача 70, 73, 74 — семейство экстремалей 50 Максимум функционала слабый, сильный 12 Мерсера теорема 128 Метод конечных разностей 96 — разделения переменных 161 — Ритца 92, 176 — —, модификация 94 — следов 142 — Фурье 161 Минимум функционала слабый, сильный 12 Многогранник решений 90 Многоугольник решений 88 Множество меры нуль 109 Морса теорема 69 Наклон поля экстремалей 48, 52 Неголономная связь 70 Неймана ряд 118 Неравенство Бесселя 113 Несобственный интеграл, главное значение 145 Нетер теорема 43, 62 Норма 97 — функции 112 — ядра 117 Нуль-элемент 97 Окрестность линии сильная, слабая 12, 30 — нулевого порядка 12 — первого порядка 12 Определенный интеграл Римана 108 †1 Оптимальная, политика 84 — траектория 80 Оптимальное управление 80 Ортогонализация собственных функций 125, 126 Ортогональность собственных функций симметричного ядра 123 Особый интеграл 145 Параметр интегрального уравнения 107 Параметрическое задание линий 29 Парсеваля равенство ИЗ Первый интеграл канонической системы 42 Пикара теорема 138 Поле 78 — функционала 50, 52 — экстремалей для вариационных задач с подвижными концами, примеры построений 51 — 52 — — собственное (общее) 48 — — центральное 48 Политика 84 Полный интеграл уравнения в частных производных 44 Понтрягина принцип максимума 79, 81 — 83 Последовательность ортогональная 112 ортонормированная, ортонормальная 112 —, сходящаяся в себе 97 —, — в среднем 111 Правило множителей 65 — — для задач Больца, Лагранжа, Майера 74 — — для изопериметрической задачи 103 Преобразование Гильберта — М.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
