Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 5
Текст из файла (страница 5)
). вдриапионное исчислении 1).).4 где М (х) — кусочно-непрерывная, а ч (х) — произвольная кусочноо-гл адка я фу нкц ия, Ч (х, ) = Ч (хз ) = О, с л елу ет М (х) = со пзт. Дифференцирование у равнении ( 1.1.5) п рй водит к диффер ен циа льна му уравнению Эйлера в Лагранжа Р,— — Р =О, г( дх впервые полученному в 1844 г. Эйлером и впоследствии (в 1859 г.) Лагранжем. По вопросу об истории развитии варвационного исчнслеиия с». Рыбников 18 т) Гтадкос решение >равнеьия (1! 5) ити (11 о) называется эхгс разгадаю.
3 а и с ч а н и е. терминология в курсах вариационного нсчисзевнз н, еливообразнз. так, Н. М. Гюнтер называет зкстрамалыа ливию )Еункиию), Еактически лостзвлию;цую зкстрсчу и зектомому фуккниояалу, а реюсния ураяве. ния валера — Лагранжа называет лаграюкевычи кривыии. Аналогично выводу (1.1.5) мо)кно убедиться, что зкстремаль )довлетворнет уравнению Р— у'Р . — ~ Рмох= С, (1.1.7) или, в дифференциальной форме, — [Р— у'Р ) — Р =О. с(х (1.1.8) то из (1.1.9) следует, что т~>г ь х -„— Р,.— Рхю — Р„,у 1(ш — = уь = ' .
(!.!.!О) Ьх Р'„у з) При ссылказ булез указываться автор рукавалства и номер. Например, сн. Лаврентьев и Люстерник !)1. 1.1.4. Регулярные (или иеособеииые) экстремали. Из оп- ределения производной и теоремы о среднем значении следует, что и' я, ! Рх(х+Ьх,У+А>5>г+др) — Р,(х,У,У) с(х а» о — у'= Ьх где Р„,, = Р„.
(х + В, Ьх, у+ В, ду, у + Ва Ьу), О С Во Вы В, ( 1, и аналогично опрелеляютсн Р„у„ Р „, Если в точке (х, у) зкстремали у =-у (х) Ру.у, ~О, 1.1.5! 4 1. ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА (1.1.1 1) У = )с(. ОА У ! 1. 1.5. Слу чан понижения порядка уравнения Эйлера— Лагранжа. а) Р не зависит от у, т. е. Г"' = О, тогла — Р „ = 0 лх у н, следовательно, (1.1.12) Р л (х, у') =- сопли у' б) Р не зависит ат х, т. с. Р= Р(у, у'). Уравнение Эйлера— Лагранжа имеет внд Ру — Р„.,У вЂ” Р„чнУ- =- О Зы!сна у' =г, у =-г. г, дает Р— Р. иг — Р„, лаге=О или г) (Р(у, г) — г Ры(у, г)) = О, откуда Р(У, У') — У'Рт (У, У') = соп«1.
(1.1.13) в) Р зависну лннс11на ат у', т. е. Р(х,,у, у) = А (лд у)+ -)-В(х, у) у'. Уравнение Эйлера — Лагранжа приводится к виду дА д — — — = О. Оу ах = (1.1.14) Если равенство (1.1.14) выполннется тождественно в некоторой обчасти В плоскости Оху, то Р(х, у, у') г(х= А(л, у) лх+ + В (х, у) г)у — полный дифференциал и л (у) ие зависит от пути интегрировании, имея постоянное значение для всех у=у(л).
Если же соотношение (1.1.14) выполннстся не тождественно, то ано определнет одну или несколько экстремалей. П р и и е р 1.1.1. Найти вкстрсивли «Рункцнонвлв ! г!З) — )' илу с,гл;, — 1 у( О= 1 у(0 В силу соотношенвв НД.1З) нисон у — -«- и л: лву' сони, Отсюлв виню. что рвссивтриввсный 4««г««кц««оквл нв отрсккс ! — 1, 1! нс н ест екстреивлей, т. е. глвлки«реюений урввнснив ЗЬЕ«срв †.1всрв оке (ср. стр. «31. Таким образом, в каждой точке экстремаля, в которой Ру.«л ~ О, экстремаль имеет непрерывную вторую производную. Точки экстремалн у=у(х), в которых Ры „=юО, называ!отса регуля)лны«ги.
Если вес точки экстрсмали регтлирны, то сама экстремаль называется регулярной нлп неогооеннс«г!. Для регулярных зкстрсмалеп «рави«нию Эйлера — Лагранжа можно придать вид 16 ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ П.1,6 П р и и е р 1.1.2. Найти зкстремяли Функциоивлв а з (см, зялвеу о брялистотроне. стр.
10. В силу соотиоюенля 11.1,121 имеем »11 + у з) =- 2К. О Полствиовкя у' = с1Π— ' дает 2 , б В,ртйзб » 2К выл — К'П вЂ” сов ';), у' 2К сов — юп — —, е1пз 2 2 ' 2 ах' 2 2К' х К!', — взпт) + С. Танин обрезом, в переметрич*сном виде вкстремвль зв(естся уревнениями .с К(Π— з1п И+С, » К(1 — соз О), Найденные линии являю~се чянловдама.
1.1Я. Условия Вейерштрасса — Эрдмана. Ломаные экстре- мали. Если уравнение Эйлера — Лагранжа имеет кусочно-гладкое решение, т. е. У=у(х) имеет )тловые точки (У (х) терпит раз- рыв), то в каждой точке е, являющейся абсциссой угловой точки, выпотняютсл условия Вейсрштрасса — Эрдмана: Р,(с, у(с), у'(с — 0))=Ре,(с, у(с), У'(с+О)), (1.1.15) Р(е, у(с), У (с — О)) — У (с — О) Рк (с, у(с), у' (с — О)) = = Р(с, У(с), У'(с+ О)) — У (с+О) Рт, (с, У(с), У (с+О)), (1.!.16) вытекающие иэ уравнений (!Л.5) и (1.1.7) в силу непрерыеноств входящих в зги формулы интегралов. Из соотношения (!.1.10) следует, что если Р, и =ж О, а ай«: Ь, у Эи то уравнение Эйлера — Лагранжа имеет только гладкие решения, Линии, составленные из кусков зкстреиалей и удовлетво- ряющие в угловых точках условиям Вейерштрасса — Эрлмана, называются лежалыми эксюрежаляжи.
!1о поводу ломаных зкстремалей гм. и. 1.6.1. Геоиетричесяае толковлиие условий Вейериюрвссв — Эрлмзнз см, Атае- вер !11. 1'ельевид в Фомин Рй 1.1Л. Второе необходимое условие экстремума '- условие Лежандра. В случае минимума функционала (1.1.1) должно вы- полняться условие: ЬвУ)0. Из (1.!Л) для второй вариации вы- текает, что во всех точках линии, доставляющей минимум, Р 5«(х, у, У))0, хссах юхю (1.1.17) Предполагая противное, можно построить такую слабую окрестность ли- нии у х), в которой 62(у) СО.
нв итого. если Руэу(х, у(е ), у'(хе))(0, х (х (хюдостаточно поло- жить в1пз я (х — хо) при 1« — хв ! сд А, Ч(.т) . А О при ! х — «в)> А и выбрать А яостаточво малым. !.1.в) 8 1, простит!шля вдддчд В се у чае максимума на вкстре мали должно выполняться н арене нств о Р, . (х, у, у') =О, х,а=хм= х,. (1.1.18) Устовие (1.1.17) (или (1.1.18)) называют необходимым условием 7ежандра для минимума функциояала (1.1.1).
Условие Лежандра было найдено в 1788 т. вывод см. лаврентьев и люстериик !!1, !21, в также др. руководства, 1.1.8. Третье необходимое условие внстремума — условие Вейерютрасса. Необходимое условие слабого минимума является в то жс время и необходимым условием сильного минимума, но нс обратно. Если линия у = у (х) доставляет сильный минимум (максимум) фтнкцноналу (1,1.1), то функция Вейеритюрасса Е(х, у, у', А) = Р(х, у, д) — Р(х, у, у') — (д — у') Р, (х, у, у') (1,1.19) при произвольных конечных значениях й во всех точках (л; у) зкстреыадп неотрнцательна (неположнтельна). па поводу доквтет*льствв см, нвпрпм р. лаврентьев — люстернин 1Ц. 121, Б л и се 1!, 'Условие лежандра мо,кет быть получена в виде спедствьв условие Веаерютрвссв. Последнее было иве!дена в !872 т 1.1.9.
Четвертое необходимое условие вкстремума — условие Якоби. Есдн у=у(х) доставляет минимум функционалу (1.1.1), то ке ееl= 1 [рту ч'+2Р, магд'+Рууч1ах)0, (1.120) кт п(х,) =ч(хе) =О. (1.!.2! ) Те нз функций ч(х), для которых алл'=0 и выполняются условия (1.1.21), доставляют минимум функционалу Ьвд Уравнением Эйлера — Лагранжа для последнего является уравнение РезЛ+ Р ~,,Л' — д (Руу,в+ Рп„,т) =О, (1.1.22) называемое уравнением Якоби. Прн выполнении условия Лежандра; Рп л р'О, х, <х<хю из условий т (л,) = ч' (х,) = 0 следует, что и (х) = О.
Точки 01, (х, у (х,)) и йр (х,',.у(х,')) на зкстремааи у =у(х) называются гойрянсенными, если Л(х,)=ч(хт)=0, причем Ч(х)ф0, х,< < х < х,'. У с по в не Якоби. Если зкстремаль у=у(х), х,<х<хю доставляет минимум функционалу (1.1.1), то она не содержит точек, сопряженных точке (хы у(х,)). Условие Якоби было найдено в 1837 г. го ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ О.! Ло В случае существовпкия сопряженное точим гхп у(х')) можно было бы 1' построить функцюо т(х), х х х", '1х х' х х, ипляющуюсв решением урявнепия 111.221, и дл» которов Ляу- О, т. е г, (х1 ивляется лог янац вкстремехью с воячожнол угловой точкой (хц Ч гхг)), усяосшя Велерштрессв — Эркмана приводят к рляенстну Ч' (х') =О.
которое вместе г (х') О лает Ч (х1хио. вопреки прелположев~ю. Геометрическую теорию сопряженны~ точек см. Лаврентьев в Люстерник Рй 121, Б сисе !1!. 1.1.10. Инилрнлнтность уравнения Эйлера — Лагранжа. Если функционал (1.!.!) преобризуетсн посредством замены переменной или одновременной земской искомой функции и незлвиспмой переменной, то зкстремум функционнлз по-прежнему никодится из урзвнсння Эйтсрз — Лагранжа, но уже для преобрззовлнного подыяпегрильного вырзясенпя. П р н и е р 1.1.3, Семейство эксгреяялеч фуннкщочяля у ) !гг †, и Лр определяется уравнением Эйлера — Лягряиясв и 1 "е + '-' и.
Р' ге 4- зяненв переменных х=г сея г, у=геше даат уггя+ гя ну=)г !+у г дх. Для функционялв О У(У) ! зг1+Лгтнх и уравнение Эйлера — Ллгрянжя имев яид у" О, откудв у=ах+2. Зивчиг, вкстремяли исходного фунициопедл дяютси урявневием г ясп у = аг «ов у + Р. Имеются рляличньш выводы свойства ипвврияптвости урввоения Эйлера— Лагранжа.
См. В, И, Смирмов !11, Лявреитьев к Люстерник !11, !2!. Э 2, Вариацнонные задачи с подвижными ионцамн 1.Ы. Постановка задачи. Рзссмдтриввется Функционал, злвисящий от линий Е, л' (Е) =- 1 Е (яо у, у') г(х, (!.2.!) Е где линия Е перемещается тпк, что се концы движутся вдоль двух заданных линий С п Р (рис. !.2.1). Требуется найти условия, которым должиз удовлетворять линия, достлвляющзя минимум (мвксимум) функционалу (!.2,1). !ДД) % З ЗЛДЛЧИ С ПОДВИЖНЫМИ КОНЦЛМИ 21 Предположения о функции Р(х, у, у') такие же, что и в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
