Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 6
Текст из файла (страница 6)
1.1,1, Впервые задача с подвижными концами рассматривалась братьями Берн)дан в 1697 г., затем в 1744 г. Эйлером. В 1759 г. Лагранж рещна общую задачу с подвижнымн концами, 1.2.2. Вспомогательная формула. Пусть перемещение липни Е 5 описывается при помощи параметра а тэк, что однопараметрпчсское семейство знннй у =у(.«7 а) относит каждоиу з!щчению а одно из возможных положений Е, П!сть, далее, параметр ! опредезает оозожснне точки Г иа линии С, тогда абсцисса этой точки, а така!с параметр а становится функциями !.
Это дает возможность считать линни С и 7) заданными параметрическими уравнениимн: винна С: х = х, (!), у =у (х, (!), а (!)) =у! (!) анния 7): х=х„(!), у=у(х (!) а(!))=уа(!) г,~!~!,. откуда дх !«а Ф'(Г) = Р(х, у(х, а), у'(х, а)) — ~ + д! х, х« а'а Г + — ~ (Р„уа+ Р,у„') ах. (!.2.3) Если при !=а, линия Е доставзвет минимум функционалу (1.1.1), то она должна выдерживать сравнение на минимум с аиниами, имеющими с ней общие концы, т, е, быль экстремааью.
Поэтому' Е у +Ему' = — „Е,у + Е,у„'= — (Е.у ), о' г(.«! х! Ф'(!)=Р(х, у(х, а), у'(х, а)) — '~ + де~„ ду)««да + Р', (х, у(х, а), у'(х, а)) — ~ На расгматриваемом однопараыетрическом семействе линий у=у(х, а) функцпонаа (1,2,1! превращается в функцию ! х«(п у(Е) = Ф (!) = 5 Р(х, у(х, а), у'(х, а)) ах, (122) «! (!) 22 гл. й вариационной исчислвнив Иана и так как сту ах с(а =У а+У ,гт = «пг ',(г у — = — — у' —, (1.2.4) аса с(у, с(х а,тт «т то с(х 7 сто, с(х) 1 «с Ф' (т) = Р(х, У, У') — + Е д ( — — У' — ~ ~ . (1,2,5) тг у'~ тг иг~~«, Тогда нз (1.2.5) сдедует, что дая интеграда (1.2.2) с(У (Е) = сИ (г) ~ с с, = Е(л', У, У') стх+ + Еу (х, у, у') (с(у — У ( ) ! ', (126) здесь дифференциааы стх и с(у вычисяяются вдоаь линий С и )), а у' — угловой коэффициент касательной к зинни Е.
Вывод см, в«асс 1!), Сммрнсд В. и. 11!. 1.2.3. Условие транснерсадьности. Если линия Е достэваяет экстремум функционаяу (1.2.1), то и (Е) = (ф «) )., = О (!.2.7! при любых ох, и ах„в частногтн, когда стхс = О и ахс ~ О, иаи с)«се О, ах, = О. Из (1.2.6) вытекают условия трансверсазьности: Р(х„у„ус) ах, -(- Р, (хо уы у,') (с(ус — у,'с(х,) = О, ) (1.2.8) Е(хс Ус Уд) стхд + Ру (Хд Уд Рс) (стус Уэст«с) — О. Р— у'Еу. Š— — = -"- — на левом конце зкстремаяи, ысх ысу Е-УЕ, — — л'х= -"- — на правом конце экстремаан. ыдх ыду (1,2.!О) Если уравнение линии С есть у = ст(х), то — = р'(х)1 ана«Ус асхс логична, если уравнение аннин 0 есть у=ф(х), тб — = ф'(х), аус а«д и из усаовнй (1,2.8) вытекают уравнения Г(х, у, у') + (р' — у') Р . (х, у, у') ~ (, — — О, 1 (1.2.9) Р (х, у, у') + (ф' — у') Гу (х, у, у')!(и О.
) Если линия С задана уравнением ы,(х, у) О, а линия 0 — уравиениедс ы,(х, у) = О, то условия трансверсааьности (1.2.8) принимают вид 1.д.!1 й 3. ЗАДАЧА С ННСКОЛЪКИМИ ФУНКЦИЯМИ 23 Если перемещение концов зкстремали не обусаовлено какими- либо ограничениями, то на обоих концах зкстремали выполняются условия р' о, ру. = о. (1.2.! 1) Уравнение Эйлера — Лагранжа есть дифференциальное уравнение второго порядка, его общее рещение зависит от двух произвольных постоянных, которые определяются из условий трзнсверсальности. 1.ш4.
Трансверсальность и ортогональность. Трансверсальность есть обобщение понятия ортогоиальности. у уетху Н р и и е р 1.2.1. Нейги врегчвй~пее рвсстоивне от точни А !и, аг! во винни Ы Вт в >' =, !х! !рис. 1.2.2!. Нссиенуеи Фунвнионев 1 1 > =) 1'!ту'с Лх, еистреиешс которого суть прение. Ус,мене ту а Х тренсверсепьности У' Рнс.
1.2.2. у ! + > "- -1- Ни — у'! — = о р'Т.1. т г вревришеетси в ! -!- г'т' = О, т. е. в усховне ортогонеиьносги. Аневогичное соотношение по ~учеетси вое Фуиинионевв ( А !х, У! Р ! + и Лх. 9 3. Необходимые условия экстремума для функционала, зависящего от неснольких функций 1.3.1. Постановка задачи. Рассматривается фтнкцнонал У(у) ( Р'(, у„...,у„,у,',...,У„)П, (1.3Л) х! У! (Хт) У!и Ус (хв) =У!в (1= 1, 2, ..., л), (1.3.2) где уп и уг, — заданные числа, а подынтегральнан ф>нация непрерывна и обладает непрерывными частными производными до третьего порядка включительно по всем аргументам.
Требуетсв найти условия, которым удовлетворяет вектор-функция (уо ум...,у„), доставляющая функционалу (1.3.1) экстремум при условиях (1.3.2). В векторных обозначениях функционал (1.3.1) записывается в виде хв х'(у) ) г'(х, у, у') сух, хв 24 ГЛ. !.
ВАРИАШ!ОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ !!.з.л Гладкое решение системы (1,ЗЛ) называ>от зксл>у>еналзю. Вывез е>., вз >рв >ер. Лззревтзев в,люсзерв ж !>1, !2>. А>везер '>!,'. !.ЗЛ. Условия Вейерп>трасса — Эрдмана. Ломаные экстре- мали. Ест и х = с сеть абсцисса > гловоп то >кп решения уравнснпг: (1ЛЛ), доставляющего экстремум функционалу, то должны выполняться >словня Всйерштрасса — Эрдмана Л вЂ” ~~ У! "у,'!л = е — о — 1' — Х У у,:'л =с †, л, (1 3.4) Е;.' =Е>, ,' (1.3.5) Онн потучаютсл тем же пттсм, что и в 1,1,6.
Если всктор-функция, доставляющая миним>м функционалу (1Л11, состоит из к>сков экстре!млей, причем в точках стыка зп>х кусков выполняются >словил Вейерштрлсса — Эрлчзна, то она называется ломакой эзстдемилюо. Вывез ез А>везер !>1, взлез !>Е 1.3.4. Второе необходимое условие экстремума — условие Лежандра. Так же, как и в 1.1.т, устанавливается условие минич>ма (максицума1, выражающееся в неотрпцательностн (неноложитсл>,носп!) второй вариации азу рассматриваемою> функциопала. Из этого условия запекает нсобхолнмое условие Лсжанлра— неотрицатсльность (нсположнтельносп ) квадратичной формы (1.3.0) >, у в каждой точке экстрезгали в случае мином> ма (максимума).
В алгебре доказывается (см. также Л а в р е н т ь е в и Л ю с т с рн и к [2[, ч. 1), что для иеотрнцатсльностн формы (1.3.6) должны выполняться неравенства Е», , !'! ! е ! в Е ' Е ... Е' [~0, ~УзУ> Узуз 1.3.ж Первое необходимое условие экстремума. Ура в иеи и я Эйлера — Л а гра иж а. Э кстремали . рассмотрения, ан ал оги чн ив прозелени ы и в п п. 1.1.1 — 1.1.3, приводят к первому н со бхолп и о м у условию з к ст рви ты а — обращению в п у л ь первой в ариадн й, из которого в ы тека>от уравнения Эйлера — Лагранжа, сн а ч аз а в интегральной форме, а затс л! в фор м с лифф ер ен ц и- альных уравнений Эйлера — Лагранлта Г', — — Р ц = 0 (1 = 1, *>,..., л).
(!.3.3) л' !.з.т! % з, злдлчл с нискодькими фхнкцнями 25 Необходимое условие Лежзндра может быть получено из следующего ниже ь'словил Вейерштрасса. Опрсаслампа рагуларныл пла асособсмьшт аастрсмалсб (ср. и, 1.1.а! см, Влпсс !11, Алпалср !ь!. 1.3.3.
Третье необходимое условие экстремума — условие Вейерштрасса. В каждой точке зкстремали, доставляющей минимум (максимум) функпионалу (1.3.11, должна быль неотрицательной (неположьпельной) функпня Всйерштрасса Е (х, у, У', й) = Е (х, у, (1) — Е (х, У, У')— — ~ (Дь — У,.!) Е,:(П У, У), (1,3Я) 1=1 1.3йй Условие трансверсальнасти.
Дифференциал иьисгралз лл У(у) = ~ Р (х, уь, ул " ум .уо "., у,',) с!х (1.3.6) с переменными пределамн в случае, если у=(уы ум " ум) экстремаль, имеет внд и и !кл — Х ), 'х+Х, °;~ 1=1 Кл (1,3.9) (ср. (1.2.6)). Отсюда, как и в и, 1.2.3, на концах зкстремали должны выполнлться условия трансверсальности с л и Š— ~ Уг'Ет'.
) ьтх+ у' Ер агу!=О. (1,310) 1=1 1 1 Если, например, конец х=х, фиксирован, а второй конец расположен на гиперповерхности т(х, ун у„..., у„) =О, то условие где )г — произвольный конечный вектор. Дакалатс.пст.о см. Блпсс ',!й Алнсаср !1!. 1.3.6. Четвертое необходимое условие экстремума — условие Якоби. '!зк же, как и в 1.!.О, вводится понятие щ пряькенной тонка. Именно, системой диЬрь(ьсрвнь!паленых уравягннй Якоби называют систему уравнений Эйлера — Лагранжа функционала ЗлХ Точка с называется гонрялгенной с точкой а, если существьет решение системы Якоби, обращающееся в нуль при х=а и х = — с и не равное тождествеьшо ньлю между а и с. Если вектор-функция у доставляет минимум функционалу (1,3.1), то интеРвал (хн ха) не содеРжьп точек, сопРЯженных С точкой .г = хе Полрсбмо см.
Гласе !11, Гслафаал и Фомин 11!. 2б ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 1!лч! л (!.3.10) означает, что вектор Р— ~ у,'Р„, Р„, Р„,..., Р„. ортогонален вектору (лсх,с(уо ..., »сул) и, следовательно, коллинеарен градиенту функции т(х,уо,..,ул). Это дает следующую форму условия трансверсальности: л УгРнс Рн'1 Р . У» (1.3.1 1) т» ту, тел (ср. (1.2НО)). ф 4. Необходимые условия экстремума функционала, содержащего производные высших порядков 1.4.1. Постановка задачи. Исследуется функционал' хн У (у) = ~ Р (х, у, у', у", ..., у'л') с(х, (1.4.1) »с рассматриваемый на ф)нкциях класса Сл (хо х,), удовлетворяющих условиям на концах: у'1' (х,)= Ап у'г (х,) =-В, П= О, 1,, и — 1). (1.4.2) Требуется найти условна, которым удовлетворяет функция, доставляющая миинмун (максимум] фуикцнопзлу (1»31).
11редполагается, что функция Р обладает непрерывными по совскнпности всех своих аргументов произволными до ба+ 1)-го поря.ка включителыю, 1.4.2. Парное необходимое условие экстремума. Дифференциальное уравнение Эйлера — Пуассона. Эистремали. Если функция у =у(х) доставляет экстремум функционалу (1.4.1), то включение ее в однопараметрпческое семейство у =у (х) +а Ч (х), где 1(х) — пРонзвольнаа фУнкциЯ, н(х) ~ Сл(хо хн), Чп'(х,) = =ли'1х) = 0 (с = О, \, ..., и — 1), приволит к выражению для первой вариации: Зу= ) (Рнч+ Р„'н'+Рл"Л + ... + Р 1»фл') ах. (1.4.3) Необходимое условие минимума — обращение в нуль первой вариации Ы= О, (1.4.4) 1.4л! 4 4.
здддчл с производными высших порядков 21 Посредством интегрирования по частям правой части (!.4.3) можно получить, учитывая (1.4.4! в случае, если у(х)'имеет производную порндка 2», диффсренц паленое ураансмие Эйлера— Пуассона «л ам «л Р— — Р'+ — Р" — — Р "+...+( — !)л — Р!»)=О, ох У «х' У г(х' «Хл И (1.4.5) являющееся обобщением уравнения Эйлера — Лагранжа, Общее решение уравнения (1.4.5) содержит 2» произвольных постоянных, Используя граничные условия (!.4.2), зти постоянные можно определить з предположении существования искомой линии. Выиоа урлннение Эйлера — Пуассона и ингегрлльной форме н получение ич него урнннении О.л.з) сн, А!непер !)!. Гюнт р !ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
