Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Рамки книги не позволили расширить разделы, связанные с приближенными методами решения вариационныт задач и интегральных уравнений. В кинге даны лишь простейшие сведения об зтнх методах и приведены соатветствуюшне примеры. Читатель, интересучощийся вычнслительнымн методзми, найдет бшатый материал в известной книге Л.
В. К а'н т о ро в и ч а и В. И. К р ы л о в а еПриблнженные методы высшего анализа», нзд. 5, 51., Физматгнз, 1962, а также в книге С. Г. Рб и х л н н а еЧнсленная рва тизация вариацпонных»~етодов», 51., «Наука», 1966, Пользуюсь случаен выразить свою благодарность Л. Д, Люстерннку, Н, Н. »»хнезеру н С. Г. Убнхлнну 'за большую помощь, оказанную мне их советами и крити«ескимн заь~ечаниями при работе над рукописью. .'1, Цлаф Глава! ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В О. Введение 1,О.1.
функционал. Гслп И вЂ” множсстоо функций и каждой функции р (х), принадлежац(00,11, о( с) Е01, относится определенное число, то говорят, что на множестве ))! задан Л)ункциониз!. П р и м е р 1.0.1. Л! — множества функций у (х), определениык на отрезке (а, в) и обладающих на нем непрерывной иронзводмой, длина ! линни у=у(х), а кжв, у(х)бм, есть функционал Ь ! (у) ( ттт 1+ !з" (х) Лк. а П р и м е р 1,0.2, Л1 — множество функций у (х), в область определени» ноторык входит тачка хо. Значении функпии у (х) в точке ке образуют функ. цнопал,! (у) .
т (хе). 1.0.2. Предмет вариационного исчисления. Вирианионное исчисление устзнавливзет усзовия, прн которых функционалы достигают своего экстремума. Одной из первых задач варнационного исчислении бьыа задача ж Иваяа Бернтлзн о брахистохропе 1 (1696 г.). В вертикальной плоскости даны 1 две точки, О н В (рис. 1.0.1). По какой ! линии скатится тяжелая материальная точка, оставаясь в этой плоскости, из верхней точки в нижнюю.в наименьший промежутон временит кк Начальная скорость равна нулю.
Со- Рмс. 1.0.!. и роги вл ен и е данжо ни !о также пол агается равным нулю . 3 лда на сводится к от ы с ка н ию и иня м у ма функционала ь Т = — — с(х. (т !+у' (х) ) 2Ю 12 ГЛ. Е ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ (ео.з Первое решение этой задачи принадлежало Якову Бернулли, второе — Лопиталю, третье — Ньютону.
Наименование «вариационное» исчис.»ение обязано методу вариаций, прн помощи которого решаютсн экстремальные задачи и который будет применен ниже. 1.0.3. Некоторые определения и обозначения. Если функционал у(у) исследуется на экстремум н функция у(х) «полозревается» н качестве «точки» экстремума, то значение функционала У(у) сопоставляется с его значениями на некотором множестве (линий) у(х), называемых фунгсг(ия»г»г (линпячи) сривнения, к которому принадлежит и у (х). Если имсет место цинимгч (максимум) У(у) при у(х), то потожитеть»~а (отрнпателы«а) разность ду» у(у) — у(у) на тказанном выше множестве функций сравнении. Окрестностью нулевого поряйки цвп сильной окрттностью у (х) называется множество непрерывных функций сравнения у(х) таких, что при нснотором числе «, « ° О, ]у(х) — у (х) '(«, х, -х--хь Окрестностью первого порядка или слабой оьрестностью у (х) называется множество кусочно-гладких функций сравнения у(х) таких, что при некотором числе », » ) О, ]у(х) — у (х) ~+ у'(х) — у'(х) ] (», х, =.хейх .
Минимум функционала /(у), достигаемый на у (х) в ее сильной (слабой) окрестности, называется сильным (слибыл») лгингт.»«умом функционали у(у). Анвтогично определяются сильный и слибый макснл»учы. Вснкий сильный экстремум является а то же время и слабым экстремумом. Сильный и сяабый экстремумы являются откосителькыми экстремуми»ти Зкстремум функционала У(у) по асей совокупносжг функций, на которых ои опредетен, называется ибсо»]юсиным экстремучом. Абсолготный экстремум явлнется в то же время и относительным. В последующем будут использоваться классы функций; С [и, Ь] — непрерывных на отрезке [и, Ь], С, [а, Ь] — гладких (имеющих непрерывную производную иа [а, Ь]), Ст [а, Ь] — имеющих непрерывную т-ю производную на [а, Ь], О, [а, Ь] — непрерывных, имеющих кусочно-непрерывную производную, причем последняи имеет разрывы лишь первого рода. При постановке задач вариацповного исчисления должно указываться, какого характера экстремулг разыскивается и в каком классе функций.
й В ВВВ)(ВНИВ 1,0,3) Пр и и е р 1.0.3, Функционал у (у) - )' ут П вЂ” уш) В.. > (0) - у ( ) - о. о Отрезок (О, н) оси Ох лает слабый мнпнмуп, так как при )у(х) 1+)у'(х) ) < е, а~1, падынтегральное выраигснне положителыга и обравтастса в нуль лишь кри у О. Снльйый минимум не достнгаетсп, нбо, положив, например, 1 у = — а(п пх у гт (рис. 1.0,2), получим к у (у! = — —— 2и 8 1 и Х(у) <О при и>4, При этом линии у= — а(пнхддя достаточно большие и 1' гт лежат в сколь угодно малой окрестности нулевого порядка ликии у = О.
В примере 1.0.3 фушшионал цмеет слабый минимум, прннадлежыцнй классу У С, (О, и), но не Омоет в этом «дассе сильного минимум». Рис, 1.0,3 Рис. !.0.1 П р н и е р 1.0А (Вейерштрясс), Функционал 1 у(у)- ( хэтждх, у( — П= — 1, у(1)-1 — ! полоткгттелеи. Ои не имеет минимуиа в класш С,( — 1. 1), но достигает его и классе кусочно гладкит функций. Длп функций сравнения (рис. 1.0,31 ягс!2— а 1 п)0, агс(О— 1 у(г'1= ) х-"у" дх( ) (та+аз)дтиекх 1 «т Р Ох 2 — — т «е.( хе ! агс13е— вгс(3- и а У (у„) О прн В классе С, минимум не лостнгаетс». поскольку это могло бьшв вааможнмм лишь при у'=0 у сопв(. Оливка при этои не выполнаштсэ условии у( — 1) - — 1, у(1)=1.
14 гл. !. вдиндцноннов исчислении 1!.!.1 р 1 . Простейшая задача вариациоииого исчисления. Необходимые условия экстремума 1 . 1 . 1 . Постановка зада ч и. треб> е тел найти минимум фу нкци он ал а х« з'(у) = ~ Р(х, у, у') пк (1.1.1) л« среди кусочно-гладких линий, соединяющих точки А (х„ у,) и В (хм у ), т. е. у (х,) =уп у (х,) = у«, к, ( х ( х«, Обычно предполагастсл непрерывность подынтегральной функции по совокупности ее аргументов, а также существование н непрерывность всех ее частных нроизводных до третьего порядка включительно. Считая, что функцил у=у(х) доставллет слабый минимум функционалу (1.1.1), находят > словил, которым должна удовлетворить указаннал функция.
Эти необходимые усзовил слабого минимума буд>т тем более необходимыми усзовйнми с'нзьного и абсот«о!ного минимумов. 1.1.2. Первая и вторая вариации функционала. Если «) = Ч(х) — произвольная кусочно-гзадклн функция, удовлетворкющал услоаикм «)(х,) = т(ха) = О, то однопараметрическое семейство функций у = у + л«) (х), при достаточно малых значениях пара«~стра а, принадлежит некото- рой окрас!иост!! первого порндка функции у =у (х). Функционал лт у (у) = ~ Г(х, у, у') «(х, у(х,) =у„у (х«) =у«, на указанном однопаракетрическом семействе функций является функцией параметра т у(у) =Ф ( ) = ~ Р(х, у+ ) у'+ !') л«х «, имеющей минимум при а =О.
В силу необходимых условий обыкновенного экстремума имеем Ф'(0>=0, Ф" (0))0, Дифференцирование з'(у) по параметру даст лл Ф'(л) ] ]Р„(х, у, у') Ч+ Р, (х, у, у') «)'] л«к, хт Ф" (и) ] [Ртчн (х, у, у') ч' + 2Гуу (х, у, у") ч»,' -]- к« + Гу (х, у, у') ча] Лк. 15 4 г, пРОстейшАя 3АдАчА г.г.а1 Отсюда Ф' (0) = ~ [Р (х, у, у') г) + Р„, (х, у, у') «г'] г(х = О, л'г Ф" (0) = ~ [Р а (х, У, У') 5« + 2Р; (л, У, У') г)Ч'+ хг (1.!.2) + Р , (л, у, у') г)г] агх « О.
( 1,1,3) Производная функции Ф (а) =а(у+ай) в точке а =0 на-' зывается первой вариацией функционала (1.1.!) и обозначается символом аЛ г(Ф ) Вторая вариация г у агункциона,га (!.1.!) определяется как вторая производная функции Ф (а) в точке а =0: гга (Ф) ! агав „=о' В ряде руководств первая и вторая вариации функционала (1.1.1) определяются соответственно как цервый и второй дифферен- циалы функции Ф (а) в точке а = О, т. е.
г!а н=о ' йа ]а=о 'г!еобходггмые условия минимума (максим«ма) функционала (1.1.1): Первая вариация должна обращаться в нуль: а/=О, Вторая вариация должна быть в случае минимума неотри- цательной: ааа'«О, а в случае максимума — неположительной: ааз'(О. 1.1.3, Первое необходимое условие вкстремума. Диффе- ренциальное уравнение Эйлера — Лагранжа. Экстремалн. Ин- тегрирование по частям выражения Р (х, у, у') ц из (1.!.2) дает аУ = ~ [ Р., — ~ Руйх . «' гтх = О, (1.1.4) х, г хг что в силу произвольности Ч'имеет следствием уравнение Эйлера— Лагранжа в интегральной форме х Ру ~ Ругт«~С, (1.1.5) «г Переход от (1.1.4) к (1.1.5) основан на лемме Дюбуа-Рей- мона о том, что иэ соотношения ортогоиальности «а $ И (х) «' (х) гтх = О, хг 16 гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
