Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 14
Текст из файла (страница 14)
п. 1.!ОЛ) 64 ГЛ. 1. ВАРНАЦНОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 11. Н.! Таким образом, получаются условия )дР дР Р' — Ре — ~ — сов Лтх-[- — сов Лгу~ (р сов Лтх+ с) сов Лгу)+ '(ду дд + ~ — сох Лгх+ — сов Л!р[(р,соадтх+ 4 сгнйу) =О, (1.1022) )дР дР '(ду„' дс) )дР дР! 1 — — — ~ соз Л'.х -[- ' — — — ~ соа Лгу = О. (1.10.23) /дР дР'т, (ду др,.~ ' !ду дс)„) Услонию (!.10.22) может быть придан вид дР' дР д [р- Ре[ + д [с) с)ь[.
(1.!0.24) Условия (1.10.22) (!.!0.23) или (1.10.24) и (1,!0.23) аналогичны условиям Вейсрштрасса — Эрлмана. См Гюнтер 01, Керимов !Ч!. у Гюнтер» условия 0.1В.2а! и 11.Ю,21) выве. лены в пралполонеиии существования вторых частных производных искомой фувкции, непрерывных «сюлу в области О, исключая линию разрыва ее произвахиыс. Я, К. Керимовым лен «ыиал указеакых условий, испэоьзуюший лишь частаые произволиые первосо порыва искомой функции. ф 11. Вариационные задачи иа условный экстремум Иинсс приводятся основные свсденин относительно взриационных залач на )словный экстремум функционалов от функций одной переменной.
К этим залачам относятся: изопериметрическая, задача Лагранжа, задача Майера, задача Больца. Первые три задачи могут рассматриваться как частные случаи последней, что в известной мере будет использовано при их изложению. 1.11.!. Изопернметрнческая задача. Среди всех кусочно- гладких вектор-функций у = [у, (х), у,(х), ..., У„(х)), принимающих заданные значения на концах интервала [хо х,[, найти ту, которая доставляет экстремум функционалу хе )е (У) = ) Уе (х, У, У') «х хх 1 прп связях Ул(У) = ~ У1(х, У, У') дх = Е) (1 = 1, 2, ..., А). хс предположения. Функции уо(х,у,л),у1(ху,х) определены и имеют непрерывные по совойупности всех своих аргументов производные второго порялка, когда точка (х, у) принадлежит некоторой области ст пространства (х, у), а вектор л 1.11.2) задачи ня асловншг) зкстргмьм пробегает любые конечные зилченни.
Вэрнэцип ф) нкционзлов ут(у), взятые нз минимизирующем векторе, линейно независимы. 3 л м е ч з н и е. Задача может быль лишена смысля, если знзчення уа произвольны; цри этом множество допустимых вектор-функций может окзззться пустым. П р и м ар 1.1)Д. Среза ясех кривых длины 1, саехиняюшнс ззе данные точки А п В. найти к)оя ю. грз! ч!ялю!!ую о!есте с отрезы!и АВ ияябольшую плшцзл . Есш А я  — точки оси абсцисс )а, 0) и Ю, 0), та !э!ею сяохиеси к отысклипмг лксичуиз он!сгрыз ь у )уих при услозиа ь ! ) 1-1-у' Пх=! г à —,х а и у !а) = у (Ь) = О. Здесь ел*хуст счнтлгь 1 ), Ь вЂ” а . П р п ° е р 1.
П.2. Пусть ась Ох эзляется срезянной осью ио.!нистсго про. фи.ш железе, причем паслглний прахах,!т через нлчя ю коорзинзт, я орхпнзты орнкиияют ознигжаэые энзчеппа н точкэх, ябс!шссы «огорыт отличзюгсн н» я!жну зажми резную лх!. Длина четяерш дуге залпы: г! х! л1= ( !ь= ( ~7б.уо-',!х О 0 Обьеи н ягс соотзегстзую!пего куск» гкелеея прапорциояззьпы этой пел!!чине, я жесткОсть профпля харяктсрязуется моментом !шерики .г! х! Хг= ( ухдя'= ( ух ~ 1-)-у'"Пх. 0 0 Кряечые условия: у)0) =О, у!х!1= — у'(х!1=0. Требустсх л) ср!ыи всех нрияыс, ухоялетнореюпн! Тяэ!язныч я оае уславины и ямеюши олнозкоэую л1яну, изитн ту, момент ияерлпи которол иэксямзлен.
б) Среди ясех крияых, узонштеареюппж уклзешиыи ус,ююгям п ичеюцих фикснроезниый момент инерции, изйтя «р!еую ииимзлыюй зллю.!. 1Л1.2. Правило множителей. Бсзи кусочно-глздкля кривая у=у(х), лежзщзя (чэ возможным исключением концов) внутри Й, дает функционалу уе (у) экстремум прн связях з!(у)=Ц (1=1,2, ..., Д), то существуют такие констзнты ), (аз+ ля+ ...
+ Ц = !), что 0 '! кривая у =у (х) является дзя функционлзз хл ~ ()эЛ+ ) Л + -. + )ьггл)г(л .г! обычной (безусловной) экстремллью, т. е. экстремзлью, отве шющей свободному, не стесненному кзкими-вибо связями влрьиров э н и ю. 3 цлзф Л. я. бо ГЛ. !. Идрыдгн!ОННОЕ 1!ГЧНСЛГН!!Е и. О,з ((! -г-г,)'1+, г)мт. Первый интеграл урввнювк Эклера — г1агранжа этого функционала у' зг1; уз Налагав в последнем у' 1ЛЭ, по!упаси у= — !сазу, и после дифференци. лу рованвя этого саатноюении: у'= 1, еюр — =1лр, откуда к=1 ею р-Рб. Уран. лх испил экстремалейг к=! з!пр+З, у= — !сает+«.
Таким образам, получено ссмейстио окружностей. Остается найти скружнасть, прокаднюую через ~очка А и В с двннои длиной дуга АВ, Вывод арле!зла мнажнтелю1 см. Лапрентьев и Люстерннч (21. Гюкгср!1), Лкивзер !!!. Вывод правила множителей, основанный нв методак функцнонвлыгого анализа, см. Лаврентьев н Люстерник !2!.
1пилов !!!. См. также !.1Ь.Э. 1.11.3. Условии траисверсальности. Изопсримстричсскан задача может ставиться и следующим образом: среди всех кусочно-гладких вектор-функш!й у (х) найти ту, которая доставляет экстРемУм фУнкЦионалУ зз(У) ЕРи свнзлх кз ,';(у) = ЛТ (хо у(х,), хт, у(хз)) + ) у! (х, у, у') ох =О (1 = 1, 2, ..., й). В этом слУчае сУЩествУют такие постоЯнные ),и Хо .„, 1э, что искомая экстрсмазь является безусловной экстрсмалью функ- ционала ~ Р (х, у, у') гух, к! с=уз' +" Л+ ... +1йуа, причем нонцсвыс точки экстрсмали таковы, что тождественно выполняется равенство ; ,;) Р' — ~«, у, Р ~Кх+ '5, 'Р;дну,. + 6К = О ЛРн всех 1(хо Ыбйи дхю оУО. Здесь К= йгДг+ 1зЕз+... + лэдз.
Относительно функций рд предполагается, что они обаадают непрерывными частными производными третьего порнлка, а к!атрида длг дпг дуй дл! ~ дх, дуу! дхз дуу', ~~ Если исключить случаи, когда множители 1п обращаюгоа в нуль, то пз указанного выше правила множителей вьпекаст принцип взаимности: совокупность условных экстрсмадсй нс зависну от того, иснать ли экстРемУм фУнкционала зе пРп фикснРовапных зг (1 = 1, 2,, й) изн искать экстремум Ую прн фиксированных Уо и з'; (1=Вгл, ! )=й). правило мааюосзел ~ ~рп»снег!и к примеру 1.Н.! прп агпт . вар ираванню функциоив.
с й Н ЗЛДЛЧИ НЛ УСДОВНЫИ ЭКСТРЕМУМ б7 !.ИД! имеет ранг (с в точках рассматриваемой области. Кроме того, долгино выполняться так называемое условие яскасаяия, соответствующее в простейшей вариационной задаче условию нека- сания экстрсмалн и кривых, по которым скользят кенцы допустимых линий. Си. Волос !!!. 1.11А Необходимое условие Клебша. Если вектор-функция у (х) даст условный «кстрсы) м изопернметрической задаче, то вторая вариация функционала к ~ Е (х, у, у') ах к~ нсотрнцатезьна: Вол'=-О, откуда следует, по !. о (!.11.1) при любых (сн см .,., Рл) а'=(О, О, О, ..., О).
Си Влисс !Н. 1.11.б. Необходимое условие Якоби. Изоперпметрическая экстрсмаль является безусловной экстремзлью функционала к. ~ г' (х, у, у', 1) ах, Р'(х,у,у' 1) =!у.+1«Р+" +)лул, Если у (х) =у(х) + ау(х), у (х,) =(н у (х ) =(о — допустимая кривая, находящаяся в с-окрестности первого порядка рассматри- васлюй экстрсмалн, то уо(у) — уо(у) = .со — Лэ (Рс т ",тда -(- 21«т >Лпт«)Л -(- Со >, я!!па) КХ+ а = ко с,а 1 Г и сух+с, кс гдеа О прис О. Пусть через ((ол обозначено функциональное пространство, эдеме!шами которого явлпются кусочно-гладкие функции > (х,' удовлетворяющие условиям у (х,) = у !хы = О, и ко л'" ас Роуд = О Рс = (Л)У вЂ” — '(у)),ч ~ уо ах = 1. (1.
11.2) кс ко 3" 68 ГЛ. 1. ИАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЯ !1.И.З Кривые, реализующие зкстремум функционала хе ~ 2ее Ых .е~ на Ра, удовлетворя1от уравнению о ) (и + Нуе + 2 ~ ч1ецу,) е!.г =- О, '! (1.11.3) или — ы — и =<с»+ Г 'Зе. е<х (1.! 1,4) хе=ха =...=х* е — е' — 1 — "— ! Для неотрицательности формы 2м на <!а необходимо и достаточно, чтобы на интервале <кп х,) не заключалось нн одной сопряженной с х, точки. а Для того чтобы зкстремаль у, вдоль которой Ъ' Е'„у я яь ~ е, Ь=! )О, давала саабый минимум интегралу Уь при условии »!=бе <1= 1, 2, ..., А), необходимо, чтобы открытый интервал <хн х,) не содержал значений, сопряженных с х, для функционала ') 2ш ах.
Значения р, для которых решение уравнения (1.11.4), обращающееся в нуль при х=хо обращается в цель и при л=л-„ пазызаются еобе~пееняы.ии значеяояжи еУ»нкйгеоналт (1.11.3) на Рь. Каждому собственному значенгпо соответств1ют по крайней мере одна собственная фтнкция у (х), нетождестаенно равная нулю на (хо х,), и сопровождающий вектор т1, прн которых удовлетворяются ) равнение (1.11А) и !славия (1.11.2). Каждому собственному значению И соответствует не бозее )е+ 1 линейно независимых функций.
Число зтнх линейно независимых фтикций называется мраеиноея1ыо собственного значеяця. Е!рн переменном верхнем пределе ха в интегралах <-е по везичине собственное значение становится функцией х,. Все функции !Н (хе) убывают с ростом х„причем <Н <л;) гм )И)(Л;), 1 - !. ПРН Хь ДОСтатОЧНО бЛИЗКОМ К Х„ВСЕ И Пцзеы жительпы. Значения х,", удовлетворяющие одному из уравнений (л,. (хт) = О, называются значения.ищ сопрялюеянылеи е хь При ! ! значение хеьемл'.
Сопряженное значение имеет по определению кратность <, если (<=1+! — 1). 1 11.7! $11. ЗАДАЧИ ИА УСЛОВИЫИ ЭКСТРВМУ»1 69 Изопернмегрическая экстрсмаль имеет порядок й, если для нее вторая взриация на бт» имеет д отрипзтельных собственных значений. Для того побы экстрелталь у(х) былз экстремзаью Ф-го порядка, необходимо и достаточно, чтобы сумма кратностей всех сопряженных к Л точек, расположенных внутри (х„х,), равнялась Ф (теорема Морса). 11внребнв сн. Лаврентьев н Люстернвв !2!.
Сн. таяне З.ЗЛ1, 1.11.6. Достаточные условия вистремума в изопериметрической задаче. Ниже усиленным услоаиеж Клгбип! будет называться неравенство (1Л!.!), в котором исключен знак равенства; усиленным условием У!хоби — отсутствие в заыкнутом интервале (хь х,) точек, сопряженных к точке х,. Если кривая Е удовлетворяет >равнениям Эйлера — Лагранжа, усиленному условило Клебша н >силенному условию Якоби, то она является неособой экстремалыо и существует такая слабая окрестность кривой Е, что лля всякой кривой С, лежащей в указанной окрестности и йе совпадающей с Е, выполняется неравенство ~е (С) ~ -Га (Е Р Достаточные условяя сильного минимума. П>сть Š— гладкая доп!стимая кривая изопернметрической задачи, удовлетворяющая уравнениям Эйлера — Лагранжа, усиленному условию Вейсрштрасса, усиленному >словию Клсбша и усиленному условию Якоби, тогда она является неособой экстремалью, содсржащейсн в сильной окресюсости, для каждой кривой нз которой, отличной от Е, выполняется неравенство У,(С) ~У,(Е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
