Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Из (!.9.1) и 1!.9.2) следует достаточное условие Вейерштрасса: если линия Е, подозреваемая на экстремум, может быть окружена полем и а атом поле лля всех точек (х, у) и произвольных конечных значений у' ф)нкцня Вейерштрасса неотрицательна (неположительна), та линия Е доставляет функционалу у(у) = ~ Г(х, у, у') гух, лп у (Х, ) = ум у (х,) = ую А» = » (С) — » (Е)мю ~ Е (х, у, у ) Вх— и — ~ ~ Е (х, у, и) -(- ~~ (у> — и>) Е» (х, у, и) Вх = = ~Е(х, у, и, у) ах, в предположении, что линия Е окружена полем с наклоном и (х, у). П р к м е р 1.9.1. Исследовать кв экстремум фувкцкоквл ь »(»> (>вснх, »(О> О, »(Ь> Л)О. О Урвввекке Эйлере-Лвгрвкжв и — 3»'Я = О, »'Я сопв1, лх следоввтельмо, вкстремвлк прямые. Экстремвль, удовлетворяющая краевым ус. ЛОВВЯМ, ВетЬ и = — Х, УСЛОВЯЕ ЛЕжаНДР» Н я, =б»' б — ) О ВВ ВКСтРЕМВЛМ л л ь выполвеко. Экстремвль включвстсе в поле»=ах, клклок которого р- »>х н етом поле уславме Якоби выполвено, твк квк екстремвль ккгле.
кроме точке (О, О), ке перссеквютсв. Фувкцкв Пейерютрессл имеет «вд е(х,>, р,>=»в рв зрг(г' — р>=(» — р>е!»'->-зр>. сильный минимум (максимум), форд>>ла (1,9.2) получается посредством испоаьзонания интеграла Г>>льберта: 54 ГЛ. 1. ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Н.9.1 Условие Вейерштрасса ае выполнается, ибо можно так выбрать у', что функциа Вейерштрасса будет принимать положительные и отрицательаые значении. Силь.
нога минимум» нет, так как функция Вейерштрассв не салраизет знак в точкал исследуемой экстремалн. Однако слабый минимум имеется, См пример 1,9,4. П р и м е р !.9.2. Исследовать иа экстремум функционал 2 У(у) ~ (ху'т — 2уу'з) Кх, у (1) О, у (2) 1. 1 Уравнение Эйлера †Лагран б -Зу'з — — (ахрз — буу'т) = О К.т или у'у" (у — ху')=-О, экстремалн — прамые.
Краевым условием удовлетворяет экстремаль у х — 1. Поле имсстса, оно состоит из прамьж. параллельныл указанной экстрсмади. Можно показать, что достаточное усювнг Вейерштрасса выполнаетсл. В кали. чии сильного минимума можно ) бе опься непасредствегшым подсчетом, в именно, 2 ЛУ= Г(у ) и) У(У) ) 'Ях 'л+2П-!. т )и ( 1 Так «ак )~хгбо, то 'афл(1+. -ш '4-6(1 — ° )су +г(3 — ) +ЗН вЂ” ) 3 м(л (3 — в) Ч 2 ~( ' + — ! + 3 (1 - и) —— 2 4 Последнее э~сражение будет положите.гышм, если положительным будет выра- (3 — )л агснис ЗП вЂ” ) — .
Решая неравенстоо 4 (3 ™)т ЗН вЂ”.)- — >О, 4 натопим, что аао выполиаетск при — 2Р! — 3 и 2Р3 — 3 и, эо волком случае, при , ', 'НЗ. Таким образом, д с=у(у+ ) — у(т)>О при ) , '1)3 и наличие сильного минимума установлено, П р и м е р 1.9.!. Исследовать на экстремум фумкционал а ~(ЗУа — Уа+тУ)бх, »(О)=О, У(п)=6, п»О, Л>О О в классе Сг. Экстремалн — примые у Сгх + С».
Краевым Зтсловилм удавлетвореет а у= — х; ету ькстремаль можно включить а пале у — х+3. а а Функция Всйерштрасса Е(х, у, УС р) — (у' — р)т(у'э+2ру' — (6 — Зрт)). Множитель, заключенный в квадратную скобку, обращается в нуль и может иэ. менить знак лишь при перелазе у' через значеаие у'= — р.ту 6 — 2рз. При Р- )гЗ и любом у' у'т+ 2Р!" — (6 — 3РЧ ти о, при Р(3~3 у'3+2ру' — (6 — Зра) изменяет знак. При УС мало отличвющикся от р.
~ сследуемое выражение положительно при р>1 и отрицательно при р<1. Пасюка, при Р=З)а<! или О<а, Е О, имеет место слабый минимум. При р=а)а РЗ имеет место сильный максимум. При р=б)н(УЗ нет ни сильного максимума, ни сильного «ниии»ма. 1.9.91 9 9. дОстАтОчные услОВия экстРемумА 55 1.9.2.
Упрощенное достаточное Условие сильного экстремума. Если Функция Р(х, у, )г) допускзет разложение по формуле Тейлора при любом у' У'(х, у, у') = Р'(х, у, и) + У, (у! — иг] Г, (х, у, и) + 1=1 уз н ! 'Кз + — У [У! — и,.] [У» — и ] Е г, (х, У, й), Уг)Ъ 1, »=1 й = и (х, у) + 9 [у' (х) — и (х, у)], О ~ 9 С 1, 1 ъз Е (х, у, и, у)= — 7 [у! — и)] [у' — и»] г' .. (х, у, и). ггу» ',. »=1 Отсюда: линия у=.у (х) доставляет функционалу хз г'(х, У, У ) бл, У (х,) = Уо У (х,) = Ую х! сильный мннимтм (максиз!Тц), если она может быть окружена подем, в каждой точке которого квадратичная форма гз Р',,ггг», г',, =г" .. (.к, у, о), — со(о~оп, 1 У!У» и' ' Угу» Угу» положительно определена.
Для саучая и = ! последнее означает, что з некоторой области, содержащей экстремаль, выполняется неравенство Ег.„, (х, у, о) ) О, — со < о < о. Можно показэтгь что упрощенное достаточное усаовие экстремума не является необходимым для сильного минимума, См. Ахнезер !11, Поеолнения 14 и 11. 1.9.3, достаточные условие сильного экстремума в задачах с подвижными концами. Ниже рассматриваются вернационцые задачи, указанные в при.
, р 1,9.4- ),ч.т. 1, Длн функционал хз Щ) ]У! У У)бх У [) ' У ' ' ' 'Ун) У [Уг Уз ''' 'Ун]! хз левый копен зиннй сравнения фиксирован, правый конец перемезцзегся по поверх. ности д Линия Е, полоаревземая из ексгремум, включается в поле, квк указано в примере 1.9.4. Для того чтобы линия Е лаввлв сильный минимум (максимум) данному функционалу, достаточно, чтобы фуницня Вейерштрассв построенного полз была неотрицательной (неположительной). 2. Тот же функционал, оба конца подвижны. Линия Е, подозреваемля ма ексгремум, включается в поле, «ак указано в примере ).з.б.
наклон позе -и (х, у). 56 ГЛ. 1. ВАРИАЫИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 11.9.4 Дле того чтобы янина В давала сильный минимум данному функционалу. достаточно. чтобы функция Вейерштрасса была неотрннательной и трансверсальная поверхность, проходящая через аевьгй конец В, касалась поверхности В пзнут н, если Е )х, у, и )х, у)) ( О (извне — если В (х, у, н )х, у)) ) О). 'у'. Функционал и задача примера 1.8.6. Левому полю соответствует функцив Вейерштрасса Д , правому полю — Ее Д»я того чтобы линии В, полозревасчая на зкстремум и имеющая угловую точку С, лава а сильный мггнин>н. достаточно. ч»обы точка двигала как внутрицентрального полн, ггстодя~г»его из точки А, тяк и внутри поли, содержащего точку В, и чтобы функции Вейерппрзсса бы,ги неотрнцат»ыьны каждая в своем поле.
Имеет место следую цая Т е о р е н а. П»сть Васе — допусти ая кривая, имеющая только одну угловуюую точку, лежапгую на кривой Гэ. и ииеюцая тотько по одной общей точке с кРидыии Гг и Дл 1:сдн кривая В»эх уловлетворя*т достаточным условиям сильного относнтельаого минимума для задачи с закрепленными концамн, то она солсригнтся при г =- 0 з отнопарамстрлческом семействе экстремалсй, пересекающих линни ).е, б .
Пс дедтемый функционал / на этом семействе пренращается в функцию у)о параметра г, если фунициа уоо имеет относите»гьчый мг линум ири Г = О, тО В,эе Дает Си»ЬНЫй ОтНОСИт*ЛЬПЫй МИНИМУМ ФУИИЦИОНапа У В СЛСДУЮЩЕМ смысле на гс»осипе»и х» сунгсстзует такая окрестность й кривой В,эь что лля всякой допустимой кряаой С), лежак»ей в В и пересекающей линии 1.1. Ге.
выполняется соотношение У (Су) У(Вш.) Ес»и функция У Л при 1=0 имеет строгим миннм>м, то Наса также ласт с»ро»нй мииамум. В случае, когда Вге удовлетворяет костя»очи»еи условиям сыбого о»носительного мании>ма лля задачи с закрепленн.гмп концами, все у»вермдення, иысказаниые выше, сохраняют силу. если ааненигь в них слово сильный аа »слабый», а окрестность В нв окрестность Ю множества элененгов )х, у, у') кривой Е,эе». 4. Функционал н задача примера ).к.у.
Д»ч того чтобы линия Э. подоэревасиая не экстремум. левала сильный минимум в аадаче ла односторонний экстремум. хоста»очно, чтобы точна стыке экстремали с границей лежа.га внутри левог~ поде, точка  — внутри прапого гго.»я и для обоих полей функции Всйсрштрасса были нсогрицательны, Подробное ичдожение вопросе си. Гюнтер 11), Керимов )3). !.9.4.
Достаточные условия слабого экстремума функционала, завнсяйаего от нескольких фуннцнй. Рассмотрим фупкнионал хя У (Хг) =- уы у ) . ) Хг Если экстремадь у=у(х) можно окружить полем и если квадратичная форма и Р' т (х, у,(х), у'(х))»)1») Л=) положительно определеннз при х, «х«хя, то экстремаль дает слабь)й минимум. При п=1 последнее условие имеет вид гу, (х, у, у') )О, х, «х=х, (неравенство выполняется в точкзх экстремали).
Учитывая сказанное в п. 1.85, иожно утверждать, что экстремаль доставляет минииум, если вдоль нее выполняется усиленное условие Лежандра,и замкнутый интервал (х„ хз) не содержит значений, сопряженных с х,. 1.9.в) $9. Лостдточиыв Условия экстрвмумй 5! Прим е р 1.9.4 !с». пример 1.9.1). Исследоаать иа ежстремум функционал >(у) =~ у'лх, у(о)-о, у(а)-л>о.
Исходя нз сказанного выше, а также из результатов примера 1.9.1. можно заключить. что функционал достигает минимума на экстремали у= — л. л а П р и и е р 1.9,э. Исследааать иа экстремум функциалал 1 ) (Уы — Уге )зл, У(о) =О, Г(!) О Ураэненые Эилера — Лагранжа для данного функциоаала есть 9»а — ф — ОУХ)у =-О, Ему удовлетворяет фуыкция > =-О. Н» прямой у=о имеем Луче = т — О>у' ] у О = 9 > О. Уравнение Якоби (еслти учесть, что на линли У=О имеем В =О, г", =О) дает уу ' у«' «а=о, откуда Ч = А.т + В, Тзк кяк; (0)=0, то, — Ал.
и ясно, что услоаие Якоби еыполпяется, ибо. кроме л=о, нет тачек. е катары* была бы, О. таили образо, пря ая у=.о достааляет лашюму функционалу слабый мани ум. Применяя функцию Вейерштрасса, мошна показать, что сильного экстре. муна даиаый функционал ые имеет. !.0.5. Достаточные условия экстремума для варнационных задач в параметрической форме. Пусть Е: .к=х(з), у=у(з), 3, ( 3 ( з, — экстремазь функционала Рл(х(3], >г(3), х (5), р'(3)) > 0 ((0), 3! ы:3~5я, т. е.
выполняется усиленное условне Лежандра в форме Вейерштрасса, то Е доставлнет функционалу лс слабый минна!ум. О достаточных условиях экстремума Глля яарилциоииык задач е параметрической форме см. Блнсс рр ]'. Вели Е иожно окружить полем с наклоном 6 (х, у), внутри которого функция Вейерштрасса Е(х, у, 0(х, у), р) неотрицвтельна (неположительна) для любого значения у, то Е доставляет функционалу ло сильный минич!ум (максимум). 2' Если Е можно окружить полем н для всех ее точек при любом эиаченви Рг (х(3), у (3), созе, шп у) > 0 (( 0), то Е доставляет функционалу лс сильный минимум (максииуи].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
