Цлаф - Вариационное исчисление и интегральные уравнения (947328), страница 23
Текст из файла (страница 23)
+ аача (х) + ..., а» = (У,ва). з.оы! % З. ВВЕДЕНИЕ Из всех линейнык комбинзций первых и+1 функций (лт(х)) лл(х) = саул(х)+ агут (х)+ ... + ел~Рл(х) при произвольном наборе коэффициентов с„го ..., сл наилучшее приближение в среднем квадратичном функции у(х) дает отрезок ряда Фурье этой ф) нкции. Это значит, что Ьллл (1 г — лл(!а имев~ наименьшее значение, если в качестве лл взять отрезок рядз Фурье.
Так как Ьл ) О, то имеет место яериаенстло Бесселя л ,~~~ ал ~~'У)!" а-0 для всех и, а значит, ~ а' ( !)у!'(-", а=о При л оо величина Лл уменьшается н если при этом Ьл О, то суммы Ул(х) = ~ алуа(х) л=о сходятся в среднем к г(х). Таким образом, сходнмость в среднем суммы у' (х) к функции Г"(х) равносильна наличию равенства, называемого равенство.а ууарсеваляг ~Ч,' а-" =((у !)а, а-о Равенство Парсеваля называют также уравнением замкнутости. Ортогональная система функций называется полной, если не существует функиии, отличнои от нулевой, ортогональной ко всем фуйкцияы системы. Если ортонормированная система (ул (х)) полна, то сумма ряла Фурье любой квадратично-суммируемой функции у(х) равна у (х).
Сходимость ряда ~~ ', алла (х) ь-! следует из теоремы Фишера — Рисов. В самом деле, если л я+р ал(х)= ~ алла(х) н ал,р(х) = ~~, 'ааль(х), л ! л-! то л+р (! зл р(х) — зл(л) (!' = ~ а'. л+! 114 гл. н. интеГРлльные уРлпнения !3.!,1 Вдд едстлд е Н еР а вене та а Бесселя дрсл еддяя с у азы а может б ы ть сделана" Меньше сколь утодно малого 'числа, ее чи только выб рать н достаточно большим.
Пусть алел (х) = л(х), аа = (у, еа). л=! ТОГДа, ЕСЛИ (Х)=У"(Х) — Р(Х), тО (, -„)=(У, та) (Я, еа)— =а„— а„=О н а силу предпотоженной полноть! системы (т„(х)), (х) ==- О. Следозате.!ьно, аьта (х) =г (х), а=! Отсюда яге следует, что )!уг"=(у,у)= ~„аа(у,та)= ~ а', а=! л=! т.
е. для любой каадратично-суммируемой функции имеет место уравнение замкнутости, если ортонормироаайная система полна. В 1. Интегральные уравнения Вольтерра 22.1. Теоремы существования и единственности. А. Прн услоаияк, что ядро К(х, з) уравнения Вольтерра второго рода т (х) — ).
$ К(х, з) т (з) !(з =г (х) (2.!.1) а ограничено по абсолютной лелпчипс в треугоаьной области а~х, з~!!, .!.— з и имеет лишь конечное количество точек разрыва с одной и той же абсциссой х или с одной и той же ординатой з, К(х, з)= — 0 при з)х, а свободный член у(х)— непрерывная функция, сушестаует непрерывное и притом един- ственное решение ураанения (2.12). Б. При условиях, что ядро К(х, з), а = х, з (Ь, К(х, з) = О при з ) х, квадратично суммиртемо и у (х) С у.' (о, 6], существует, и притом едннстаенное, каадратично-суммируемое решение уравнения (2.1.1). Единственность а данном случае понимается с точностью ло функции, определенной на множестве меры нуль.
2.1.2. Метод последовательных приближейий. Пусть та Ох) =т (х), х т! (х) = у (х) + 1 ~ К (х, з) т, (з) г(з, а тя (х) =у(х)+ 1 ) К(х; з) тя, (з) т(з (и=1, 2,...), 2.!.21 $1 интегРАльные уРАВнения ВольтеРРА 115 Посаедоватеаьность (Еи (х)) при аюбом Л равномерно сдодитсн к решению уравнения (2.!.1). Функции Ти(х) нваиютса посаедоватедьными прибаиженинми решения уравнения (2.1.1). Ит целесообразно выразить посредством итерировапных (поен(орных) ядер К„(х, з), где К, (х, з) = К(х, з) и Кпю(х,з)=)К(х з)Ки(з з)дх (п=! 2 3 ") сдедтющим образом хр и мг !=!!ге((Е *к г . 1]гг гас.
а «=! Тогда ср (х) =5 (х) — Л ! )!' (х, з, Л) у (3) дз, о где П(.», ь, ) = — ~~ ~)'К,е! (х, з) =о — так называемое резольвенгпиое иаи разрешающее ядро. Рид, опредедиющий резодьвентт, сходится при всех значениих г,. Доиавательства см. Привалов РР Митями (21, Трияоми (21, !1 р имер 2.!.!. над!и решения уравнения х Х вЂ” 5 т(Ю вЂ” ») е у[5)дл У(Х). о Здесь К вЂ” 5 Кг(к, Н е е Х Х вЂ” ŠŠ— 5 Х вЂ” 5 Ка[х, 5)=)е' е Их е (х — 5), 5 Х Х вЂ” ŠŠ— 5 х — 5 [к" — 5)5 Ка(х, Н=)е е (е — 5) те=с 2 5 и Х вЂ” 5 (Х вЂ” 5) К (х,л) е' и+! и! (и=в, 1,...), П(х,л») — ~ ), К (х.ю — е ~~, — е и (х — Н (), (х — 5))п и+! и.
и О и=о Следовательио, р(х) ( [к) + Л ) е( + ) ) У р) де. (1+») [х — 5) а 116 ГЛ.. Н, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (э.!.в 2.12. Связь уравнения Вольтерра с дифференциальными уравнениями. Диффереициааьное уравнение Лпц а(л -! и — „+ а, (х) — „, +... + ап (х) и = Г'(к), х ) О, с начааьпыми усаовиями прн х=О и (0) = е„и' (0) = си..., игм " (0) = с„, эквивалентно интегральному уравнению Воаьтерра и Т (х) + ~ К (х, 5) и (в) оаэ =- у (к), о где (2Н.З) и т.
д. См. Гуров 1Ц, Триаоми РР (х — э)ь ' К(х, а) = ~ аь(х) — —, (й — 1) ! у (х) = а"'(х) — с„,а, (х) — (с„,х+ е„,) аа (х) хп ' ,)гп-! ( 1)1 +... +сок+со) л(х). См. Триаоми 1Ц. Гуреа 1Ц. а также Камне (Ц. 2.1.4. Уравнения Вольтерра первого рода.
Интегральное уравнение Воаьтерра первого рода а ~ К(х, э) о(в) лев=у(х) (2.1.2) й в предположении, что К(х, х) ж'= О, К' (х, в) и у' (х) существуют и непрерывны, дифференцированием приводится к уравнению Воаьтерра второго рода л К' (х, а) У'(х) Т ( ) + ! К (х х) ™ ~~ К (х х) В том случае, когда К(х,х) == О, ди4иререццирование (2.1.2) приводит к уравнению ~К;(., а);(а) да.=У" (х), (2.!.4) а и, в предположении, но К' (х, х) ~ О, К"„(х, э) и /' (х) существуют н непрерывны, дифференцирование (2.1.4) дает "К'„(х, а) У (х) р(х)+), Т(5)г(а= — и — —— К (.,х) К„(х, х) 2.2,к! 2 2 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА 1!7 ф 2.
Интегральные уравнений Фредгольма второго рода ж2.1. Теоремы существовании н единственности решения. А. При условиях, что ядро К(х, з), — Оо(а(х, з(Ь(+оэ интегрального уравнения Фредгольма второго рода ь т(х) — Л ~ К(х, з) л(з) йз =у(х) есть кусочно-непрерывная функция переменных х и з такаи, что ь ) К (х, 3) к(з ( С, (9 2 9) и а функция у(х) — кусочно-непрерывная н имеет интегрируемый квадрат, существует, и притом единственное, ктсочно-непрерыв- ное рещение уравнения (2,2,1) для всех Л, дзя которых ьь В = ~ ) Кл (х, з) к(х аз, аа !Л!(.—, Число /ьь В =~лл ) )Кл (х, 3) йхйз аа существует, и притом единственное, каадратично-суммируемое решение уравнения (2.2.!).
См. Миллим !31, Траками РЬ Теоремы 2.2.1. А и 22.1. Б дают достаточные условия существования решении и получены методом последовательных приближений. Си. и. 2.2.2. Дальнейшие сведения о разрешимости интегральных уравнений второго рода см. п. и. 2.2.5 и 2.3.10. Более полное исследование множества значений )и при которых разрешимо уравнение Фредгольма, проводится методами теории функций комплексного переменного. См.
! урка !!1, Миллим !21, Привалов !!1. называют нормой ядра. Ограничение (2.2.2) необходимо вишь в случае бесконечных а, Ь. Б. При условиях, что ядро К(х, з), и -х, з(Ь уравнения (2.2.1) квадратично-суммируемо и , 'Л, (В ', где ьь В'=$ $Кл(х, з) ктхк(з, У(х)Е Е.л!а, Ь), ли Гл. н. !ГнтеГРАльные мРАВыення !2,2.2 1 ! 8 Е.шг.
М етод последовател ь иы х п рнблнже н нй. Полагают ре (х) = У (х) ь т (х) = У (х) + Л ~ К(х, з1 м, (з) йз, а м -!. ( ) тг(. 1+ )1К(х з)р (и) асз ( = О, 1, 2,,„) Посс(сдоватсльиость (у„(х)) равномерно сходится к решению уравнения (2.1.1) при ' Л ] (В '. Последовательные прибг(ил(ения м„(х), т! (х),..., 8„(х), ... пелесообразпо выразить погрсдствои итсрированиых ядер К„(х, з), где К, (х, з) =-К(х, з) и К„» (х, з) =- ) К„(д, г) К (г, з) дгз. а Таким образом, решение интегрального уравнения имеет форму ряда у (.х) =-У (х) + ) ы, (х) + Ла(ыа (х) +...
+ Л" ф„(х) +, . и называемого (гидом Неймана. Пример 2.2.!. Найти решенье уравненнп ! е(х) — Л) е р(мае у(х). о Здесь все итерированнью ядра совпадают ! Кт(х,е]=)е е а с исдодиыи. Например, х — е Ее = е далее х — е — Н(х, е ))= К(ь, 5](! + ) +)т+, +ь ь-...] ! — л И данном «дунае ряд дая реаоаьвентното ндра тельно, дда втид Ь имеется единственгюа реше ! л х !†! О сводится при , 'Л ](! и. саедова. ние е у(т) ап Тогда при малых знамениях параметра Л ь т (х) = у (х) — Л ) Н (х, 3, Л) ~ (з] с(5, а где рсзольвентное (разрешающее) ядро Н(х, з, Л) опредслястсн формулой — Н (х, з, Л,) =-К, (х, з) +ЛК. (х, з) +...
+ Л"К„» (х, з) +.. 22 3! й 2. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ! (й Можно нокаяать, что найденная функиия является решение» данного уравнсии» при всея Д ой!. И р и и е р 2,2.2. Найти три нослсдовагсдьиыд приближении решенно интегрального уравионян у 1х! — 0,1 ) К !х, 5! у !И аг = 1, 0 х 0 х 5, к(., о= Ивеои =!+01~ лали О .т р„! !=!+о!( а(!ф — — — аг-,о1 ! -(11Ф.— 10 20, ' ' ., ! 10 20г 31 .та ха хс = 1+ — х — — — — + —.
300 20 бОО 2400 2.2.3. Уравнения Фредгольмв с вырожденным ядром. Ядро, которое является конечной суммой произведений функций от х на функцию от з н К(х, з)= ~ а;(х) Ь;(з), 1=! называется вырождеяныдг. Здесь функции аг(х), а также функции Ь, (з) можно считать линейно независимыми. Н р н и е р 2д.з. К (х, д! = х+ д, ая = х, Ьг =- ц а = 1, Ьа = я. решение интегрального уравнения с вырожденным ядром сводится к решению системы линейных уравнений, В самом деле, н ь гр (х) — ) ~Л~ ау (х) ) Ь; (з) р (з) г(з =у(з), (2.2.З) г=! а Обозначив ~ Ьт(з) р(з) дз =сь а получаем Т (х) = !'(х) + Х ~Р ~с!а; (х). (2.2.4) .о1х)=' ! 1х1=1+01) К!х, л! 0 1 ° !ил+О.! ) К1д, я)! ° аг=- ОЛ ~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
