Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 38
Текст из файла (страница 38)
т) (о, гс причем можно сделать ис(ас) = 1, если е достаточно мало. Нетрудно проверить, что свойством типа (7.67) обладают также операторы Хч и Ха. Для дальнейшего потребуется один результат из теории интегральных уравнений, который докажем здесь как лемму. Рассмотрим интегральное уравнение с у(С) = ) К(С, ) у(е) е+С(С), о (7.68) еде В(С, в) — некоторая непрерывная Функция (называемая рееояьвентой), имеющая оценку Сс(С, е) < Кехр (К)С вЂ” е)). где К(с, в) — непрерывная функция, ограниченная по модулю величиной А. ,СХеясяса7.АРеюение интеераеьнаео уравнения (7.68) существует и представимо в виде у (С) = ) В (С, в) С (в) де+ С (С), (7.6$!) о 200 АСИЬШТОТИКА РЕШЕНИИ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ )ГЛ. 6 Методом индукции нетрудно получить с с сюу — (о с>у .= ) к (с, с) ( (с) лс, где к„ (с, ц = ~ к (с, $) к ($, с) ссз.
Отсюда 1 су (Е)у ) ((иу Се>у) + ... + (соСР С -И„) с =- 7 (с) + ~ 1 (~) [ к (с. с) + к. (с, ) + -. + к„(с, ) ) с)о о (7.70) Ряд К(с, а) +Кс(с, г) +... сходится равпомерво, что следует из опеяок (К( < К, ~ К ~ < К ) с — с), *", )Ке(< ( 1)) . Поетому, обозначая сумму ряда череа Н(С, с) и переходя е (7.70) к пределу при о со, получим (7.69).
Лемма доказана. Перейдем к доказательству теоремы. Применяя Формулу (7.69) к (7.65), где в качестве 7 возьмем Хе+ Н,, получим (7.71) е подставляя это в (7.66), получим 6 = Ес+ Нс. (7.72) Здесь Не = 0()с), Нс = 0(р), а уч и Хс обладают свойством типа (7.67). Запишем систему уравиеикй (7.71), (702) в виде у =Ау+К, (7.73) припекая обоаиачекие у для пары Ь, 6. Сугпествоваяие решения у уравпепия (?.73) или, что то же, существовапие решения Ь, 5 системы (7.71), (7.72), а следовательно и задачи (7.55), (7.56), можно докааать, пользуясь опять-таки методом последовательных приближений, который сходится, так как оператор А будет сжимающим в силу свойств операторов уе и 5ь отмечеииых вылив. Для доказательства воспользуемся методом последовательных приблис жеиий, полагая (Ссд (с) = 7 (с) .
(~+му (с) = ) к (с, с) С Юу (з) ссз + 1 (с). Равное мерная сходимость последовательиоств (ысу(с)) докаеываеюя, как в $6 гл. 2. Кроме того, имеем с (И, (Ес„ с с 6 «зсу — (ссу = ~ к (с, с) ((ссу — сесд) ь == ~ к (с, с) ссз ~ к (с, 5) 1 (с) оь = о е е с с '= 17(5)651К(с. ОК(с,Ф)л = — 1 К,(с, $)уа)ж.
о В о з 2) спигулягнык позмущкиия 201 гдв а ( 1 — козффвппвнт, зврзктеркзувшвй с вкмвюжов своастго оператора А. И павоввп, лля првдввв у последоввтелыюстк г ~у, т. в. длл решоквя уравнения (7.73), будем иметь р(у, О) (~ р(у, '"'у) + у('ыу, О) < у(у, ооу)+ Ср + —. Устромввв в к вз прп фпкспровапзом р, будок кмоть 0(у, О) ( СЛ)(! — а). Это озввчввт, что звр)Л)+зву(Ь) "Срц1 — и) п, такам об1з,г1 (вд ~ разом, Л = 0(п), б = 0(р). Теорема 7.5 доказана. 3. Построение аснмнтотики фуяцаментальнон системы решений дчн линейного уравненпя второго порядка с малым параметром при старшей производной.
В риде задач теории колебаний, квантовой механики и др. встречается сингулярно возмущенное уравнение вида г .( ()г( .), (7.74) не удовлетворяющее требованиям предыдущего пункта. К типу (7.74) принадлежит, в частности, уравнение двилгения маятника (7.11) при отсутствгиг трения, т, е. в случае а=О. Чтобы уравнение (7.11) свелось к системе типа (7.14), для которой выполнено условие устойчивости (7.18), лежащее в основе всей теория п.
1, нужно, чтобы а было отличным от нуля. Если же а = О, то теория и. 1 неприменима. Как известно, в этом случае решенпе уравнения (7.11) носат колебательный характер (вследствие малости р колебания будут иметь очень болыпую частоту), т. е. явление качественно отличается от рассмотренного в и.
1. Пользуясь линейностью уравнения (7.74), мы не будем свяаывать построение асвмитотякп с заданием дополнительных условпй, как это было сделано в предыдущем пункте, где рассматривалась начальная задача, а поставки целью построить аснмптотику фундаментальной системы решений, что даст возможность получать асимптотпку решенвй, определяемых самыми разнообразиымп дополвнтельнымп условпямв. Будем предполагать, что на сегменте а (л( б 0(л) ФО н является трижды непрерывно дяффереяцнруемой функцией (для определенности будем считать фл) ~ О).
Перейдем в уравнении (7.74) к новой пензвестнол функции и. положив з у =-. ип, где п =- ехр — ! (,) (л) Нл . ,Н в (7.75) 7(оложпм '"'у = я. 11з своаств Лз в Нг смеем ррз)у, О) ( Ср (расстокнпв вволптсв твк жо. квк в 1 7 гв. 2). л тогда р(ооу, 0)(р(гоу,о)+, ('"у, '<'у)+ ... - + р (' 'у, '" "у) < Ср (1+ а+ ... + ав) < —,' СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЭМУЩЕНИЯ $2! (7.81) оаначает, что существуют решение системы (7.76), имеющее вид и=и+О(р), з а+0(р), и, следовательно, решение у1 уравнения (7.74), представимое первой формулой (7.78).
Что касается второго решения уи то, так как ра =-. у1, представление для ут отдельного докааательства не требует. При этом ех(т, н) = = ет (х, р). Для докааательства (7.81) перейдем от (7. 79), (7.80) и вквивалентной системе интегральных уравненпй Л (х) = ) à — ну (т! 6(ъ) — рх' (т) е от, 6 (х) = ~ Л ($) с5„ а откуда перейдем к уравнению, содержащему только Л(х), (7.82) х х / - — ) оах хы — ~Лф(~ е т а а — ")оа х — ~ з'(т) е ' от = (1)+ (2). (7.83) (2)= — ре ' ~ +р)е ' (2 —.0)от=а(х,р)р. а Преобраауем теперь (1) таким же интегрированием по частям: х х йз ~' (1) = — — ) Л(в)с$~е Е(.) Г 20(.) 3 х + ] ~,— ) Л($)с$~ е ' Нт = — —, ) Л(т)8т+ Г/0(т) Г ~ а, 0() Г 3 ~ИЕ(х) .) ~ 20(*) 3 а а а и Интегрируя по частям второе слагаемое этого выражения, по' лучим 204 Ась<о<птотикл Решепия по малоыу пАРлметэу <гл. т Таким образом, уравнение (7.83) принимает вид Ь(х) == $ $<(х, т, р)<(т $ Ь(э) «э+ ! 7(х, т, р) Ь(т) г)т+ а(х, р) р, при этом (а(х, $<)$ ~а, )р(х, т, р)$ ( р, $7(х, т, р)$ С 7, где а, р, 7 — некоторые не зависящие от р постояпные.
Меняя в первом слагаемом порядок интегрирования, получим ~ Ь (Д е$ ~ р (х, т, р) «т = — $ р (х, Е, р) Ь ($) <$ь, а ) а где 6(х, э, $ь) ( 6, 6 — не зависящая от р постоянная. Тем самым уравнение (7.83) преобразуется к окончательному виду Ь (х) = ) К (х, т, р.) Ь (т) г)т + а (х, $<) р, (7.84) й где К(х, т, (о) р(х, т, 1<1+7(х, т, р) и, следовательно, $К(х, т, $<)! ~ К (постояпная К не зависит от 1<1. Применим к уравкеиию (7.84) метод последовательных приближений, подобно тому, как это было сделано в отношении ураввенин (7.9). Положим 'о'Ь = О, "Ь =- ~ К (х, т, р) "Ь (т) <)т + а(х, $<) р. а Методом индукции, как это уже ие раз делалось выше, петрудио получить оценку (7.85) пз которой, как в 5 6 гл.
2, следует равномерная сходимость последовательности '"'Ь к решению Ь(х) уравнения (7.84). Так < аь <"'Ь = <о<Ь+ (о>Ь вЂ” <о'Ь) + + (ооЬ вЂ” <' — «Ь) и еле)вжатая<,— по, !«" Ь$ < !'"Ь$+ !'"Ь вЂ” "'Ь$+...+ !'"'Ь вЂ”" "Ь), то согласно (7.85) .А-1 <е о<А <т ( арещ*-'~--аре~<~- < = Ср. Поэтому ! Ь ! =- ~1(ш < ~Ь ~ ( Ср., т. е. Ь (х) = О (р), что и требуется.
Лвалогичная оценка для 6(х) получается ич второго уравнеипя (7.82). Таким образом, оценки (7.81) доказаны. СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗЫУЩЕПИЯ % в! 205 2) Убедныси теперь, что решения Ч» и уз = у» линейно незаписпмы, доказав, что определитель Вронского Т)())ы уз) отличен от нуля. Инее»» Ъ читывая что в' = — ' Г)п, получим далее ! р В(У„пз) = Г а р !С» ]и ]и+ О (р) ! + 3 — ие р и* — и* + О (р! ~ = — — ]ив*+ О (р)] = 2ег) р = — — (из+ 0()х)~, 2ЬР ы откуда у»ке ясно, что вта величина отлична от нуля.
Ф Таким образом, й, и рз.=у» действительно образуют фундаыептальную систему решений, и теорема 7.6 доказана. Заме чаев я. 1. Можно доказать, что аналогичный результат имеет место и для уравнения )»ту -Г)з(х)у=О, с той разницей, что в (7.78) следует» ааменпть едшпгцей. 2. Полученные асимптотпческие формулы (7.73) теряют смысл, если на (а, Ь] имеются точки, где ()(е) обращаются в нуль. Такие точки яазываются гочк ии поворота. Термна происходит из квантовой иехапикв. тле некоторые завачн лля уравнения Шредингера в одномерном случае прввоЛятсл к уравнению тпйа (7.74).
Прп наличны точек поворота аспыптотнка строится более сложным образом и соответствующая теория выходит за рамки настоящего учебника. Метод построения аснмптотлкн решений уравнений типа (7.74) в физике часто называется ВБК-ыетодоы по пыепн ученых-физиков Венвеля. Брнллюзна и Краыерса, разработавших соответствующий алгоритм е связи с задачами калатозов механики (подробнее об этом сы. *)). 3. Метод наып яролеыонстрвровал на примере (7Д4). Следует, однако, заметит»ч что етот иетоа распространяется иа спнгулярно еоаыущеапые гвстеиы более общего зила. Подробный апалпв осноечых иней метода, его дальнейшее развитие е сеять с вопросом так называемой регулярпзапян сннгулярно возмущенных задач ондер;кптся в работах С. А. Ломова (сы., например."з) ) .
4. Метод усреднения. Рассмотрим уравнение — ' = рУ ()7, 1), у (6, ) ) = )7'. (7.86) Из предыдупшго нзвсстно, что при условии достаточной гладкости правой части (7.86) на некотором сегменте (О, Т] решение за*) Л а ля а у Л. Д., Лиф шип Е. М. Квантовая механика.— Мл г!лука. 1974, гл. т'П. з*) Ломов С. А. Теория возмущений спнгулнрных краевых задаь— Алма-лта, 1979, 206 АсимптотикА Решении по мАлому пАРАметРу ' 1гл. т дачи (7.86) представимо асимптотически многочленом по степеням )о (теорема 7.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
