Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 41
Текст из файла (страница 41)
2. Многомерный случай. Рассмотрссм теперь общий случай (8.4) в предположениях, сформулированных в начале у 2. Поставим в соответствие уравнению (8.4) систему (ср. (8.0)) дхс — =-ас(х„...,х„) (с=-1,...,п) (8.17) и систему для фазовых траекторий (ср. (8.8)) ех с!х з а„ (8 18) Интезральные кривые системы рравнесисй (8ЛО) назывшотся характеристиками уравнения в частных нроизвод>сых (8.4). В силу условий, наложенных на коэффициенты а„для системы (8.18) шлеет место теорема существования и единственности, и через каждую точку и-мерной области б проходит одна и только одна характеристика.
аверелла 8.1. Вдоль характеристики решение и(хс, ..., х„) уравнения (8.4) сохраняет постоянное значение. Действительно (ср. (8.9)), % з сСи ч;с зи ахс '~~ зи (8.19) с с с — — 1 т. е. и=соне(. Идея построения общего решения уравненния (8.4) является естественным обобщением того, что имело место для п=2. Область С покрывается характеристиками, которые образуют семейство, аависящее от п — 1 параметров Ос, ..., 0 -с. Капгдой точке (хс, ..., х„) области С может быть поставлена в соответствие система аначений Ои ..., 0 с, г, при атом О;=8с (хс, ..., х ), с = Т(хс,..., х„). Задание Ос,..., О. с выделяет характеристику из линвйное РРлинение семейства, а 2 — параметр, определяющий точку на характеристике.
Имеем и(хи ..., х„) =о(0„..., О. и г). В переменных вс Ои ..., О„и 2 уравнение (8.4) принимает вид в = О. Таким образом, о Р(Ои ..., 0„~) и, следовательно (ср. (8.12)), и(хи ..., х ) =ГЩ(хи ..., хк), ..., 6 -~(хи ..., х„)), (8.20) Для строгого обоснования атой формулы пам потребуется понятие первого интеграла системы уравнений (8.18). При этом будем предполагать, что а (хь ..., х„) »-0 в О. Тогда (8 18) можно записать в виде нормальной системы Ве~ в~ — — (( = 1, ..., п — 1). ч ч (8. 21) е в качестве Ои ..., 0» можно взять начальные значения х~г, ..., хч т; х, будет играть роль а Семейство решений системы (8.21) имеет вид х, =Х;(х„, хчы ...,хО ы хо) (1=1, ...,и — 1). (3.22) где Х» — те же самые функции, что п в (8.22), так как выража- ют тот же закон соответствии. 8 а меч ание.
То, что справа в (8.22) и з (8.23) мы имеем одни и те же фулкцал, удобно продемонстрировать на примере линейной системы с независимым переменным е и аеиззестной вектор-функцией л с комлонентамл еь ..., е„ь Формула (8.22) имеет вид (см. (3.84)ъ=п»(е„)Х Гр — г(е„")еГ = Л»(»х, х„")ех.
разрешая относительно з' получаем (8.23), т. е. '=И (ее)И'-'( )з=-Х"('„.. ) . Функции Х»(хи, х ) (х~ч в (8.23) фиксировано) можно использовать в качестве с»» в построении общего решения (3.20). Заметим еще, что из взаимной обратимости формул (8.22) и (8.23) следует, что в(у~ „,,х„ и( " .) Определение. П е р в ы м и н т е г р а л о м с и с т е м ы (8.18) называется Яунщия <р(хи ..., х„), обращающаяся толсдественно Х» выражает закон соответствия между парой точек интегральной кривой: начальной и текущей. Их можно поменять ролями, и тогда получим хр = Х; (ха, х„..., х„-1» х„) (1 = 1,..., п — 1), (3.23) уРАВнвния В чАстных пРОизВОдных 1гл. з 218 в постоянную, когда точка хи ..., х„пробегает интегральную кривую системы (8.18)х).
Оченидно, функции Х»(хь ..., х ) в формулах (8.23) являются первыми интегралами системы (8.21), так как при подстановке (8.22) в правые части (8.23) они обращаются тождественно в х";. Однако первыми интегралами могут быть и другие функции и, что особенно удобно при практическом решении, первые интегралы нередко могут быть получены, например, методом интегрируемых комбинаций (для получения (8.23) надо решать начальную задачу и это менее удобно). о'х Вх П ример 8.3. ~ — — х, ~ — -х ° Сяладывая етн уравненяя, получим »1 х» »вЂ” 1 (х + х )=(хд + хг). Отсюда х + хв = Се ' н первым интегралом будет ф =(х +х)г в Вычнтая уравнения, получям,~ (х — х ) = — (х, — хт), откуда найдем другой первый интеграл: фг — — (х — хт) е '.
11усть найдены п — 1 первых интегралов ф»(хи..., х,) (1 1, ... ..., и — 1) системы (8Л8) и при этом В(Ф' фя ') ФО В а, (8.24) В(хн".*х г) г. е. интегралы ср1, ..., ф, ~ независимы**) Ц8.23) представляет собой пример системы п — 1 независимых первых интегралов). Теорема 8.2. Всякое решение ф(хи ..., х„) уравнения (8.4) является первым интегралом системы (8.18), и, обратно, всякий первый интеграл ф(хь ..., х„) системы (8Л8) является решением уравнения (8.4).
Прямое утверждение фактически было доказано выше (см теорему 8Л, цепочку тождеств (8Л9), где и = ф). Для доказательства обратного утверждения заменим в (8.19) и на ф и возьмем в качестве исходного тождество — як О, а в кали »Ю честве конечного получим 2' ас — — О. Ото последнее можно гав» дф »-1 » рантировать лишь по переменному 1, т. е. вдоль характеристики. А для того чтобы ф(хи ..., х ) можно было считать решением е) Иногда первым интегралом еааывают не фуяяпню»г, а соотношенне ф = сопв1.
ча) См. Ильин В. А„Погняя Э. Г. Основы математнческого «палнаа.— М.: Наука, 1971, ч. 1, гл. 15. ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕННЕ уравнения (8.4), нужно, чтобы это тождество было тождеством по переменным х1, ..., х . Однако, поскольку через каждуго точку 6 проходит характеристика, то тождественное равенство нулю вдоль каждой характеристики означает тождественное равенство нулю всюду в С. Теорема 8.8. Всякое решение и = ф(х1, ..., х„) уравнения (8.4) представимо в виде и = Ч'(1р,(х1, ..., х„), ..., 1р 1(хг, ..., х„)), (8.25) где Ч" (гр1, ..., 1р„1) — некоторая дифференцируемая функция своих аргументов 1р1,, ~р, 1, а гр1(хг, ..., х ) (1 1,..., и — 1)— первые интегралы системы (8.18), удовлетворязощие условию (8.24). Доказательство.
ф а также гр, (по теореме 8.2) являются решениями (8,4), т. е. а — + ...+а„— =О, д1Р д1) дз дз дрг д1Р 1 и а, д +...+а„— =О. 1зри-1 гзри-1 1 п 11 каждой точке области 1' эти соотношения мОжнО Рассматривать как систему линейных алгебраических уравнений относни тельно а1, ..., а„. По условию ~'., а;ныл, т. е. имеется нетриви- 1 1 альное решение. Следовательно, определитель этой системы равен нулю всюду в С: В(ч 'Р1 . 'Р"-1) О В(з„..., „) Отсюда по теореме анализа*) между гр, 1р1,, гр 1 имеется функциональная зависимость н в силу условия (8.24) эта зависимость может быть представлена в разрешенном относительно ф виде чр = чр(1р1э . и 1ри-1)1 что и требуется. 3 з м еч з н н я.
1. Доказанная теорема дает обосноззнне приведенной выше формуле (8.20). 2. Формула (8.25) прв произвольной днфференлнруемой Ч' обладает тем свойством, что в ней согласно теореме 88 содержкгсн любое решепне урзз- з) См. Ильин В. А„Позннк Э. Г. Основы математического зпалнзз.— Мл Наука, 1911, ч. 1, гл. 15, теорема 15.4.
уРлвнвнпя В члстных производных игл. г яеявя (ВА). С другой сюроэы, легко проверить лепосрелстееяяо, что лрп л1обой дифферезаяруемой Ч" фувкзяя о эз (В.2Ц удоелетеоряет ураелевяю (ВА), тем самым формула (В25) предстлеляет общее решевве ураеяелля (В.4). Поставом теперь дополнительное условие, дающее возможность из множества (8.25) выделить одно решение. Для этого нужно задать в области С многообразие и — 1 измерений и ва атом многообразии задать значение искомого решения (в случае л = 2 з и. 1 задавалась кривая 71). Пусть это многообразие (обозначим его тоже 71) задается параметрически (через параметры гп ..., г„~) э виде х, = в<(гь ...„г„~) (1= 1, ..., и) и искомое решение на нем задается также как функция параметров ги °, г -6 и [„, =- в (г„.; ., г«,) (8.26) (начальная задача,или задача Коши).
Пусть известны и — 1 независимых первых интегралов «рь Имеем % [т~ = Ч>г (в~ (гг« ° ° ~ г«-1) « ° - . > в«(гю ° - ° з г«-г)). Обозначим $; = <р;(в1(гь ..., г. ~), ..., в.(гь ..., г„~)) П = 1, ... ..., л — 1). Предположим, что эта система л — 1 уравнений с и — 1 неизвестными гп ..., г„1 разрешима относительно ги ..., г„м так что г,=й~фь ..., $ -,) 0=1, ..., и — 1).
Тогда решением поставленной задачи будет и(хи ...,х ) = =в%1(<р1(хи..., х.), ..., <р ~(хм ..., х )), ..., Й«-1(ср1(хи ° ., х ), ° ° -, вр -1(хи ..., х.)Н. (8.27) Действительно, это выражение является Решением уравнения (8.4), так как содержится в формуле (8.25) (см. замечание к теореме 8.3). Кроме того, учитывая, что вс [„, = $;, получим и[т, = = в [Йг Яу~ В«-г) ~ 1)« — д ($~1 ~ з«г)[ — в (гм ° 1 г«-г)« т. е. удовлетворяется условие (8.26).
Исследованием вопРосов однозначной или неоднозначной разрешимости задачи (8.26) мы э общем виде заниматься не будем. Для п = 2 это было сделано выше, в п. 1. и 2. Квазилинейиое уравнение Обратимся к изучению уравнения (8.3): Х а; (х„..., х„, и) — ' = а (х„..., х„, и). (8.28) Будем предполагать, что а; 0=1, ..., л) я а являются диффе ренцнруемыми функциямн своих аргументов хп ..., х„, и в неко- квлзилнпейнок угявпенне 221 торой области В (и+ 1)-мерного пространства переменных хь ...
..., х., и. Решением уравнения (8.28) будем называть любую функцию от аргументов хь..., х, обладающую частнымп производными по зтим аргументам и обращающую уравнение (8.28) а тождество. Как и в случае линейного уравнения, зто решение можно геометрически пптерпретировать как поверхность в пространство хп „х, и. $. Общее решение и начальная задача. Сопоставим уравнению (8.28) следующее линейное уравнение: Ха;(~п ..., ) —.+ (хм ..., ) — '=О. (8.29) Теорема 8.4. Пусть о= )т(хп ..., х„, и) — решение уравнения (8,29), Пусть уравнение У(хь ..., х„, и) = 0 определяет в области С переменных хь ..., х„некоторую дифференфируемую функуию дг'1 и = ф(хь..., х ), и пусть —.„) чь 0 в С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
