Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323)
Текст из файла
А. Н. ТИХОНОВ, А. Б, ВАСИЛЬЕВА, А. Г. СВЕШНИКОВ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Докригено дгинистерстеаи виошеео и среднего снедиалъггово обрагованиа ОССР в «ачестве риебника дгл студентов бгагико-.математических снеииавькостей висгаик риебньгк ваведений МОСКВА «НАУКАэ ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИИ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОИ ЛИТЕРАТУРЫ $080 огллвлкник От редакторов серии Предисловие 9 9 13 Глава 4 1.
$2. 1. Введение Понятие дифференциального урашшввя Физические задачи, приводящие к дифференциальным урав- нениям Глава 4 1. й 2. 24 24 4 5. т 6. 4 7. Глава 4 1. 70 70 76 30 83 4 2. $3. 4 4. $5. $6 $7 105 108 122 4. Краевые задачи Постановка краевых задач и кх физическое содержание Неоднородная краевая аадача Задачи на собственные аваченин 1лава $1. $2.
4 3. 129 129 135 5. Теории устойчивоств Постановка аадачи Исследование на устойчивость по первому приближению Глава $1. $2. 2. Общая теории Элементарные методы интегрирования Теоремы существования и единственности решения началь- ной аадачн для одного уравнения первого порядка, разрешен- ного относительно проиаеодной. Алгоритм ломаных Эклера Уравнение, неразрешенное относительно производной Теорема существования и единственности решения нормаль- ной системы Зависимость решений от начальных значений и параметров Метод последобательвых приближений (метод Пикара) Првпцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке 3. Липейньге дифференциальные уравнения Уравнение движения маятника как пример линейного урав- нения. Основные свойства линейного уравнения с постоянвы- ми коэффициентами Общие свойства линеввого уравнении я-го порядка Однородное линейное уравнение я-го порядка Неоднородное линейное уравнение я-го порядка Линейное уравнение я-го порядка с постоянными козффппп- ентамн Системы линейных уравнений.
Общая теория Системы линейных дифференциальных уравнений с постоян- ными ноэффициентами Построение решения линейного уравнения е виде степен- ного ряда ОглАВлжнпп $3. Метод функцвй Ляпунова 1 4. Исследование траекторий в окрестности точки покоя Г л а в а 6. Численные методы решении обыквовеншкх дифференциальных уравнений 5 1. Численные методы решения начальной вадачи 1 2. Краевые аадачн Глава 7, Асимптетика решений дифференциальных уравнений по малому параметру $1. Регулярные возмущения $2 Сингулярные воамуШения Г л а в а 8. Уравнении в частных производных первого порядка $1. Линейное уравнение $ Х Кввэилиневное уравнение Литература 140 146 152 152 168 177 177 183 2И 211 220 ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ Настоящая книга представляет собой седьмой выпуск серии «Курс высшей математики и математической фязикиз и посвящена теории обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных первого порядка.
В начале книги разбирается ряд физических примеров, приводящих к дифференциальным уравнениям того илк иного типа. В дальнейшем наряду с начальной задачей излагаются краевая задача и задача Штурма — Лиувилля, изучение которой имеет важное значение для решения задач математической физики. Большое внимание уделено основным понятиям, идеям и теоремам численных и асимптотических методов решении дифференциальных уравнений. ПРКДИСЛОВИК Предлагаемая книга представляет собой очередной выпуск серии аКурс высшей математики и математической физики» под редакцией А. Н. Тихонова, В.
А Ильина, А. Г. Свешникова. В основу книги положен курс лекций, который в течение многих лет читается на фиаическом факультете Московского государственного университета. Изложение отвечает современному состоянию теории дифференциальных уравнений в той мере, как это требуется будущим специалистам по фнаике и прикладной математике, и в то же время достаточно элементарно. Больцюе внимание уделяется в книге приближенным методам решения и исследования дифференциальных уравнений — численным и асимптотическнм, которые в настоящее время лежат в основе изучения математических моделей физических явлений.
Читатель получит представление о различных методах численного решения как начальных, так и краевых аадач, о таких фундаментальных понятиях теории численных методов, как сходимость разностной схемы, аппроксимация н устойчивость. В главе, посвященной асимптотическим методам, содержатся, в частности, сведения из так называемой теории сингулярных возмущений (метод пограничных функций, метод ВБК, метод усреднения), которая бурно развпзается в последние десятилетия в связи с потребностями таких разделов физики и техники, как теория автоматического регулирования, гидродинамика, квантовая механика, кинетика, теория нелинейных колебаний и др. 1~укопись книги была просмотрена Е.
А. Гребениковым и Л. Д. Кудрявцевым, сделавншми ряд ценных замечаний. Неоценимую помощь в подготовке рукописи к печати оказал Б. И. Волков. Всем им авторы выражают свою искреннюю благодарность. Авторы 1979 г. ГЛАВА 1 ВВЕДЕНИЕ 5 1. Понятие дифференциального уравнения В настоящей книге рассматриваются дифференциальные уравнения, т. е. соотношения между неиавестной функцией, ее производными и неаависимыми переменными. Уравнения, содеря<ащие производные по многим независимым переменным, называются уравнен ми в частных производных.
Уравнения, содержащие производные лишь по одной из независимых переменных, называются обынновенн ми ди4Яеренциальными уравнениями. Изучение свойств и методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и составляет основное содержание данной книги, лишь последняя глава посвящена некоторым специальным классам уравнений в частных производных. Неаависимую переменную, производная по которой входит в обыкновенное дифференциальное уравнение, обычно обозначают буквой х (или буквой г, поскольку во многих случаях роль независимой переменной играет время). Неизвестную функцию обоаначают через у(х).
Обыкновенное дифференциальное уравнение можно ааписать в виде соотношения (1.1) В уравнение (1.1), помимо неиавестной функции, ее производных по независимому переменному х и самого независимого переменного х, могут входить и дополнительные переменные рь ..., р„.
В атом случае говорят, что неизвестная функция зависит от переменных рь..., р„как от параметров. Порядок старшей проиаводной, входящей в уравнение (1.1), называется порядком уравнения. Уравнение первого порядка имеет вид Р(х, у, Д) =О (1.2) 1о .ввкдкник и связывает три переменные величины — неизвестную функцию, ее производную и независимую переменную. Часто зто соотношение удается записать в виде —" = ~ (х, у). (1.3) называется нормальной системой. Вводя векторные функции Р=(у ° ° ° Рп)» У =(1м ° - ~ 1ч)» можем записать систему И.4) в векторной форме — „".
=У( у). ЛР (1.5) Легко видеть, что уравнение и-го порядка И.1), разрешенное относительно старшей производной (1.6) может быть сведено к нормальной системе. Действительно, введем обозначения Р(х) . Р1 (х), — = — =-у,'(х),..., = ==у„(х). (1.у) лу лз, л~-~т лу, , 'Хогда, вследствие очевидного равенства ги лз <Ь" уравнению И.б) колено сопоставить нормальную систему Ву л =ум Фвч г =Р кв —" = ~ (х, у,..., у ).
(1.8) Уравнение И.З) называется уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной. Изучение теории обыкновенных дифференциальных уравнений мы начнем с уравнении И.З). Наряду с дифференциальными уравнениями И.1) — И.З) для одной неизвестной функции в.теории обыкновенных дифференциальных уравнений рассматриваются системы уравнений. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных гф. — „' = ~,(х, у„..., у„) (1 =-1, ..., и), (1.4) %я попятик диффкгкнцилльного тглвнкния В уравнениях И.1) — И.б) независимую переменную будем полагать действительной.
Неизвестные функции могут быть как действительными, так и комплексными функциями действительной переменной. Очевидно, если у(х) = у(х) + (у(х), где у(х) и у(х) — соответственно действительная и мнимая части функции у(х), уравнение И.З) эквивалентно системе обыкновенных дифференциальных уравнений для действительных функций: — У = Ве) (х, у, у), — У = 1ш((х, у, у).
(1 10) Решением системы дифферегщиальных уравнений И.4) называется всякая совокупность функций у,(х) П = 1, ., п), которые при подстановке в уравнения обращают их в тождества. Как правило, и как зто будет видно из последующих примеров (см. $2), если дифференциальное уравнение разрешимо, то оно обладает бесчисленным множеством решений. Процесс нахождения решений называется интегрированием дифференциального уравнения. Обычно рассматриваются системы И.4) с правыми частями, непрерывными в некоторой области Р изменения неизвестных функций у, и независимой переменной х. Очевидно, что при этом решения у,(х) представляют собой непрерывно цифферезщируемые функции. Однако в приложениях иногда приходится иметь дело с уравнениями, правые части которых имеют разрывы (например, при описании ударных нагрузок, мгновенно приложенных сил и т. д.), поэтому и сами решения будут иметь разрывы производных.
Тогда естественно в качестве решения И.4) рассматривать непрерывные функции у~(х) с кусочно непрерывными производными. При подстановке в уравнения они дифференцируются всюду, за исключением точек разрыва (или отсутствия) производных. Всякое решение у,(х) П = 1, ..., п) системы И.4) можно интерпретировать геометрически как кривую в (п+ 1)-мерном пространстве переменных х, уь ..., у, которая называется интегральной кривой. Подпространство переменных у„..., у„ называется уЗ завыл пространством, а проекция интегральной кривой на фазовое пространство — фаговой траекторией. Уравнения И.4) определяют в каяздой точке области 0 некоторое направление, аадаваемое вектором т = И, )и ..., )„).
Характеристики
Тип файла DJVU
Этот формат был создан для хранения отсканированных страниц книг в большом количестве. DJVU отлично справился с поставленной задачей, но увеличение места на всех устройствах позволили использовать вместо этого формата всё тот же PDF, хоть PDF занимает заметно больше места.
Даже здесь на студизбе мы конвертируем все файлы DJVU в PDF, чтобы Вам не пришлось думать о том, какой программой открыть ту или иную книгу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
