Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 7
Текст из файла (страница 7)
При этом следует иметь в виду, что нарушение сформулированных выше условий теорем существовайкя и единственности решения начальной задачи служит лишь необходимым, но не обязательно достаточным условием того, что данная точка является особой. Поэтому для окончательного решения вопроса, является ли данная точка особой, необходимо дополнительное исследование. 5.
В начале э 1 гл. 2 укааывалось, что для достижения соответствия аналитического описания геометрической картине следует наряду с уравнением (21) рассматривать уравнение (2.2). Если при этом в точке (хо, уо) для (2.1) нарушаются условия теоремы 2.1 в результате обращения 1(х, у) в бесконечность, то 1/1(х, у) в втой точке обращается в нуль и для уравнения (2.2) условия теоремы существования н единственности выполнены. Таким образом, в атом случае точка (хм уэ) является обыкновенной, но проходящая череа нее интегральная кривая имеет вертикальную касательную. 6.
Если функция 1(х, у) является разрывной в области В, имеющей разрывы первого рода на прямых х=хь=сопэ1(й= згьвнания вида г( ю у') з = $, 2, ..., )у), то даже при условии, что г«(х, у) удовлетворяет требованиям теоремы 2.1 на участках своей непрерывности, в области «) не существует обычного, так называемого «классическогоз решения начальной задачи (2.38). Однако, как нетрудно видеть, в этом случае можно реалиаовать алгоритм последовательною па участкам непрерывности функции 7(х, у) построения ломаных Эйлера '"'у(х). (Точки разрыва х„мы каждый раа будем включать в число точек разбиения '"'х, отрезка (х«, Х) н в качестве аамороженного значения функции 7(х, у) на шаге, начинающемся в точке разрыва, брать определенное, например, правое предельное аначеяве функции )(х, у).) При атом предельная функция у(х) последовательности (' 'у(х)) при '"'й — О, очевидно, окажется непрерывной с кусочно непрерывной производной, имеющей разрывы первого рода на прнмых х = хь Причем на участках непрерывности Ях, у) невяака при подстановке функции у(х) в исходное дифференциальное уравнение равна нулю.
Эту предельную функцию у(х) естественно назвать обобщенным решением начальной задачи (2.38) на отрезке (х«, Х), Заметим, что с этим понятием обобщенного решения мы по существу уже встречались в предыдущем параграфе при рассмотрении линейных уравнений с кусочно непрерывными коаффициентами и правой частью. 7. Метод ломаных Эйлера не только позволяет доказать существование решения рассмотренной начальной задачи, но и дает непосредственный алгоритм построения приближенного решения, сколь угодно близко аппроксимирующего точное.
Этот метод легко реализовать на ЭВМ. Поэтому он является одним из эффективных методов численного решения начальных аадач. При его конкретной реализации естественно возникают вопросы точности полученного приближения и ряд специфических вычислительных аспектов общеи проблемы численных методов. Эти вопросы подробнее будут рассмотрены в гл.
6. 9 3. Уравнение, неразрешенное относительно производной 1. Теорема существования и единственности решения. Перейдем теперь к рассмотрению дифференциального уравнения первого порядка общего вида г'(х, у, у') =О (2.67) и выясним достаточные условия существования решений этого уравнения. Функция Р в области своего определения задает соотношение между неизвестной функцией у, ее производной у = — и независимой переменной х.
Если это соотношение уда«Уу д« ется разрешить относительно производной у', то получаем одно овщля твовия или несколько дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно проиаводной у' ~д(х, у) (й= 1, 2, ...). (2.68) Пусть функции )„(х, у) вокрестности точки (хг,уг) плоскости (х, у) удовлетворяют условиям теорем существования н единственности решения начальной задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.
Тогда через точку (хг; уг) проходит по одной и только одной интегральной кривой у~(х) каждого из этих уравнений (й 1, 2, ...). Все зги интегральные кривые являются решениями исходного дифференциального уравнения (2.67) (при подстановке в уравнение (2.67) функции у,(х) обращают его в тождество). Направление вектора касательной к интегральной кривой у„(х) уравнения (2.68) в точке (хг, уг) определяется значением функции Дхг, уг)- Если зтн значения различны, то через точку (хг, уг) проходит несколько интегральных кривых уравнения (2.67) (столько, каково число уравнений (2.68), полученных при разрежении уравнения (2.67) относительно проиаводной), но направления векторов касательных к зтнм кривим в точке (хе, уе) различны. Поэтому, чтобы выделить определенное решение уравнения (2.67), надо не только задать начальные данные — значение решения у(х) в точке хг, т.
е. у( )=уг, (2.69) но и значение производной решения в этой точке у'(х,) =уз. Очевидно, зто значение не может быть задано произвольно: уе должно быть корнем уравнения Р(хь уг у ) =О- (2.76) Итак, существование решения уравнения (2.67) связано с возможностью разрешить его относительно у' и существованием решений уравнений (2.68). Тем самым достаточные условия разрешимости уравнения (2.67) определяются известными иа курса анализа условиями существовании неявной функции и ее непрерывности вместе с производной. Имеет место следующая теорема. Теорема 2А (существованимиединственнести).
Если в некотором замкнутом трехмерном прямоугольнике Рг с центром в Гъ точке (хм ум уг), где уг — действительный корень уравнения Р(х~, у, у ) = О,, выполнены условия: а) Р(х, у, у') непрерывна по совокупности аргументов вместе ер вр с честными производными — и —,„ ве дд' за? тглвавпия вида г(ы л, тч о вр г У б) —,(хы У„У ) ~0, то в окРестности точки х хо срществует решение у=у(х) уравнения (2.67), удовлетворяющее условиям у(х,) = у„у'(х,) = у~, (2,71) причем ето решение единственно. Доказательство.
В силу условий а) и 6) теоремы, в ок. Фъ рестяости точки (хы уы уз~ вьшолпеиы условия существоваиия и едааствеккости неявной Функции У 7(х, У?, (2.72? удовлетворяющей условию уе = ((х„у,), (2.73) причем найдется такой замкнутый прямоугольник Вл с центром в точке (хе, уе), в котором фуккция ?(х, у) непрерывна вместе с '. 6)' производиой —. вычисляемой по правилу дифферекцировакиа де' неявкой функции вр е„(х, е, р(ы е)? (2.74) ет(ъ е. У( ° е)? ео Но это озиачает, что начальная "задача- у(хс) уе для уравнения (2.?2) имеет и притом единственное репгеиие ка отрезке ?х — (- Н, (2.75) так как выполнены все условия теорем существования и единствеииости 2.1 и 2.2. Теорема 2.4 доказака.
Если интегральные кривые уравкеаий (2.66), пересекающиеся в точке (хы уе), имеют общую касательиую в этой точке, иаправлевис которой определяется значением У~, то в атой точке, очевидно, будут иарушеиы сформулироваикые выше утсловия едикствеиности решения уравнении (2.67) относительно у . Пример 2.3. Рассмстрам уравнение (Е')' — (7х+ О)е'+ 2лт О.
(276) Разрешал его отаосательао прсааводпой Е', получим дза урававаза первого порядка, разрешенные относительно проаззсдаой: е' ю (2.77) е'= 2х; (2.78) правые часта которых удовлатворалл условиям теорем 2Л в 2.2 существозааая и едаастаеааостя решеааа аачальвой задачи в шобой точке плос- (гл. 2 ОВПГАЯ ТЕОРИЯ 42 кости (е, у) Общие решения уравнений (2.77) и (2.79) икшот ввд у = С~е" (ь79] +Си (269) гдв постоянные С~ и Се определяются из печальных условвй.
Как лвпю видеть, чеввз любую точку плоскости (ш у) проходят квк иятвгральвая кривая семейства (2.79), так и ввтегралькая кривая семейства (2.99), причем в точках прямой у = 2х кривые втвх Х семейств имеют общую касательную У у'(ве) = 2ве (рис. Б). (В точке (О, О) ивтвтральиая кривая у=ее касается прямой у О, являввцвйся часткым решением уравнения (277), 2 юл которо в может быть получено из формулы (2.79) при С~ = О.
Эта шв е иктвгральвая кривая у = ве пересекается в точке х = 2, у = 4 с ивтвгрввьвой кривой у = (2/е1ее» семейства (2.79), причем в етой точке обе кривые имеют общую касатвльаую у = 4.) Твккк образом, прямая у = 2в представляет собой геометрическое мвсто точек, в которых ю нарушены условия ввлиствввиости решения ураввввия (2.76). (В втих точках пе выполи вво условие б), зр~ Х поскольку, ~.~~ =О ) Ву М=зе р „б у крююя у = ее; 2 — кри- 2. Интегрирование уравнеу — ее+ 1„8 — куиввв У = ния, неразреш Б — прямая у = 2в. тельно производной, путем вве- дения параметра. Доказанная в предыдущем пункте теорема 2.4 гарантирует при выполнении определенных условий возможность сведения исходного уравнения (2.67) к уравнению (2.68) и разрешимость последнего.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
