Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Такая область пространства с заданным в каждой точке направлением называется полем направлений. Интегрирование системы уравнений И.4) геометрически интерпретируется как нахождение ~гл. 1 Введннии кривых, у которых направление касательной в каждой точке совпадает с направлением т, ааданным в данном поле направлений. Как отмечалось выше, дифференциальное уравнение имеет, вообще говоря, бесчисленное множество решений. Поэтому, интегрируя систему И.4), мы найдем бесчисленное множество интегральных кривых, лежащих в области определения правых частей системы И.4).
Чтобы иа всей совокупности решений выделить отдельную интегральную кривую, представляющую собой так называемое частное решение системы И 4), надо аадать дополнительные условия. Во многих случаях такими дополнительными условиямп являются начальные условия у~ (х,) =- у~ (1 = 1,..., п), (1И1) определяющие ту точку (н+ 1)-мерного пространства переменных х, уь, у„, через которую проходит данная интегральная кривая. Задача интегрирования системы И.4) с начальными условиями И.11) называется нач льной задачей или задачей Коши. В простейшем случае одного уравнения — «=((х, у) (1 12) функция )(х, у) определяет поле направлений в той области Э плоскости (х, у), где задана правая часть И.12). Это поле нацравлепий в каждой точке области В задается вектором т(х, у) с угловым коеффгщиентом )(х, у) У ((йсс =1(х, у)) (рис. 1).
Решение начальной задачи с за) данным начальным условием у(хс) =* = ус в этом случае заключается в па(ху) а~г ' — строении в области Б интегральной кривой у = у(х), выходящей нз нау )~ (х йд чальной точки (хе, уз) н в каждой своей точке (х, у) касающейся вектора т с угловым коэффициентом )(х, у). Эта наглядная геометрическая Рнс.
интерпретация делает очевидным следующее утверждение, Лемма (лемма Чаяльзгина). Если в области Й плоскости (х, у) однозначно разрешимы начальные задачи длл дифференциальных уравнений зз Ну — „' = 1, (х, у), — „з = )з (х„у), ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ правые части и начальные условия которых удовлетворяют не- равенствам 11(х, у) < (з(х, у), у1(хо) ~ уз(хе) то и решения у~(х) и ут(х) соответствующих в области Р удовлетворяют условию у1(х) ~ уз(х).
(1 13) (1 14) задач Коши всюду (1.15) б 2. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям В настоящем параграфе будет приведен ряд типичных задач физики и механики, изучение которых методом математических моделей приводит к исследованию дифференциальных уравнений. 1. Радиоактивный распад. Физический закон, описывающим процесс радиоактивного распада, заюпочается в том, что ско'рость распада отрицательна и пропорциональна количеству пераспавшегося к данному моменту времени вещества.
Козффициент пропорциональности и, являющийся характерной Лля данно о вещества постоянной, не зависяшей от времени, носит название козффипиента распада. Математическое выражение закона радиоактивного распада имеет следующий вид: — = — син (1), (1.16) где т(1) — количество нераспавшегося к моментч воеменв г вещества. Это соотношение представляет собой диффере~щиальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной.
Непосредственной проверкой легко убедиться, что решение (1.16) имеет вид т($) = Се "'„ (1. 17) Воаможны и другие способы аадания дополнительных условий, выделяюгцих определенное частное решение системы (1.4). К их числу относятся: так называемые краевые аздачи, в которых определенное частное решение выделяется требованием, чтобы удовлетворялись дополнительные условия в нескольких различных точках области определения решении; задачи на собственные значения, состоящие в определении некоторых параметров в уравнении, при которых существуют частные решения, удовлетворяющие поставленным дополнительным требованиям; задачи поиска периодических решений и ряд других постановок, поаволяющих однозначно выделить требуемое часто» 1 т~ние уравнения.
!гл. г вввдкнив где С вЂ” произвольная постоянная, которая может быть определе на из дополнительного условия, например иа начального условия т((э) = тэ, задающего количество исходного вещества в начальный момент 1э. Частное решение соответствующей начальной задачи имеет вид (1.18) т(г) =- ш,е вп ' >. Ж О «г е-кт 2 о откуда Т = — )п2. 1 Я (1.19у Отметим, что уравнение (1.16) является математической моделью не только процесса радиоактивного распада, но и многих других процессов деления иля размножения, характеризуемых тем, что скорость деления (размножения) пропорциональна количеству вещества в данный момент времени, нрпчем коэффициент пропорциональности есть некоторая постоянная, характеризующая рассматриваемый процесс.
Как мы убедились, типичной постановкой задач для этого класса уравнений является начальная аадача (задача Йоши). 2. Движение системы материальных частиц. Математической моделью движения системы )у материальных частиц массы т, (1=1, ..., Ж), принятой.
в теоретической механике, являются уравнения двинсения, следующие из второго закона Ньютона: юг, / Иг.1 т; —,' = 7,~1, и;, ф (г, 1 =- 1, ..., )г'). (1.20) Здесь г~ — радиус-векторы частиц, Г~ — вектор силы, действу- ющей на 1-ю частицу н зависящий, вообще говоря, от времени, ко- ординат 1-й частицы, взаимного расположения частиц системы и их скоростей. Система (1.20) представляет собой систему У векторных уравнений второго порядка. Если массы частиц не ме- няются в процессе движения, то, обозначив декартовы коорди- наты радиус-вектора г, череа хь уь з~ и вводя новые переменные лз Иу,. сЬ, им = ш Рш = и*, Ры = —,' (компоненты вектоРа скоРостей 1-й частицы), можем записать (1.20) в виде нормальной системы б)У, Одной из важных физических характеристик процесса радиоак- тивного распада является время полураспада — промежуток вре- мени Т, аа который количество распадающегося вещества умень- шается вдвое.
Из И.18) найдем .$ 2! ПРИМЕРЫ ФИЗИЧЕСКИХ ЗАДАЧ уравнений первого порядка: ИР— =ш Лг Пн лз. — ' = У. рг оэ (1.21) йе~ э а2 Ф. 2 Й~. ы т ьт 2 (1. 22) при известных правых частнх (заданиых внешних силах, действующих на систему, и силах взаимодействия между частицами). Другой типичной задачей лля системы (1.21) является крае.вая задача определения траектории, проходящей через задшшые начальную и конечную точки в фазовом пространстве.
К этой задаче мы, в частности, приходим при расчете траектории космического аппарата, направляемого с Земли на Луну или какую-либо планету. В ряде случаев рассматриваютси и другие постановки .задачи определения частного решения системы (1.21). Важным частным случаем системы (1.20) ява .Зяется уравнешке колебаний физического маятника. Обычно физическим маятником называют абсолютно твердое тело, которое может вращаться под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести С (рис.
2). Рассмотрим сечение данного тела плоскостью, перпендикулярной оси вращения я проходящей через центр тяжести. Точку пересечения оси Рве. 2. вращения с данной плоскостью обозначим О. Очевидно, положение фиаического маятника в любой момент времени можно характеризовать углом ~р, который составляет прямая ОС с вертикальной осью г, проходящей череа точку О. Для вывода уравнения двииеения воспользуемся вторым ааконом Ньютона в применении к вращательному движению (угло.вое ускорение пропорционально главному моменту внешних сил). Сложность интегрирования системы (1:21) в первую очередь определяется видом правых частей, т. е. функциональной зависимостью компонент вектора силы от переменных Г, хэ эь з,, ц„, им, ин.
Во многих случаях получить' значения частного решения системы с заданной степенью точности удается лишь численными методами, используя современные ЭВМ. Типичной задачей ,для системы (1.21) является начальная задача, ааключающаяси в определении траекторий частиц по заданным в начальный момент времени Ге положениим и скоростям всех частиц системы ~'(2.) = ~~, 2(2.) =-4 Тогда, пренебрегая силами сопротивления, получим 1 — = — тьч( еш ~р, (1.23) нР где 1 — момент инерции тела относительно оси вращения, а И— расстояние от точки О до центра тяжести С. Общее уравнение (1,23) колебаний фианческого маятника является нелинейным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
