Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Общее уравнение колебаний распределенной системы И.38] переходит в обыкновенное дифференциальное уравнение и в тех случаях, когда рассматриваются периодически колебания, происходящие под действием периодической внешней силы. Пусть )(х, г) =)(х)сов ай Будем искать решение И.38) также в виде и(х, г) = й(х) соа ег(. Тогда для и[х) — амплитуды периодических колебаний, установившихся в систегге под действием перио„дической внешней силы, получим обыкновенное дифференциальное уравнение [й(х)й„(х)).+ егер(х)й(х) = — ~(х). И.42) ВВЕДЕНИЕ игл. с Типичной краевой аадачей определения частного решения уравнения И.42) опять является краевая задача с граничными условиями типа ((.40), (х.4х) или более сложного вида.
В ряде случаев интерес представляет определение частот собственных колебаний системы — частот тех установившихся периодических колебаний, которые возможны в системе при отсутствии внешних сил, как распределенных, так и сосредоточенных в граничных сечениях. Эта задача сводится к краевой задаче для однородного уравнения (4.42): ()с(х)и.(х)) + юэр(х)и(х) О.
(1.43) Требуетсн определить те значения параметра юэ, при которых уравнение И.43) имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее ааданным однородным граничным условиям. Такая аадача носит название краевой задачи о собственных значениях. 6. Уравнение теплопроводности. Одним иа типичных уравнений математической физики явлиетси уравнение теплопроводности, к выводу которого мы сейчас перейдем. Тепловое состояние тела 77 можно описать с помощью скалярной функции и(М, с) — температуры и точке М тела в момент времени с. Теплофиэические характеристики тела описываются функциями плотности р(М) и теплоемкости с(М), которые в широком интервале температур можно считать не зависящими от температуры, а также коаффициеитом теплопроводности й(М), являющимся коэффициентом пропорциональности между плотностью потока тепла череа алсмептарную плосцадку ЬЯ и градиентом температуры в направлении нормали к этой площадке ди й(М) Ви ~~' (144) ЛЧ = ~ с(М) р(М) (и(М, С+ йг) — я (М, С)) сСУ (%.45) Й определяется потоком тепла череа боковую поверхность сХ рассматривае мого объема: с+ах ЕО,= ~ ~й(м)з"г и с ах (х.46) (производная берется по каправлепию внешней нормали, что определяет знак плюс перед интегралом в (й46)) и количеством тепла, выделяемого внешними источниками, распределенными в пространстве и во времени с плотностью )(М, с): Л0э= ) ) 1(М, т)йуйт.
Й [(.47) Мы считаем поток тепла направленным от более нагретой стороны площадки к менее нагретой (градиент температуры в этом направлении отрицате лен), что определяет знак минус в формуле (Е44). Чтобы построить математвческую модель иамспеиия тезшературы в рассматрвваемом теле, составим уравнение баланса. Изменение количества тепла в элементе объема йУ эа промежуток времени от момента с до момента с+Мс ПРИМЕРЫ ЮИЗИЧЕСКИХ ЗАДЛЧ 4 2) Имеем 84), = лд, + лРэ. (1.48) Преобрааовав поверхностный интеграл в выражении для Л(>т по формуле Остроградского (при атом мы предполагаем необходимую гладкость функций й(М) и и(М, с)), получим интегральное соотношение баланса тепла в виде с (М) р (М) ( и (М, С + Лт) — и (М, 1)) о У = лу с+ля 1+И ~ б(т [й(М) йтад (М, т)) ор г(т+ ~ ~ 1(М, т) Л'Ит.
(1.49) лт Заменив выражение в квадратных скобках в левой части (1.49) по формуле конечных приращений, вычислял интегралы по теореме о среднем значении и переходя в полученном выражении к пределу при ЛУ О, ЛГ О, получим дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет температура внутри тела йв ди с (М) Р (М) — = д)ч [й (М) йгаб в (М, 1)) + 1(М, Г). (1.50) При этом, так же как и при выводе уравнения упругих колебаний (188), мы предполагаем, что неизвестная функция и(М, г) и коэффициенты уравпения (1.50) обладают достаточной гладкостью.
Уравнение (1.50) ивляется уравнением э частных проиэводпыь — мы построили математическую модель изменения температуры и с пространстве и во времени. Стационарное распределение температуры под действием независящих от времени источников описывается уравкеви.м Мт[й(М) Етая и(М)[ + 3(М) = О. (1.51] Это, вообще говоря, также уравнение в частных производных — температура вависит от нескольких пространственных координат. Б частном случае, когда стационарное распределение температуры зависит только от одной пространственной координаты, например в случае распределения температуры в стержне с продольной осью х, получим обыкновенное дифференциальное уравнение [й(х)и„(л)[ + ((х) = О.
(1.52) Типичными вадачами определения частных реюенпй уравнения (1.52), так же как и в случае уравнеяив (1.39), являются краевые аадачи с заданными граничными условиями. гллил х ОБЩАЯ 'ТЕОРИЯ 5 1. Элементарные методы интегрировании Решение дифференциального уравнения, как правило, не удается выразить в виде элементарных функций или квадратур от них и для получения частных решений приходится прибегать к различным численным методам, эффективность которых неизмеримо воаросла с появлением и развитием современных ЭВМ. Однако до появления ЭВМ стремление «проинтегрировать дифференциальное уравнение в квадратураха определяло одно из основных направлений в исследовании обыкновенных дифференциальных уравнений и привело к появлению многочисленных справочников а) по решению дифференциальных уравнений.
В настоящем параграфе мы кратко остановимся на некоторых простейших и наиболее распространенных в приложениях случаях, когда удается получить решение уравнения первого по- рядка + =у(х, у) (2 11 и квадратурах. Заметим сраау, что во многих задачах геометрического характера переменные х и у в (2.1) равноправны. Это дает основание наряду с уравнением (2.1) рассматривать и урав- нение оа 1 Ф 1 (х, р) ' (2.2) а также уравнение первого порядка, ааписанное в виде Д(х, у)г)х+ух(х, у)бу О. (2 3) 1.
Уравнение с разделяющимися переменными. Так называется уравнение вида 1,(х)е)х+ 6(у)оу = О. (2.4) и) См., яапрвмер, Комке Э. Спраиоакик по обыккааеккым двфферыпиялякмм урааиеиикм, лад. 5.—, М; Наука, 1976. оц ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ Предположим, что это уравнение имеет решение в некоторой области х) = (!х — хо! =.. а, !у — уо! < Ь). Функции ~1(х) и ~»(у) определены и непрерывны соответственно на (х — хо! ~ а и )у — уо! - Ь.
Подставив. Это решение в (2.4), получим тождество, интегрируя которое, будем иметь 5Ы ) б + 5~,(у) )у=- (2.5) Неопределенные интегралы в (2.5) носят название квадратур, откуда и возник термин «интегрирование уравнения и квадратурах». Выражение (2.5) можно переписать в виде Ф(х, у) =С, (2.6) которое означает, что функция Ф(х, у) сохраняет постоянные значения на решениях уравнении (2.4) (различным решениям отвечают различные постоянные).
При каждом фиксированном значении С выражение (2.6) определяет некоторое частное решение у =у(х) уравнения (2.4) как неявную функцию переменного х. Если же С рассматривать как параметр, то выражение (2.6) определяет семейство решений у=у(х, С). Выражение (2.6) называется интегралом соответствующего дифференциального уравнения.
Если выражение (2.6) или в более общем случае выражение вида Ф(х, у, С) = О, в котором С рассматривается как параметр, определяет все множество решений соответствующего дифференциального уравнения, то это выражение называется общим интегралом данного дифференциального уравнения, а полученное иа него выражение у =-у(х, С), содержал(ее все решения данного уравнения, называется общим реисением данного дифференциального уравнения.
Выражение (2.5), очевидно, является общим интегралом уравнения (2.4). Чтобы выделить частное регленив уравнения (2.4), определяемое начальным условием У(хо) Уо, (2.7) достаточно в выражении общего интеграла (2.5), записанного в виде ~ (, (х) дх+ ) ~» (у) «(у =- С„ хе о. определить постоянную Сь Требование удовлетворения начальному условию дает С~ = О, откуда искомое частное решение в неявной форме определяется интегралом ) )»(х) г(х + ~)о(у) ду = О. (гл.
2 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ у — ) 7(х)кх = С и частное решение,удовлетворяющее яачальпому условию (2.7),— х и= ~ У(~)4 +и ° (2.10) (2.11) В частном случае уравнения (2.9) с постоянной правой частью ау — =а (2.12) получим частное решенно, удовлетворяющее начальному условию (2.7), в виде у = а(х — хе) + уа (2.13) Пример 22. й=% (2Л4) Сделаем замену искомой переменной, наложив з = у/х. Так как прк атом ау аз у = хх, †„ =. х — + з. то уравнение (2Л4) переходит в уравнение * Ых ах ~(з х И +з=)(з), которое может быть записано в виде (2.4): ах ах х 7(з) — з (2ЛЬ) Легко видеть, что ряд уравнений может бить приведен к уравнению с разделяющимися переменными (2.4). Так, уравнение У~(х)д1(у)дх+ Ых)дт(у)с(у = 6 (2.16) после деления на у1(у)72(х) приводится к требуемому виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
