Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Эти вопросы и составляют основное содержание настоящего параграфа. Итак, рассмотрим начальную задачу для нормальной системы т уравнений первого порядка Е1 = Х1 ( 1 У1. ° ° 1 Упю)1 Ц у1(д) =уз1 (1=1, ..., т). Пусть функции Д(д, у1, ..., у.,) определены в области Х), пред- ставляющей собой (т+1)-мерный параллелепипед Х)= ((8— — 1,)(а, )У1 — у11(<Ь1 (1=1, ..., т)] с центром в точке (111 уз, ..., Уз). Предположим, что в области Х) функции ХЯ, у1, ...
у ) непрерывны вместе с частными производными д)1' — (1, у = 1, ..., т). Следовательно, адг ~ Х1 (дэ У1т э Уюз)! » ~))Хг ~ д (Тт У1е 1 Ууа) ~~))(е (2.110) ( д11 ге причем постоянные М и 11 не зависят от 1 и Х. Повторяя рассуждения, проведенные в случае одного урав- нения, легко установить, что искомая интегральная кривая (если она существует) не выйдет из области Х) на отрезке (гм Т) из- менения независимой переменной д, где Т=дз+ХХ, а значение ХХ определяется как овщля твогия ~гл. з На первом шаге взаморозимь функции 1,(1, ун ° ., у.) в точке (г„, у,"„..., у,"„) и, интегрируя полученные уравнения с постоянной правой частью, найдем значения функций у,(1) на отрезке (гг, $~1г ео (() в+1 (1 ь о)(1 1) Найденные функции определяют в (и+1)-мерном пространстве переменных $, уь ..., у на участке ((ь, <"'111 прямолинейный отрезок интегральной кривой нормальной системы (2.109) с постоянными правыми частями.
Вектор-функция 'ыу(1) на Ис, 1~1 является первым звеном ломаной Эйлера. Значения функций у~(г) в точке $ = Р1 примем за новые начальные значения к, повторяя вьппеописанный алгоритм, получим ломаную Эйлера на отрезке (гз, Т1. Из предыдуших рассмотрений ясно, что на этом отрезке построенная вектор-функция у(г) не выйдет из области 1Х Введем понятие е-приближенного по невязке решения начальной задачи (2Л09), аналогичное соответствующему понятию для случая одного уравнения.
Определение.Непрерывная на отрезке (йь Т) вектор-функция у(г) = (у~(г)... у (1)) с кусочно непрерывными проигводнь ми лз, — „график которой целиком лежит в области 1), называется е приблизсенным по нее явке решением начальной задачи (2Л09), если (у~(гь) — уф ~ е (г=1, ..., т) и при подстановке функций у~(1) в уравнения (2Л09): — „,' = Хс (1, у„..., у ) + ~; (1), (2.112) где невяеки ~~(1) удовлетворяют неравенству зир ) ф, (г) ( ( з. аш~и т! (2.114) Чтобы доказать теорему существования, так же как и в слу'чае одного уравнения, докажем, что последовательность ломаных Эйлера ('юу(1)) при "Ь- 0 образует равномерно сходящуюся на отрезке (сс, Т) последовательность с -приближенных по невязка решений начальной задачи, а предельная вектор-функция этой последовательности у(г) удовлетворяет всем условиям исходной зздачн (2Л09). Доказательство этих положений составляет ссдержание трех лемм, аналогичных леммам $2.
Лемма 2.б. Для любого е ~ 0 можно указать такое з| ~ О, что все спприближенные по нееягке решения начальной задачи (2.109) различаются между собой на отрезке (йь Т) не больше, чем на е. теорет»з существоваш»я для систвмы 49 где И '"'у' Но) — "Я» (до)! < 2е ° » звр ) (»»»)»» (1) — (о»()» (Е) ) ~~ 2е(. »:»еРо т) (2. И7) (2.ИО) Обозначив (о»у»(1) — ('»у (1) = з (1) (2.ИО) ("Ф» (г) — (югу» (1) = ((ч Н), (2 120у и вычитая (2.И5) из (2.ИО), получим †, — Х» (1. ( 'у - " ' »Ьд — У (1. ( 'у ° - " ' 'у ) + р» (1). (2.121) Воспользуемся легко проверяемым непосредственно тождеством, справедливым для Функции Ф(и», ..., и ), обладающей непрерывными частными производными по и», ..., и (тождеством Адамара): Ф(и„,„., ир) — Ф(и„..„ир) = 1 г дФ = Ли., » — (и» + ОЛи», ио,..., и»,)»)О + "1 о » -(-Лио~ — (и„и + ОЛи„и„..., ир)»)О+...
о .. -)- Ли„( — (и, ..., и„„и„+ ОЛи„) ЫО (2.122) до о н перепашем (2.121) в виде »(Е» — т,ан(1) з)+»р»(»), (2 123~ 4 л. н. тихозоо о зр. Доказательство. Согласно условиям леммы для любогое. существуют такие е»-приближенные по невязке решения "'у(1) в (юу0), что — =-У»Р,">у», " "'у )+ "Ч ('), д (о» "т — » =- У»(1, (о»у» . (Юу ) +(о»»)»(х), (2.И61 овшья ткогия где ему)= ~ — '(1, 'Ъ,(1),..., ~цу;(1)+Озн ..., ~'>й (~))г(О е являются непрерывными функциями переменной Ф. Введем вспомогательную функцию р(Г) = Х з'(1), которую можно интерпретировать как норму уклонения вектор- функции < "у(г) от и'уИ). Умножив (2 133) на з, и суммируя по 1, получим Я= ~~~~ ап(3)2з~зу+2чч гР;(1)зо (2.124) ьу=~ 4=г 23~с Обозначим Он(1)= ~+ т. Очевидно, что !Ое(1)(~1. С учехом введенного обозначения выражение (2Л24) принимает вид — — "г = '~Р а" (Ф) О" Я (з7+ за) + 2 чч щ(1) з~ (2 125) .Введем обозначения ,Х '~РОИ+ 9 тР (1) = 2 Х Е М) з~ (1).
'Хеперь (2 125) можно записать в виде —,",'= р(1) р(1)+ )(1), (2.126) что представляет собой линейное уравнение с кусочно непрерыв.ными козффициентом и правой частью. На основании (2.110) имеет место условие тноуяма сицвствования для системы понтону для коэффициента )г(Ф) справедлива оценка !)ь(Ф) ! «2)ут. Поскольку решение не выходит нз области Р, на основания (2Л18) для правой части з)М) уравнения (2Л26) имеем оценку ! )(1) ! «йуе„ (2.127 г где 8 (ш (~осе ь ) (Ре ! Ь ~)) откуда и следует справедливость утвервгдения леммы 2.5. 3 а и е ч а н и а Продемонстрируем е»це один часто употребляемый метод оценки в»(1) — твк называемый метод интегральных неравенств. Интегрируя уравнения (2Л23) от гс до ц получим е» г ег(г) = ) ~~~ епе) (т)»»т+ ~ »Уг(т)»)в+е;(г ).
(2.1ло) ,, )ат ь В аьчу оценок (2.И0), (2.И7) н (2.И3) снраведлнвы неравенства ! ~ (г) ! <»»» ~ ~" ! е) (т) ! ее+ 2е (г — г ) + 2е . )ах Введя положательнуи функцию ю 2(ю)= ~ч~~~ (ет(гЦ у=1 н суммкрун неравенства (2229) по) от 1 до т,получим с Я (Г) ~ )Ую ~ Е (т)»7т+ 2юег (à — Ге) + 2в»е . (2.130) ь Подставим полученную оценку ч»увкцвн 2(г) через правую часть (2.130) под знак интеграла: (2 120) $( ю »»»~»» !»»» (г»»» .»»,г,— о».», ~»~». (, ь +2юе (г — г ) +2щг Наконец, Дла начального значениЯ Р(ге)= ~л'.~ Я;(Уе) и силУ г=т '(2Л17) справедлива оценке р(1,) ~~4те~. Позтому на основании формулы (2.53) имеет место неравенство (1) < г ~авен»в(~ге) + г (еен (~ — ге) 1) ь 2»"»'ю » Овшли тиогия Меняя порядок интегрнроеадая е первом интеграле и вычислял интегралы по переменной ть получим > Х О> ~ (»>т>э ~ р — х> 2 (ч> ат+ + 2сд 2 (с — сэ)'+2з>т(с — сэ) + 2зд>>т (с — сэ) +2вдт.
Продолжая аналогично, после в шагов получим с э> ч+д Р с>тт>"+д (> — с,)"+д Я(с)~ д™ ~~(с — т) Я(т>вч+2с ' "' +... и> >>> (и+ (>! >в стт (с — с,) ( э) ...+ 2ед + 2з т ~ ( + >тт (с — с ) + ... + "Хав как на отрезке [сэ, >1 фунвпев > "УО) в >э>у(с) не выходят нз области О, то фуннпив 2(с) огрэвсчевэ па (с Т). Поэтому, переходи к пределу при и- ээ, получим онснча>эвьнут опенку лзя фупнпии 2(с>: 2е„ 2 (с> в — (си~~ >" — () + 2е тень>с~>'>> ст етнудз и следует справелливость утвержленвя леммы 25.
Последующие две леммы доказываютсн полностью аналогично соответствующим ленд>ам 2.3 и 2.4 в случае одного уравнения. Лемма2.6.Если существует сходящаяся по невязке иа отрез.ке ((с„Т) последовательность е„-приближенных по иевязке решений 0">у((Н начальной задачи (2.(09), то зта последовательность равномерно сходится к вектор-функции у((), являющейся реи>ением данной задачи. Лемма 2.7. При »" й - 0 иевязки ломаных Эйлера равномерно .иа отрезке ((с, Т) сходятся к нул>о. Из лемм 2.5 — 2.7 следует основная теорема. Теорема 2.6 (существования).
Если функции )>((, уд, ..., у ) и их частные производные по веем переменным' у>,, у иепрерыв>сы в д>, то на отрезке 1(с, Т! существует решешы начальной .задачи у(с) для нормальной системы (2 (09), к которому последовательность 0 ">у(г)) ломаных Эйлера сходится равномерно на 1(с, Т1 при »")д - О. Так >к, как и в случае одного уравнения, имеет место теорема единственности. Теорема 2.6 (единственности). При выполнении условий теоремы 2.5 начальная задача (2.>09) имеет иа ((э, Т1 единственное, решение.
Доказательство этой теоремы полностью повторяет докаэатель ство соответствующей теоремы в случае одного уравнения. ТЕОРЕМА СУЩЕСТВОВАНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ Итак, теоремы существования и единственности решения иачалыюй задачи для нормальной системы полностью доказаны. Прп атом замечания, сделанные в з 2 по поводу теорем существования к единственности решения начальной задачи для одного уравнения, остаются справедливыми и в случае нормальной системы. В гл. $ было показано, что уравнение и-го порядка И.б) эквивалентно нормальной системе с1.8).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
