Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(2.186) Но при сь с 1 неравенство (2 186) возможно лишь при р(х, х) О, т. е. при х = х. Итак, теорема доказана полностью. Доказанная теорема имеет простую геометрическую интерпретацию. Если рассматривать алементы метрического пространства как точки векоторого множества, то сжимающее свойство б) оператора А означает, что расстояние р(уь рз) между образами ю =- Ахь рз = Ахз точек х~ а хз меньше расстоянвя р(хь хз) между исходными точками х, и хз.
Поэтому, когда мы строим последовательность (х„) по формуле (ь178), расстояния между соседними точками при возрастании номера а неограниченно уменыпаются и в пределе мы получаем неподвижную точку х, которая оператором А переводится сама в себя, Ах = х. Прнменим теорему о неподвинтной точке для доказательства существования н единственности решения начальной задачи Я=~(х,у). у(;)=у., (2.187) у (х) = уз+ ) ) (ь, у ($)) оь. хт (2Л88) Рассмотрим оператор Ау уз+ ~16, у6))д$ (2Л89) в полном метрическом пространстве М непрерывных на отрезке (хо, Х) функций у(х).
Покажем„что оператор А удовлетворяет условиям а) и б). В предыдущем параграфе было показано, что если функция )(х, у) непрерывна в прямоугольнике .0 = ()х — хо! с си, |у — уо! сЫ и удовлетворяет в 0 условию Лнпшица по у, то применение оператора А к непрерывной на (хе, Х! функции у(х), график которой яе выходит из Й, дает также непрерывную которая, как мы установили в предыдущем параграфе, эквива- лентна интегральному уравнению пРинцип сжатьгх Отовважении функцию Ау(х), график которой не выходит нз Р.
Тем самым оператор А удовлетворяет условию а) Остается проверить сжимающее свойство оператора А. Для этого рассмотрим .(Аю„.ы- ., ~(ш„аы-(~аьаьм~» кж$тт.ХЙ ~ к ке :с: зпр ~~У(5,р,($) — У(5,у (й))~д5. (2Л90) ст Воспользовавшись условием Липшнпа нля функции )(х, р), по- лучим р(Ауы Ауа)~Х впр ) )р (б) — уа($)~д$( кыаа» х" х„ :с Ф~х — хс~ епр ~уг(х) — уа(х)(~ХНр(уы у ). (2.191) сер:ьл~ Выберем теперь Н таким, чтобы удовлетворялось условие НН= сс(1. 12Л 92) Тогда оператор А будет сжимающим и в силу теоремы 2.11 мы можем утверждать существование в единстиевность решении начальной задачи (2.187) на отрезке (хс, Х). Распространение решения на больпптй отрезок производится рассмотренными выше методами.
3 а м е ч а и и е. Привцип сжатых отображений был применен для докааательства существования и едиисгееииости решения яачальвой аадачя (2йбу) для одного скалярного уравнении. С помощью привципа сжатых отображений легко доказать аяалсгичиую теорему и в случае иормальвой системы. ГЛАВА 3 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ й 1. Уравнение движения маятника как пример линейного уравнения.
Основные свойства линейного уравнения с постоянными коэффициентами Линейным дифференциальным уравнением к-го порядка называется уравнение вида аз(х)уоэ+а,(;г)уы о+...+о (х)у=)(х). (31) Вто уравнение обладает рядом замечательных свойств, облегчающих его исследование, а в ряде случаев и решение. Изучение этих свойств и составляет содержание настоящей главы. В приложениях линейные уравнения естественно получаются, если пренебречь членами более высокою порядка (см.
з 2 гл. 1). Ознакомимся с основными свойствамя линейного уравнения на примере уравнения маятника (см. п. 2 т 2 гл. 1) у +ау +ау=)((), (3.2) которое является линейным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами. Рассмотрим сначала случай ~= О. В этом случае уравнение называется однородным.
Физически это означает, что маятник движется свободно, на него не действуют внешние (вынуждаюгцие) силы, у + ау'+ ку = О. (З.З) Вудам искать решение этого уравнения в виде у=с"', где Х— некоторая ве известная заранэе постоянная. Подставляя искомый вид решения в (3.3) и сокращая на е"„получим Лт+аХ+к=О. (3.4') Это уравнение называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (3.3). Ему должно удовлетворять Х для того, чтобы е"' было решением (3.3). Решая уравнение (3.4), углвнннин дви>кнния ИАятникА % » 71 получим — и+ У аг — 4А 1,2= 2 Исследуем разные случаи.
а) с>2 — 4й О. Физически-это соответствует достаточно сильному трению (сопротивлению) среды. Оба корня Х> и Аа в этом случае действительны, различны и отрицательны, и им отвечают два решения п>у = еь >, >2>у = е> '. Рассмотрим начальную задачу у(О) ==у,', у (О) =-у,'. (3 5) Для любых двух и раз дифференцнруемых функций у>(х), у2[х) справедливо тождество (С> и С2 — константы) (С1уг (х) + СОУ2 (х))1 > Сьу>1 > + Ссу>0> (3 6) Основываясь на этом тон<дестве, нетрудно убедиться, что выаженяе р ' у = С, >1>у + С, >2>у =- С,е' '+ Сгеьв' (3.7) где С> и С2 — произвольные постоянные (лннейная комбинации "'у и '2'у), являетсн решением уравненнн (3.3), Эти постоянные можно однозначно определить из начальных условий (3,5). Действительно, подставляя (3.7) в (3.5), имеем уев С>+ СО, у>0 = С>)>> + Ст) 2.
В силу )>1 Ф)>2 определитель этой линейной алгебраической системы относительно С> и С2 отличен от нуля. Полученное таким образом решение начальной задачи О >О О УО ~2УΠ— У1 А,> ~>УО 1 А,> (3.8) У А — А е + А — » г 1 2 не осцнллируя, приближается с ростом 1 к >юложеняю равновесия У=О. Так как любое наперед заданное решение уравнения (3.3) удовлетворяет некоторому начальному условию (3.5), а по заданному начальному условию (3.5) однозначно определяется решение (3.8), то можно сказать, что в формуле (3.7) содергкнтся любое решение уравнения (3.3). С другой стороны, при любых значениях постоянных формула (3.7) дает некоторое решение уравнения (3.3).
Таким образом, формула (3.7) содерх>ит все решения уравнения (3.3) и только решения этого уравнения. Формулу, обладающую таким свойством, мы будем называть общим решением. Формула (3.7) представляет собой общее реп>ение уравнения (3.3). ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНПИАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ игл. 3 72 б) ао — 4й ( О. Физически зто соответствует достаточно слабому трению (сопротивлению) среды. В этом случае Л1 и Ло являются комплексно сопряженными: Ло = Лг и <ну =-е''=е-"ко~сов б 8+)яп ~ 21 иеу — (иуо 2 где р= У4й — ао Пользуясь тождеством (3.6), нетрудно видеть, что у1 = Ве "'у, у2=1ш '"у также являются решениями уравнения (3.2). Действительно, (у, + оуо)о + а (у, + оуо)' + Й (у, + )уо) = = (у, + ау, + ку,) + о (уз + ау, + )оуо) = О, откуда, приравнивая нулю отдельно вещественную и мнимую части, получим требуемое.
Возьмево линейную комбинацию уо И У2. у= С у + С у =Сде — ояо сов 2+ Сое — оиовш —,Г. (39) Нетрудно убедиться, что, как и прежде, С~ н Сз однозначно определяются условиями (3.5) и, таким образом, (3.9) является общим решением уравнении (3.3). Заметим, что в рассматриваемом случае в качестве общего решения можно по-прежнему взять (3.7), но прп этом постоянные Сп С2 будут комплекснымн.
Решение задачи (3.5): у = уоое "носов б о+ — (уо+ а уо1е-'"яояп ~ 8 (ЗЛО) описывает колебательный процесс. Колебания затухают по закону ехр(-а~/21. С ростом 8 это решение также стремится к полоноенню равновесия у = О. Если а=О (сопротивление отсутствует), то получаем периодические колебания с частотой ооо И, у =- у~сово>о8+ — уев)поз,1. (ЗЛ() о в) ао — 4Й=О. В этом случае опесанный способ дает только одно решение '"у = е", где Л= — а/2. Нетрудно, однако, непосредственно проверить, что в этом случае решением является также '2'у =ое".
Беря линейную комбинацию этих двух решений, можно удовлетворить условиям (3.5). Практически Л~ и Ло не бывают в точности равны, но такое решение описывает математическую абстракцию, соответствующую случаю близких Л1 и Л2. ъ'РАВнение движвния мАятникА зц Рассмотрим теперь вынужденные колебания иод действием периодической вынуждающей сильк Они ош1сываются уравнением (3.2), где ~=А созюг (А, ю =сопзО. Сопоставим этому уравнению следующее уравнение с комплексной неизвестной функцией х: х + их + йх = Ае'"'„ (3.12) Подставляя в это уравнение х = у1 + (уз и приравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим, что у1 удовлетворяет уравнению (3.2), в котором ~=Асов сот, а ух — уравнению (3.2), в котором )'=А зш ей Таким образом, для получения требуемого решения уравнения (3.2) нужно найти решение уравнения (3.12) и взять его действительную часть.
Решение уравнения (3.12) естественно искать в виде х'= ае*"', (3.13) где а — не известная заранее постоянная. Подставляя (ЗАЗ) в (ЗЛ2) и сокращая на е' ', найдем а=А/( — юг+Их+й) и, следовательно, у = А —,х, созоФ вЂ” А з зшю1. (3.14) (А — их)'+ и' (А — а) +а (3.14) представляет собой частное решение уравнения (3.2), в котором ) =А сов ю(, имеющее периодический характер с частотой, равной частоте ю вынуждающей силы.
Это решение, однако, не удовлетворяет (3.5). Добавим к нему линейную комбинацию решения однородного уравнения (3.3) (для определенности их — 4й ( О): (3.15) у=у,+с,у,+с.у,. Пользуясь (3.6), убеждаемся, что это ныражение является решением того же неоднородноге уравнения (3.2), а пользуясь произволом выбора С1 и См можно подобрать их так, чтобы удовлетворить (3.5). Действительно, С| и Сх находятся из алгебраической систомы уравнений, отличающейся от той, которая была при получении (3.10), только неоднородными членами. Решение, удовлетворяющее (3.5), имеет впд у = у, + [у, — у, (0)1е '"и'соз — 1+ + ~ [у, — у, (О)+ ~ (уо — у1(0))1е мз(п — 1, (3.16) а (ЗЛ5), таким образом, является общим решением неоднородного уравнения (3.2), где т= А гоз вЮ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
