Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 17
Текст из файла (страница 17)
з На основании этой теоремы частное рехпение ищется в указаьном виде, где многочлеп Р(х) или Т(х) записывается с неиавестными коэффициентами. Подставляя в уравнение (3.62), сокращая на е"* и приравнивая члены с одинаковыми степенями х, получим сввтему неоднородных алгебраических уравнений относительно неиавестных коэффициентов многочлена Р(х) или Т(х) Эта система будет разрешимой, поскольку существование рппения такого вида обеспечено теоремой ЗЛ5.
Доказательство теоремы ЗЛ5 приведем для резонансного случая (3.64), так как (3.63) получается иа (3.64) при т,=О. Подставим (3,64) в (3.62): М(В) Т(х) х е = е З(х) и убедимся, что отсюда молсно определить последовательно коэффициенты многочлепа Т(х), начиная с коэффициента при старшей степени х'. Выделим в многочленах Т(х) и Я(х) старшие члены: Я(х) =азх'+Я~(х), Т(х) =Ьох'+Т~(х). Имеем тогда М (В) Ь,х "сто + М Щ х ~Т, (х) е~* = с~а х'+ е~бг (х). Распишем первое слагаемое слева, пользуясь формулой (3.54) и учитывая, чтоМ (Л) = М'(Л) = ... = — М (Л)=О„ а М " (Л)~О. Получим Ь е' (ть) М (Ц (г+ ть) ...
(х+ 1) Хв + (ту,+1) М [Х) (в+ тз) ... т + (-.+1)( " 1+ + М())) х ~Т,(х) е =- с а,х'+ е~З,(х). (3.66) Заметим, что в (.) первое слагаемое имеет степень г, а прочие — более низкую. Приравнивая старшие члены и сокращая на е' х', будем иметь ЬМ "(Л) ~ =а т„! Отсюда определится Ье через аз в силу М'"ь1(Л) Ф О. После этого (3.66) можно записать в виде М(В)х Тт(х)е =с~8 (х)„ (3.67) систвмы линвиных гыавнкнии где 81(х) — многочлен степени не выше е — 1, полученный в ревультате перенесения вправо всех членов вырангепия Ьее"*(.) (кроме первого), которые теперь известны. (367) представляет гобой уравнение, аналогичное (3.65), но степени многочленов Т~(х) и Х1(х) на единицу ниже Т(х) и Я(х).
Из (3.67) аналогично предыдущему определится старший коэффициент многочлена Т1(х) а1х' '+ Тг(х), т. е. определятся уже два старших члена многочлена Т(х). Продолжая процесс, определим последовательно все члены Т(х). Метод отыскания ч. р., основанный на доказанной теореме, будем называть методом неопределенных коэффициентов. Итак, для уравнения с постоянными коэффициентами ф. с.р„ а в случае правой части вида е' Ях) также и частное решение неоднородного уравнения могут быть построены в эффективной форме путем алгебраических операций. В заключение укажем один специальный класс уравнений с переменными коэффициентами, для которого ф.
с. р. также можно построить эффективно. Это так называемое уравнение Эйлера х"аеуое+ х" 'а~у'" "+... + а„у = О, а, = сопзг. (3.68) Непосредственной выкладкой нетрудно убедиться, что заменой независимого переменного х=ег уравнение (3.68) сводится к уравнению с постоянными коэффициентами, что и решает вопрос об эффективном построении ф. с. р. Для отыскания частного решения неоднородного уравнения Эйлера в случае, если правая часть имеет вид х"Я()пх), применим метод неопределенных коэффициентов. $6.
Системы линейных уравнений, Общаи теория Обратимся к изучению системы линейных дифференциальных уравнений у; = ~~~, 'ам(х) уз+ );(х) (1 =-1, ...,п). (3.69) :.=1 Система (3.69) называется однородной, если ~,(х)=0 (1= 1, ..., и), в противном случае — неоднородной. Будем предполагать а,„(х) и ~,(х) непрерывными на интервале Х. Как было доказано выше (см. $2), при этих условиях на Х существует единственное решение системы (3.69), удовлетворяющее начальному условию (3.70) Для системы уравнений. справедливы теоремы, аналогичные тем, которые были доказаны для одного уравнения и-го порядка. ЛИНЕЙНЫЕ ЛИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ !Гл.
3 1. Матричная запись. В целях максимального упрощения формы изложения нам будет удобно пользоваться матричной записью. Напомним основные факты матричного исчисления, которые понадобятся для этого. 1 . Матрицей размерности ЕХ т (или (ЕХт)-матр1щей) называется таблица чисел ав вида < 11 а а ... а э1 па зпть Числа аи называются элементами матрицы. В настоящем параграфе мы будем использовать квадратные матрицы (иначе (л Х п)-матрицы) и так называемые столбцы (или (и Х 1)-матрицы) или просто Будем обозначать матрицы а, Ъ, с и т. д., а их элементы соответственно а-, Ььь се и т.
д. 2'. Матрицы а и Ь считаются равными, если аз= ЬФ Матрица а считается равной нулю, если ае — — О. 3 . Над (ЯХ т)-матрицами определены операции сложения и умножения на число. Суммой матриц а и Ь называется матрица с (обозначается с а+ Ь) такая, что се = ае+ Ье. Произведением матрицы а на число а называется матрица с (обозначается с = иа) такая, что се = аае. 4 . Коли а является (л Х т)-матрицей, а Ь является (т Х р)- матрицей, то произведением матриц а и Ь называется матрица с размерности и Х р (обозначается с = ЕЫ такая,что см = ~~'., ЯНЬ1;.
1=1 Умнои1ение матриц обладает сочетательеым и распределительным свойствами. Для квадратных матриц одинаковой размерности определено и произведение аЬ и произведение Ьа, но коммутативным свойством умножение матриц, вообще говоря не обладает, т. е. ЯЬч' М Ьа. 5'. Матрицей, обраткой к (ЯХЬЕ)-матрице а, называется мат- 1' рица с (обозначается с = а ') такая, что си = — Ад, гдето = Эейа, а А„— алгебраические дополнения к элементам ае1. Имеют место систкмы ляпкиных твьвнкнии следующие равенства: аа '=а 'а=Е, где Е ( ° ...) .— так называемая единичная матрица, у которой отличны от нуля и равны единице только элементы, находящиеся на главной диагонали, Будем рассматривать также матрицы, у которых элементы являются функциями х.
Для таких матриц, помимо вьппеуказаннык операций, определены также операции анализа — дифференцирование и интегрирование. 6 . Производной а'(х) от матрицы а(х) с элементами ае(х) называется матрица с элементами он(х), Правила дифференцирования суммы и произведения сохраняются н для матриц, только при дифференцировании произведения матриц необходимо сохранять порядок сомножителей: (аЬ)' = а'Ь+ аЬ'. 7'. ~ а(х) «Ь определяется как матрица с элементами ) аы(х) дх. 2. Общие свойства системы линейных уравнений.
Обратимся к системе (3.69). Обозначим через у, ) и де столбцы У . уа а через А(х) обозначим (яХя)-матрицу с элементами ае(х): а ()...а,„(.) А(х) = зы (~) "° ~„„(~) Тогда систему (3.69) можно записать в виде одного уравнения у'= А(х)у+)(х) (3.70 точно так же, как и начальные условия ,) о (3.72) Пользуясь правилом умножения 4', правилом сложения 3' и правилом равенства матриц 2', нетрудно убедиться в том, что (3.7$) и (3.72) то же самое, что и (3.69) и (3.70]. ЛИНЕИНЫВ ПИФФЕРВНЦИЛЛЬНЫЕ УРЛВНЕНИЯ |гл. з В силу свойств умножения и дифференцирования матриц для дифференцируемых столбцов имеет место тождество (ср.
(3.34)), в котором а~ — постоянные числа, < ~~.", ауои~ — А~ ~~.'; а~~си~ = ~~.", а; (~пй — А~он), (3.73) гвт ь=г ь=г выражающее свойство линейности оператора у' — Ау=— л (у) на множестве дифференцируемых столбцов. Здесь я в дальнейшем для нумерации столбцов будем упот- реблять верхний левый индекс, оставляя нижний для обозначе- ния элементов (компонент). Не|юсредственным следствием этого тождества является принцип суперпозиции.
А Теорема У.лб. Пусть | (х) = ~ а~'~~ (х), где а; — постоянные ь=ь числа, и пусть 'еу(х) является решением уравнения "у' = А(х) "у+ 'ог. Тогда ь у(х) = ~ а1 у(х) у' = А(х)у. Пусть имеется и столбцов (3.74) (( = 1,..., п). Составим из этих столбцов матрицу И'(х): 'пг, ( 1 .
- 'юг, (*) И (.) = (3.75) Сопоставим уравнению (3.74), правая и левая части которого имеют размерность столбца, аналогичное уравнение И" — А(х) И', (3.76) правая и левая части которого имеют размерность (иХп)-матрицы и в котором неизвестной является матрица И'(х). Теорема Х17. Пусть ~оу, ..., ооу есть п' решений уравнения (3.74). Тогда (и Хи)лштрица Ит(х), образованная иг них по формуле (3.75), является решением матричного уравнения (3.76). является решением уравнения (3.71). Имеют также место теоремы, аналогичные теоремам 3.4 — 3.6. 3. Однородное уравнение. Рассмотрим более детально однородное уравнение систвмы линввных и двнвнин Ф И'0 = лч'.< а<,И'д;, д=д (3.77) <и ' %< си у;= лз а<д у„, д=* (3.78) а (3.74) означает у; = ~ ац,уд.
(3.79) дд.т Поэтому, если о'у являются решениями (3.74), то каждое ц'у удовлетворяет (3.79), т. е. справедливо (3.78) или, что то же, (3.77), а значит, и (3.76), и, наоборот, если справедливо (3.76), то и (3.78), а это в сопоставлении с (3.79) оаначает, что ц'у (1 = 1„..., и) является решением уравнения (3.74). Отметим еще следующие факты, проверяемые столь же просто Теоремад.18. Если И"(х) — ре<"=ние уравнения (3.76), то выражение ИВ является решением уравнения (3.74), если  — произвольный постоянный столбец, и решением уравнения (3.76), если  — произвольная постоянная (п Х и)-матрица. Определение. Будем говорить, что столбцы '"и, ..., они линейно зависимы (л.
з.) на интервале Х, если существуют постоянные С<, ..., См не все равные нулю, такие, что имеет место тождество ~~", С< <пи (х) = О, х ен Х. (3.80) Если же (3.80) выполняется только при С< =...=С =О, то будем говорить, что "'и, ..., '"'и линейно независимы (л.н.). Рассмотрим и дифференцируемых столбцов и'у, ..., < >у. Запишем для них равенство (3.80): ,т) С "у( )=О. (3.81) <д т Введем в рассмотрение постоянный столбец с=(: ). Обратно." если И"(х) является решением уравнения (3.76), то каждый столбец матрицы Ит(х) является решением уравнения (3.74).
Чтобы убедиться в этом, достаточно расписать (3.76) и (3.74) 'поглементно. Действительно, (3.76) оаначает 96 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦНАЛЬНЫЕ Углвкзяня пл. з Пользуясь этим столбцом и матрицей Ит(х), составленной из 'еу по правилу (3.75), можно (3.81) записать в виде ИгС = О. (3.82) Если теперь иметь в виду, что согласно правилу матричного исчисления 2' считается С=О, если все С~ 0= 1, ..., и) равны нулю, то определение линейной зависимости и независимости "'у, ..., '"'у можно сформулировать следующим образом.
Определение. Будем говорить, что 'столбцы '"у, ..., '"'у л. и. на интервале Х, если суш,ествует постоянный столбец С такой, что тождественно на Х имеет место (3.82). В противном случае, т. е. если (3.82) справедливо только при С = О, будем говорить, что "'у, ..., '"'у л. н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
