Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 19
Текст из файла (страница 19)
р. рекомендуется для каждого )» написать выражение (3.93), затем подставить в (3.88) и из полученной указанным выше способом алгебраической системы выразить все постоянные череа свободные постоянные. То, что число свободных постоянных ааранее иавестно в равно кратности т корня )., помогает решению атой алгебраической системы, так как это означает, что заранее известен ее ранг. Приме . Р У» 4У» Уло Ул=йу +У вЂ” У, (3.95) Уо = У» + Уо. Характеристическое уравнение, отвечающее этой системе, имеет»»орава а» = 2 кратности т»= — в = 3. Согласно наложенному выше правйау вв- аюм выражение у = Ь, + Ь,х + Ь х' сл . (3.96) 11сдставляя его в (3.95), совращая на сло в приравнивая члеяы с одвнаковымв степенвлш а, волучйм следующие 9 ураваенвй дле определения 9 коэфФнциеитсв: 2ал —— 2а — Ь, — — с, 2Ь =3а — Ь вЂ” ', 9=3 о о о' л»» ы л л о 2с, =-а — с, 'о» л О=о — с.
л л' с =а — с, о о' ЛИНЕЙНЫЕ ДДДФФЕРЕНЦДДЛЛЬНЬГЕ УРьнннння ~тл. з Заранее известно, что ранг этой свстемы равен 6 и свободных неизвестных 3. Записывая определитель этой системы, расположив неизвестные в порядке аз, Ь„сз, аь Ьь сь аз, Ь„сз, легко видеть, что правый верхний определитель 6-го порядка отличен о'г нуля и равен, очевидно, произведению днагонзльяых элементов, т. е.
В, так нак справа от главной диагонали — нули. д;ледовательно, в качестве свободных неиавестиых можно взять аз. Ьь сз. Первая группа уравнений (3.97) уже дает выражения для аь Ь1, с1 через аз, Ьз, сз, а подставляя зто во вторую группу уравнений (3.97), получим а 2 (а — Ь +с), Ь, =а — Ьз+с, с = 2 (аз — Ьз+сз). Третья группа уравнений (3.97) обращается автоматически в тождество.
Подставляя полученяые вырансения в (3.96) и приводя к виду (3.94), будем аметь 3 1 2* з 1 — х — х 1 з х 2 з с уд 1+2х+ 2* Уз = а За+ха +Ьз У 1 з з а+ 2 х — х 2 з 1 — х+ — х 2 Здесь аз, Ьь с,— произвольные постоянные (можно их обозначить Сь Сь Сз, как в (394)), векторы р,(х), рз(х), р,(х) усматриваются в правой часта (3.96).
Таким обрааом, получено решение системы (3,63) в виде лннейнов комбйнацни трех линейно независимых решений р;(х)зд' (д = 1, 2, 3). Чтобы обосновать указанный прием, нужно фактически обосновать два момента: во-первых, то, что в выражении (3.93) число независимых констант См равно кратности лд корня Л, и, иолах вторых,то,чторешениявида ры(х)с (д =1,..., тл; й= — 1,..., () действительно обраауют ф. с.
р. уравнения (3.88). Для этого потребуется более точное представление о структуре решений, отвечаюн(их каждому корню х. у., чеы то, которое дается формулон ' (3.93). Перейдем к получению такого представления. Будем иначе вести нумерацию корней х. у. или, что то же самое, характеристических чисел матрицы А, а именно, будем нумеровать собственные векторы. Тем самылд каждое значение Л нумеруется столько раа, сколько линейно независимых собственных векторов ему отвечает. ??апример, если Л1 отвечают собственные векторы нна, пз'сд 1двн сд, а Лз — собственные векторы 'з"сд 'зз'а ., дзз*>а и т. д., то будем говорить, что имеются характеристические числа Лд, Лз,..., Лр„ЛР,+д,..., Лр„и т.
д. (Нри атом Лд -= ... = Лап Л„,+д = ... —— Лр, и т. д.). Таким образом, имеются Лн ..., Л„ каждому иа которых отвечает собственный вектор. ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНВНИЯ <гл. з 40вв = ехр (Хьл) ((А — ХАЕ) <"е„+ ... + —. (А — ),АЕ) <мед~в 0 — И! 1'-Д вЂ” ~»! 11ЕА+ ... + —.' 'ЕА) ЕХР(ХАЛ) 0 — 2)! ехр()ьх)(," "зд+."+ —.2)н'оь)— — <' пеь+ ... + . <ддеь) ехр (А„л) = О. Итак, каждому )» (а=1, ..., з) отвечает од решений вида (3.100) и, таким образом, всего имеете» <)1 +... + д, = и решений: <и„(зд)„ У<в ° ° -в Удв (3 101) <1) (зв) Увв " в Ув Теорема 3.31. Решения (3.101) образуют ф.
с. р. Действительно, <д> <и (са) (зд) уь(О) = — ед,..., уд(0) = еь (а=1,..., з), а согласно теореме 3.29 столбцы ею..., еь ()< = 1,.;., з) <дд <НО в количестве д<+... + д, — и являются линейно независимыми и. следовательно, ))еС И'(О) чьО. В силу теоремы 3.19 отсюда следует, что решения (ЗЛ01) линейно независимы, т. е.
образуют ф. с.р. Вернемся теперь к прежней нумерации корней х. у., когда нумеруются различные 'по величине Х. Каждому Х может отвечать несколько групп решений вида (3,101) по числу отвечающих этому ), собственных векторов, но общее число решений в этих группах равно кратности та корня Х. Таким образом, действительно линейная комбинация решений, отвечающих данному А, имеет внд (3.93), где независимых констант будет т, так как число решений типа (ЗЛ01), отвечающих этому Х, есть т.
Заметим, что, как видно из (ЗЛОО), (3.101); стершая степень многочленов в (3.93), вообще говоря, меньше, чем лд — 1. При практическом вычислешпд ф. с. р. можно польаоваться (3.100), предварительно надщя все собственные и присоединенные векторы, но проще поступать, как указано выше, подставляя (3.93) в исходное уравнение (3.88) и выделяя т свободных неизвестных См. гишинив митодом сткпвнных рядов 105 ов) $8. Построение решения линейного уравнения в виде степенного ряда Линейное уравнение с постоянными коэффициентами представляет собой некоторый клесс уравнений, для которого ф. с. р.
может быть выписана эффективным образом. Как же строится ф. с. р. в общем случае уравнения о переменными козффициентамиг Цель настоящего параграфа — дать представление о способе построения ф. с. р., использующем теорию степенных рядов и применимом, когда коэффициенты уравнения являются аналитическими функниями, т. е. представнмы в виде степенных рядов. Идея метода такова.
Решение ищется. ОФ в простейшм случае в виде ряда ~т ~лохи, затем этот ряд подставе-о ляется в уравнение, в котором коэффициенты записываются такясо в виде степенных рядов, после чего вся левая часть записывается в виде степенного рида. Приравнивая в полученном степенном ряде коэффициенты при каждой степени и нулю, получим уравнение для определения а,. Не задаваясь целью наложить метод в общем виде — это является' предметом специальпого раздела теории дифференциальных уравнений, так называемой аналитической теории дифференциальных уравнений* ), продемонстрируем его на примере одного уравнения, нередко встречающегося в приложениях.
Рассмотрим уравнение у" + ху = О, (3 102) называемое уравнение Эйри. Оно встречается в рааличных прилояоениях, например, в квантовой механике. Это простейшее уравнение второго порядка с переменным коэффициентом, однако оно не поддается решению элекентарными методами. Будем искать решение-уравнения (3 102) в виде ряда ОО у — ~ч', а„х". о=о Заранее ничего не известно о сходимости этого ряда, и поэтому все операции, которые мы сейчас будем проделывать с этим рядом, будут носить формальный характер; на эти операции надо смотреть как на алгоритм определения коэффициентов ряда а„.
Когда же коэффициенты будут определены, перейдем к этапу обосноврния того, что ряд (3.103) в самом деле сходится и определяемая им функция у(х) действительно является решением уравнения (3.102). о) См., изпримор, Смирнов В. И. Нурс высшей математики, т. Ш, ч. И.— М.: Науке, 1%4, гл. о. Итак, дифференцируем формально ряд (3.103) и подставляем в (3.102). Получим Ю Х азу — 1) хо о + Х а, х'+' = О. (3.104) Приравниваем теперь коэффициенты х.
Имеем х') а„2.1 = 0; прп одинаковых степенях 'отсюда аз = О, ао отсюда а, = — —., 3.2 х') ао 3 2+аз —— 0; А-З) а„.(с Я вЂ” 1) + а(, з — — 0; отсюда а А — з а =- — А(А ). (3.103) Иэ (3.105) видно, что 1) коэффициенты вида аз, выражаются через ао.' 1 ( — 1)о эз Зв(зв 1) зо-з = .-- = Зо,(до Ц 3 2 оз причем само ао остается неопределенным, 2) коэффициенты вида аз,+( выражаются через а( ( 1)о ' о+ = (зт + 1).Зд...4.3 а причем само а, остается неопределенным, и, наконец, 3) коэффициенты вида аз,+з выражаются череэ аз. ( 1) ' =0 азо+' (Зв+ 2) (Зу+ И ...
3 4 а' так как аз = О. Положим со=1, а(=0. Получим ряд чд ( — 1)' ~в зв.(зд — И. з.2* ' о=о о=о (ЗЛОО) Полагая, напротив, ао = О, а( = 1, получим ряд СО ( — 1)' а((*(- Х ва,*~' — 2 ( — „— '„--" — (з*"", (з.ю ( о=о а=о Теорема 3.32. Ряды (3.106) и (3.107) сходятся, и определяемые ими функции у((х) и уз(х) образуют ф. с. р. уравнения (ЗЛ02). 1ОЕ ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИИ !Рл. з РЕОЖНИЕ МЕТОДОМ СТИЖПНЫХ РЯДОВ $81 Действительно, сходимость рядов (ЗЛОО) и (3 (07) элементарно устанавливается для любого х, например, по признаку Даламберае), и, таким обрезом, р1(х) и рв(х) определены всюду на ( — оо, с ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
