Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Подставляя в (4.1), получим ров+ а (х) ус -и+ + а„у ~ [Л~„" (х, $) + аг (х) 35 сх" и (х, 3) + ... ... + а„(х) л" (х, $)) 1($) а$ + 1 (х) =- 1(х), так как (.) под интегралом обращается в нуль в силу определения Л'(х, $). Таким образом, у(х) действительно является решением уравнения (344) и, кроме того, очевидно, удовлетворяет условиям (ЗАб). $ 5. Линейное уравнение л-го порядка с постоянными коэффициентами Знание ф.
с. р. обеспечивает возможность найти любое решение о.у., а с применением квадратуры также и решение н.у. Существование ф. с. р. было доказано (см. теорему 3.10), однако вопрос о ее аффективном построении оставался открытым. Пусть в (3.1) а, =сова(, уоо+а у'"-"+...+а„у=0. (3.49) Этот класс уравпешсй замечателен тем, что для него нахождение ф.с. р.
сводится к алгебраическим операциям, а именно к решению алгебраического уравнения п-й степени. Сопоставим уравнению (3.49) многочлен относительно А, называемый характеристическим многочленом уравнения (3.49): ДД~„) )»+ )„» — 5+ Лемма 3.1. Справедливо тождество †„ [е 1(х)) + а, †, [е""1(х)1 + ...
+ а е"'1(х) = =е ~ЛХ(Л)1(х)+М'(Х)1'(х)+ +м (~)1 «+ ° - ° + м (~)~ ()1. (3.50) 2) и! 36 линеиные диФФевющиальные РРАаненнн (гл. з Это тождество доказывается непосредственным вычислением с испольаованием формулы Лейбница для дифференцировании произведения.
Имеем е )=-е — (ела.р) = е™(Л)'+ )') =- еье (Ц+ Л)')„ — (е"" 1) = еа (ЛлГ'+ 2Ц'+ ) ) =-- е™ ~Лз)'+ — +— (Л ) У (Л ) У 1 да — (' .1) = „,(Л ( ) + в(н — 1) ... (н — (а — 1)) Л Ат(А>+ +~1~1) =еяа~Л~+(Л) 1'+...+ ( ) ~ +...-~- ( ) ~ ).
М и( Складывая полученные равенства, умножив их предварительно иа соответствующее аь приходим к (3.50). Замечания. 1. Если 1(е) = ло, то (3.50) принимает вид г( Ео — 1 — „(е™Р)+а,— „, (егмео)+... +а„е' ар= = еле ~М (Л) го+ рМ (Л) ло ~+ ... .. + ''' а М(~г(Л)лв ь+ ... +М(Р1(Л)~. (3.51) — а+И В частности, при р = 0 имеем еь еь-ь — Асям+а — гя" + .. +а„ел~=ел"М(Л). (3.52) 2. Тождества (3.50) — (3.52) можно ааписать компжжнее, если обознаеу чита через.)9 оператор дифференпнрованиж -,~ —— ггу. Если воскользоваться правилами сложения и умножения операторов о)„то левую часть уравнения (3.49) можно записать в виде (Д-+а)7о-3 ). +, )„М(О)р Оператор М(гг) называется оаераторным многочленом. Он имеет ту лге структуру, что и яарактеристический многочлен М(Л).
о) См. Ильин В. И., Позняк 3. Г. Линейная алгебра.— Мл Наука, 1974, тл. 5, $1. аи углвнвнив с постояннымн коэеэициинтлми 87 Введя М(П), можно тождества (3.50) — (3.52) зализать в анде И1ю (Л) )ах> (х) ) М (П) езху (х) = еьх '(М (Л)1 ОО + М' (Л) 1' (х) + ... + (3.53) М (П) езхх" = р"-(о — Ь+П =езх~М(Л)ха+ ... + М М(ь1(Л)хз "+--- ... + М1Ю (Л)~, (3.54) М (П) езх = екхМ (Л). (3.55) Отметим также следуизцее сзойспю операторных многочленоз, которое понадобится з дальнейшем. Рассмотрим наояду с Ж(П) некоторый другой операторный миогочлеи )у(П) .= П'+ Ь,П вЂ” + ...
+ Ь„(Ь| = соозз). Пользуясь правилом сложения и умножения операторов, нетрудно убедиться, что операторные многочлены перемножаются ло правилу обычных многочленоз: М(П))у(П) )у(П)м(П) = П" *+ (е, + Ь,)П +' '+ ... + е„ь,. Приравнивая М(Л) нулю, получим алгебраическое уравнение и-й степени относительно Л вЂ” так .нааываемое характеристическое уравнение (х. у.) Л + а1Л" '+... + а„= О. (3.56) Предположим, 'что это уравнение имеет корни Лп ..., Л~ кратностей ти..., оь (т~+... + тп~ = и). Теорема3.14. 1.
Корню Ль х у. (3.56) кратности т„отвечают га„частных решений вида хьх ьзх ееь г ььх е,хв,...,х в (3.57) 2. Решения (3.57), здв й= 1, ..., 1, образуют ф. с.р. уравнения (3.49). Д о к а з а т е л ъ с т в о. 1. Воспользуемся (3.51) илн (3.54). Если Л, является корнем х. у, кратности тм то М Р ) = М' (Л ) = ... = М( ь ) Р. ) = О ). Поэтому правая часть (3.51) обращается в нуль для р = О, 1, ... ььх ..., т„— 1, а это означает, что хгв (р = О, 1, ..., т, — 1) удовлетворяет уравнению (3.49), что и требуется. 2.
Предположим противное, т. е. предположим, что решения (3.57) (й- 1, ..., 1) линейно зависимы. Это оаначает, что спра- х) См.,Ильин В. Л., Позняк О. Г. Основы математического анализа, ч. 1.— Мл Наука, 1965, га 7, 1 3. 88 ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ (гл. з ведлнво тождество В„(х)еьж+ ... + В~(х)е ~ = О, (3.58) где через В;(х) обоаначены многочлены степени ль — 1, пе всо равные нулю. Допустим, что отличным от пуля является В~ (атого монино добиться соответствующей нумерацией Х), а в В1 старший отличный от нуля член имеет степень р1 (р| < т1 — 1), т. е. В (х) = С„+.С„х+ ... + Сц,,х причем Сш, ФО.
-хи Умножим (3.58) на е . Получим В,(х)е ' ' + ... +В,,(х)с ' ' ' +В,(х) =О. (3.59) Продифферепцируем.зто тождество на единицу большее число раз, нежели степень р, ~ ль — 1 многочлена В~(х). Предварительно ааметнм, что для выражения А(х)е *, где н=сонз$, А(х)— многочлен, нри произвольном й имеет место тождество — А(х) сз" =- В(х) е"*, Ч" Ззь где В(х) — многочлен той же степени, что н А(х), причем его старший коэффициент равен старшему коэффициенту А(х), помноженному на а'. Ото тождество легко получить либо из (3.53), полагая ЛХ(В) =В», А = а, 7(х) = А(х), либо просто иа формулы Лейбница.
Итак, дифферегщируя (3.50), получим или <~„(х)е"'"+ ... +Щ,(х)е ~ =О, (3.60) где ф(х), „ф-1(х) — мпогочлены той же степени, что В,, ... В, ь причем коэффициент старшего члена 0~(х) есть С,Р,()ч — Л~) . Проделывая с (3.60) ту же операцию, что и с Р1 (3.58), и продолжая атот процесс, приходим к тождеству вида Яг(х)с~' =О, илн Я,(х) =0„ (3.61) причем коэффициентстаршегочленао'1(х) есть Сгр ()ч — )ч) ' ... ...(Х, — Хз) з и в силу (3.61) он доля1еп равняться нулю, а ато ИРотивоРечит томУ, что Сга чь0, )ч — )ч~О„..., )ч — Хз-ьО. Противоречие приводит к выводу, что решения (3.57) линейно независимы, т. е.
обраауют ф.с.р. и утверждение 2, таким образом, докааано. % 5) уРАВнение с постоянньпчи козФФицггентлии Ю В силу теоремы 3.14 общее решение уравнения (3.49) является линейной комбинацией решений (3.57) (й= 1, ..., П. Однако в случае комплексных Л„такое представление не всегда удобно. Можно, однако, вместо ф. с. р. (3.57) пользоваться другой ф. с. р., состоящей пз действительных функций. Пусть Лх=р„+гуь Тогда двум комплексным решениям вида Хгх Кгх х х"е „ х е А (через ЛА обозначен корень х. у.,комплексно сопряженный Л,; такой корень существует в силу действительности коэффициентов х.
у.) соответствуют в силу теоремы 3.6 два действительных решения: Хгх Рг,х Ььх г'А* Ве (х"е . ) = х'е сог дьх н )пг г,х'е ) = — х'е зш дьх. Таким образом, вместо комплексных решений можно построить столько же действителыпгх решений; опи образуют другую ф. с. р., будучи линейно независимыми в силу того, что матрица перехода от вары комплексно сопрнженных решений к их действительной и мнимой частям имеет вид ( '1 и имеет отличный — г/ от нуля определитель, равный — 2г.
Беря линейную комбинацию полученных действительных решений, приходим к представлению (3.25), которое теперь, такам образом, доказано. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение Уоо + агУ' " +... + а У = 7(х). (3.62) Зная ф.с.р. (3.57), можно построить его частное решение (ч.р.) по теореме 3.13. Практически зто„однако, требует довольно громоздких выкладок, в связи с чем представляет гштерес класс )(х), для которого можно построить ч. р., не обращаясь к формуле (3.48), а польауясь чисто алгебраическими операциями. Теорема д.гй. Дуста 7(х) = о(х)е', где Л = сопзс, о(х)— многочлен степени з. Пусть Л не совпадает ни с одним корнем Л х.
у. (3.56) (так называемый нерезонансный случай). Тогда существует частное решение уравнения (3.62), имеющее вид у(х) = Р(х)е~, (3.63) где Р(х) — многочлен той же степени, что и Ю(х). Если Л совггадает с корнем х. у. Лг кратности т„(так называемый резонансный случай), то существует частное решение уравнения (3.62), имегощее вид у(х)=Т(х)х е~, (3.64) еде Т(х) — многочлен той аге степени, что и 8(х). линвнныв лифэвгкнцилльнык твлвнвнпя пл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
