Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Из (3.15) видно, что оби)ее решение неоднородного уравнения представляет собой сумму 74 линквныв диеекгвипилльныв зглвнвяия (гл. г частного решения того гее неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения. С ростом 1 в формуле (ЗЛ6) все членьд кроме первого, затухают и остаются только вынужденные колебания ун Обратим внимание на важное явление — так называемое явление резонанса.
Решение у1 теряет смысл, если в исходной системе нет трения (а=О) и частота ю вынуждающей силы равна частоте еэ = У)г, с которой колеблется маятник беа воздействия вынуждающей силы (см. (ЗЛ4)), так как в знаменателе появляется нуль. Чтобы найти частное решение в этом случае, т. е. частное решение уравнения (3.17) у" + йу = А соз юэг, перейдем снова к комплексной форме г" + йх = — Ае™'. (3.18) Обратим внимание на то, что корни характеристического уравнения равны Хьг ~мээ. Попытаемся искать г в виде г = аге"н'. (ЗЛ9) Подставляя (3.19) в (3.18), определим а и получим г = А —. е'"*'.
г 2ьм Ве г дает частное решение уравнения (ЗЛ7): у1 = А2 — зш вюг- (3.20) Так как практически полное отсутствие трения и точное равенство ю и соэ не осуществляются, то решение такого типа практически не реализуется. Реализуется (ЗЛ4), но если частота ю близка к юэ, а а мала, то анаменатель в (3.14) мал и амплитуда решения велика. Таким образом, физически явление резонанса состоят в том, что при ю — юо и малом а наблюдается заметное увеличение амплитуды вынужденных колебаний (3.14).
Математически же случаем резонанса будем называть такой случай, когда в (3.2) )(г) = Я(г)е"', где 8(1) — многачлен, а х совпадает с корнем характеристического уравнения. В рассмотренном выше уравнении (ЗЛ8) х=иоэ, т. е. совпадает с одним иа корней характеристического уравнения. Итак, на примере уравнения второго порядка выявлен ряд характерных свойств линейного уравнения с постоянными коэффициентами. Оказывается, эти закономерности имеют общий характер. Сформулируем их, пока без доказательств, для ураэнення порядка п как естественное обобщение того, что наблюдалось для уравнения второго порядка. Доказательства будут да ны инязе, в $5.
РРАвниини дВижения мАятникА Рассмотрим сначала однородное уравнение агу'"'+ а1 ушли+... + а„у О (а; — сопВО. (3 21) Сопоставим (3.21) его характеристическое уравнение (ср. (3.4)) агЛ" + а1Л"-'+... + а„= О. (3.22) Это алгебраическое уравнение порядка п и имеет корни Л» = р»+ 19» Й = 1, ..., и). 1. Если все Л» действительны и различны, то, беря линейную комбинацию у — ~~э ~С» (»>у где <»~у е~»~ »=1 (3.23) можне получить любое решение уравнении (3.21), определяя С1, ..., С„ из начальных условий у(1,) =у'„у'((.) =у;,.",у1"-1~(т,) =-у'.
(3.24) (ср. (3.7), (3.5)), т. е. формула (3.23) является общим решением уравнения (3.21), 2. Если некоторые Л„комплексные, то утверждение 1 остается в силе, но определяемые из (3.24) константы С» будут комплексными и решение будет представлено в комплексной форме.
Чтобы гюлучить решение в действительной форме, можно в наборе решений вместо пары решений у-еж+ни и уз =в"-н", отвечающей двум комплексно сопряженным корням Л = р ж 1д (тан как характеристическое уравнение имеет, действительные коэффициенты, то вместе с Л= р+гд корнем будет также Л*= =р — »д), моя1но взять пару действительных решений )(еу= = е"' сов це и 11в у = е" зш ц( (ср. (3.9) ).
3. Если Л вЂ” кратный корень характеристического уравнешгя (3.22) кратности т, то ему отвечает т решений е'", Ге", ... 'еи (обобщение случая в), где т = 2), Объединяя все случаи, можно сформулировать следующее правило Пусть характеристическое уравнение (3.22) имеет г действительных корней Л„ кратности т„, а прочие являются комплексно сопряженнь»ми вида Л, = р, + 191 и кратности и,. Тогда общее решение уравнения (3.21) может быть записано в виде г у = ~~'.~~ П»(1)е" + Ъ'(Р1(1)е"' созу1Ю+()1(8)е"'"з(од11), (3.25) »=1 1=1 где )»»(1), Р~О), Я(г) — многочлены степени т„— 1, т,— 1, т — 1 соответственно, коэффициенты которых произвольны. Эти коэффициенты однозначно определя тся начальными условиями (3,24). линкнныв дивкэвгннциьльныв эгьвнвния пг).
3 Точно так же мо)кно, обобщая факты, полученные для уравнения второго порядка, сформулировать правило построения частного и общего решений неоднородного уравнения. ы)+а,) -))+ +,, у ЯОез~ (3.26) где о(Г) — многочлен степени г, к — постоянная, вообще говоря, комплексная.
Пусть в уравнении (3.26) х не совпадает ни с одн м корнем 2ь характеристического уравнения (3.22) (так называемый нерезонансный случай). Тогда частное решение уравнения (3.26) можно записать в виде (3.27) у = Т(г)е ), где Т(г) — многочлен той же степени, что и 8(г). Коэффициенты многочлена ТИ) определяются из алгебраических уравнений, полученных подстановкой (3.27) в (3.26) и прираениванием членов с одинаковыми степенями ( (ср. (ЗЛ2), (3.13); в этом простейшем случае ЯГ) является константой А, т. е. многочленом нулевой степени, а многочлен Т(г) также является константой: Т = а). Если и совпадает с корнем характеристического уравнени Х, имеющим кратность и (так называемый резонансный случай), то частное решение (3.26) следует искать в виде у = ТИ)г"е"', (3.28) где Т(Π— многочлен той же степени, что и ЯО.
Коэффициенты Т(г) по-прежнему определяются подстановкой (3.28) в уравнение (3.26) (ср. (ЗЛ9), где появляется множитель ( в соответствии с кратностью т=1 корня игг). Если к =а+ )() комплексно, то действитель я (соответственно мнимая) часть решения (3.28) является решением уравнения с правой частью Б(Г)е") сов ()Г (соответственно ЯС)е") зшф). Общее решение неоднородного уравнения (3.26) представляется в виде суммы общего решения (3,25) однородного уравнения (3.21) и частного решения (3.27) или (3.28) неоднородного уравнения (3.26) (ср. (ЗЛ5)).
Все эти утверя<дення в дальнейшем будут строго доказаны (см. теоремы 3.12, 3.13, ЗЛ4, ЗЛ5). з 2. Общие свойства линейного уравнения и-го порядка Обратимся к уравнению (ЗЛ). Если в рассматриваемой области изменения независимого переменного аг(х) чьО, то, поделив на ав(х) и обозначая полученные коэффициенты н правую часть вновь через а)(х), ..., а (х), )(х), будем иметь у'"'+ а)(х)у'"-" +... + а„(х)у = 7(х). (3.29> % 2) евших своиствА тглвнвния Определение.
Уравнение (3.29) называется одно родны и, если )(х) — — О, в противном случае — и вод нороднызг. Пусть аг(х) И=1, ..., п) непрерывны на некотором интервале Х (Х может быть как конечным интервалом, так и бесконечным, например, ( —, ')). Общая теорема существования и единственности (см. з 4 гл.
2) гарантирует, что на некотором сегменте гх — хс! <Н, принадлегггащем Х, существует единственное решение у(х) уравнения (3.29), удовлетворяющее начальному условию у(х,) = узг, у'(х,) = узз, ..., уг "(х,) = у,',. (3.30) Для уравнения (3.29) можно доказать более сильное утверждение. з-еоремадЛ. Ясли аг(х) И=1, ...„и), )(х) непрерывны на Х, то решение начальной задачи (3.29), (3.30) существует и единственно всюду на Х. Так как начальная задача для уравнения и-го порядка является частным случаем начальной задачи для системы и уравнений первого порядка (см. т 4 гл.
2), то теорему 3.1 можно получить как частный случай аналогичного утверждения для системы линейных уравнений, которая имеет вид и ауг †„,* — — ~ аг„ (х) у„ + [г (х) (г = 1, ..., п), (3.31) з=-г а соответствующие начальные условия— уг(х,) = у; (г = 1, ..., п). (3.32) 2'еорелга3.2.Если аа(х). )г(х) И, )г= 1, ..., и) непрерывны на Х, то решение задачи (3.31), (3.32) существует и единственно на Х. Для доказательства воспользуемся принципом сжатых отображешпг (см.
$7 гл. 2). Рассмотрим произвольный сегмент Хг = [хз, хе+ гз) =.Х. В качестве злемента у метрического пространства М возьмем систему непрерывных на Хг функций уг(х),..., у„(х). Пусть а = зпр!аа(хИ. р Расстояние между злементами и'у и 'з'у определим следующим образом: р(пгу гз>у) — ~,'зпр(е-кг -"г(пгуг(х) гзгуг(х)!) г=г х~ где постоянная К удовлетворяет неравенству К~оп. Нетрудно убедитьсн, что р удовлетворяет всем нухгным аксиомам и что построенное таким образом метрическое пространство М является полным лннкннык диФФкгвнпихльныв ъ'Рлвнвния )гл.
з Определим в пространстве М оператор В следующим обр»- зом: г=Ву, если *(о=в-~[[1 .х)ьх).~Г(4)х. х, ь а=1 Проверим сжимающее свойство оператора В. Имеем х (спг1 «х) — аог1 (х) ~<а ~ Ъ, (11>уь(в) — (му„(в) [сЬ, х 1 — -1 е-к(х-хи[(мг, (х) (2)г (х) [~» х1 х ~.Ц-"'*-"Х - - чг»ь(х — ь(з)а.« х 1=1 а (а) е-л<х — ор((ну, <11у) Нг = —. (1 — е лсх "и) р(<му, 11>у), Суммируя по 1, получим р (и)х <мз) ~~ — (1 — е — ка) р ((йу пву) = о.р ((ну (му) где и ~ 1 в силу условия, назолгенного на К. Отсюда, как в $ 7 гл. 2, делаем заключение о существовании на [хе, хе+ А) единственного решения задачи «3.31), «3.32). Аналогично доказывается существование и единственность на сегменте [хе — Л1, хв), В силу произвольности Л и Ь1 теорема справедлива на всем Х.
Дальнейшее рассмотрение системы «3.31) отложим до з 6 и вернемся снова к (3.29). Для уравнения (3.29) справедлива следующая теорема, называемая принципом суперпогиции. 1 47еорвмау.у. Пусть [(х) = Х аА(х), где а,=сопз1, и пусть 1=1 у1«х) являются решениями уравнений у) '+а,(х)у1 н+ ... +а„(х)у1=[1(х).
(3.33) Тогдау1(х) =- Ха1у1(х) яе яется решением уравнен я «3.29). 1 — 1 Значенпе этого принципа в том, что правую часть уравнения (3.29) можно представить как линейную комбинацию более простых элементов и свести решение уравнения к рехоению нескольких более простых уравнений (3.33). С точки зрения физики зто означает, что результат сложного внешнего воздействия на некоторый объект, выражаемого функцией 1(х), можно представить Опщив сВОЙстВА увввквн>»я как суперпозицию результатов отдельных элементарных воздействий.
Доказательство теоремы 3.3 основано на тождестве, справедливом для й произвольных н раз днфференцируемых функций и», ..., и„и следующем непосредственно из свойств дифференци- резания с е ~ »Н> а ~»»в- >> ~'„~ и»и»(х)) + а,(х) ~,)3„»х»и»(х)) + ... »=> ч»=» ... + а,(х) ~ и»и»(х) = = ~", с»»г(и»» > (х) + а> (х) и»" '>(х) + ... + а„(г) и» (х)т). (3 34) Полагая и»= у>(х), где у;(х) — ре>пения уравнений (2.5), получим для у(х) = ~ и»у»(х): »-1 а у»">(х) +а,у»"-н(х)+ ...
+ а (х) у(х) = ~~'„' ад(х) =у(х), что и требовалось. 3 а м е ч а и и е. Левую часть уравнения (3.39) можпо рассматривать как оператор Ьу, определенный па множестве и раз дкфферевцкруемых фувкцай р. Тогда (3.34) означает, что зтот оператор — леиейяый. Отметим вая»ные частные случаи теоремы 3.3, формулируя пх как отдельные утвери»девиа. у Теорема ЯА. Линейная номбина»)ия решений однородного уравнения есть решение однородного уравнения (это частный случай принципа суперпозиции, когда 1> =) —" 0). Замечание. На языке линейной алгебры зто можно выразить следующем образом: миожество решеиий одиородаого уравнения является липейиым пространством. Пусть теперь й 2, »'» = (т, »г» 1, аз= — 1 и, следовательно, у = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
