Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Та»»>»м образом, имеет место Теоремами.б. Равность двух решений неоднородного линейного уравнения удовлетворяет однородному уравнению. В деореме 3.3 си могут быть и комплексными. Теорема Я.б. Пусть у»(х), ут(х) удовлетворяют урав ениям (3.33) (» = 1, 2). Тогда г(х) = у»(х) +»ут(х) удовлетворяет уравнению гсю + а»(х)г'"-" +... + а„(х)г 1» +»(з. [3.35) Обратно: пусть г(х) = у»(х) +»уз(х) удовлетворяет уравнению (3.35).
Тогда у»(х), уз(х) удовлетворяют уравнениям (3.33). 80 линкнныи див зкгвнцилльнык ггзвнкния ~гл. з 5 3. Однородное линейное уравнение п-го порядка Обратимся к изучению уравнения у'ы 6 а,(х)у'" "+... +а„(х)у = — О, (3.36) козффициенты которого а;(х) (з=(, ..., и) непрерывны на интервале Х. Как было показано в предыдущем параграфе, решение начальной задачи существует н единственно на Х, чем будем существенно пользоваться ниже. Определение.
Будем говорить, что функции и~(х), ..., и»(х) линейно зависимы (л. з.) на интервале Х, если сугцествуют постоянные Сь ..., С, не все равные нулю, такие, что имеет место тождество ~~.", С;и; (х) =- О )ух е= Х. г= — 1 (3.37) В противном случае (т. е.
если (3.37) выполняется только при С~ = .. =С,=О) будем говорить, что ии(х), ..., и,(х) линей- и о и е з а в и с и м ы (л. и.). Пусть у~(х),,, у„(х) — решения уравнения (3.36). Определение. Назовем детерминант ут (х) ... З (х) у,бй ." з (х) л( )= (3.38) у~~~и (х) ... уг» н(х) определителем Вронскогое), Теорема Я.Т. Если реигения у~(х), ... у„(х) уравнения (3.36) .з.
з. на Х, то Ых) О на Х. з). Иногда бывает удобно обозначение Ь(Ю(х), ..., у (х)). Прямая теорема является частным случаем теоремы 3.3 (сс1 1, аз=с). Для получения обратного утверждения надо к левой части (3.35) применить тождество (3.34), полагая и1 =уи иг — — уз, сс~=1, аа=г, после чего приравнять действительную часть полученного выражения величине )ь а мнимую часть— величине (з согласно правилу сравнения комвлексньгх чисел. Все перечисленные свойства характерны именно для линейных уравнений и существенно облегчают пх исследование и решение, $ 3! однородыок линкянок мрлвнкнив В самом деле, согласно (3.37) имеем ~~~ С;у;(х) =- О.Продифгт1 ференцировав это тождество п — 1 раз, получим ~."„С!у!(х) =О, ..., ~~.", С!у~! м(х) =О.
(3.39) При ЧхжХ эти соотношения можно рассматривать как систему линейных однородных алгебраических уравнений относительно Си ..., С„, имеющую нетривиальное решение по условию линейной аавнсимости функций уь Следовательно, определитель системы Ь(х) = 0 при чх ~в Х, т. е. Л(х) =— 0 на Х. 3 а меч а в во. Из доказательства теоремы видно, что ояа справедлива не только для решевлй уравнения (3.36), яо для любых и — 1 рвз длфферевпвруемых фувкняй. Теорема 8.8. Если Ых) =0 хотя бы для одного хс~яХ, то решения у!(х),..., у„(х) уравнения (3.36) л.
з. на Х. Действительно, воаьмем точку х=хз, в которой Ыхз) =О, и составим систему линейных алгебраических уравнений относительно С!, ..., С с определителем Л(хз)! ~~" С;у; (х,) = О, ..., ~~„", С;у!" "(х,) = О. (3.40) Так как Л(хз) =О, то эта система имеет нетривиальное решение п С„..., С . Рассмотрим линейную комбинацию у(х) = ~.",С,уг(х). !э 1 Согласно теореме 3.4 у(х) является решением уравнения (3.36), а (3.40) оаначает, что это решение удовлетворяет в точке тз нулевым начальным условиям у(хо) =О, ..., уси "(хз) =О.
Так как тривиальное решение уравнения (3.36) у(х)=0 удовлетворяет, очевидно, тем же начальным условиям, то в силу теоремы единственности у(х) — = у(х) =О, т. е. Х С;у;(х)= — О,где по пои=в строению не все С; равны нулю, а это и означает линейную аавксямость у!(х),..., у„(х). Из докааапных теорем непосредственно вытекает следующая альтернатива. Теорема у.р. Определитель Вронского Л(х) либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения у!(х), ..., у„(х) л.з., либо не обращается з нуль ни е одной точке Х, и это означает, что у!(х), ..., у„(х) л. н. 6 л.
н. твховзв в лр. ЛИНЕИНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ~гл. з Ситуацию можно выразить следующей схемой: ЛИбО ( — — Л(х)=О зе у,(х),...,у„(х) л. з. Л (х) ( — „— Л О иб Л(х)~О ~ у,(х), ...,у„(х) л. н. при ьгхен Х Определение. Фундаментальной системой решений уравнения (3.36) (сенрик)енно ф.с.р.) будем называть любые и линейно независимых решений уравнения (3.36).
Теорема 3.10. Ф. с. р. существует. Действительно, воаьмем произвольный отличный от нуля определитель Л» с элементами ае. Определим решения у1(х), ... ..., у„(х) уравнения (Зл) следующими начальными условиями: у1 (х») = ам,..., у1" п(х») = в»1. (3.41) Составим определитель Вронского Л(х). В силу (3.4() Л(х») = Л» ть О. А тогда в силу теоремы 3.9 у1(х), ..., у (х) л. н.
Замечание. Так как существует бесконечно много определителей, отличных от нуля, для каждого уравнения существует бесконечно много ф.с.р. Кроме того, линейное невырожденноо преобразование у1 = ~а1РУР переводит одну ф.с.р. в другую. б=1 Докажем теперь основную теорему данного параграфа. Теорема 3.11. Если у~(х), „, у„(х) — ф.с.р., то любое решение у(х) уравнения (3.36) представимо в виде у (х) = ~ С»у1 (х) 1 1 (3.42) где С1, ..., ф— некоторые постоянные. Докааательство. Пусть у(х») =у»,...,уи-1(х) = у». Определим постоянные С1, ..., С„шшейной системой уравнений с детерминантом, равным Л(х») т= О: ~~.", С У1(х,) = У», ..., ~ С»У1 и(х,) = У (3.43) и построим у (х) = ,',"~~ С»у»(х).
Согласно теореме 3.4 у(х) Является решением уравнения (3.36), а (3.43) означает, что это решение удовлетворнет тем же начальным условиям, что и у(х). Тогда в силу единственности (ср. докааательство теоремы 3.8) у(х) ~ »у(х) = ~ С»у (х), что и требовалось. 1 1 НЕОДНОРОДНОЕ ЛННЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ 83 Замечания. 1. Формула (3.42), вде Си .. » С» — арвилввльяие лвствяяиие, является общим решением уравнению (3,36) в том же смысле, как в 1 1, т.
е. [3.42) является формулой, содержащей все решепяя ураене. пкя (3.36) л не содержицей вичега, кроме решений. В самом деле, по теореме 3.4 прп любых Си ..., С„(3.42) является решением уравнения (3.36), а согласно только что доказэнкой теореме в (3.42) содержится любое решение уравнения (336). 2. На языке линейной алгебры теоремы ЗЛО и 3.11 оэпачшот, что в пространстве решений чипейвого однородного уравнения (3.36) имеется базис нз я элементов, т. е. это пространство л-мерно.
в 4. Неоднородное линейное уравнением-го порядка Рассмотрим теперь уравнение у(») + а1(х)у(»-О + + а (х)у л(х) (3.44) где а;(х) П = 1,..., и) непрерывны на интервале Х. Теорема З.лл. Если у~(х), ..., у„(х) — (б.с.р. однородного уравнения (о. у.) (3.36), а у(х) — частное решение неоднородного уровне ия (и.
у.) (3.44), то любое решение у(х) н. у. (3.44) представимо в виде у (х) =- у (х) + ~ Сеу; (х), (3.45) 1=1 где Сн ..., ф— некоторые постоянные. Замечания. 1. Теорема спразедлвва при любом выборе частного решепвл у(х). 2. Теорему 3.12 можно сформулировать и так: общее решение и. у. есть сумма частяаев решения и.
у. и вбщевв решения в. у. Доказательство. Рассмотрим разность у(х) — у(х). Согласно теореме 3.5 эта разность удовлетворяет о.у. И.З6) и, следователыто, по теореме ЗЛ1 у(х) — у(х) = ~~'.~ Сгу; (х). 1 1 Отсюда и последует (3.45). Таким образом, для построения общего решения п.у. нужно помимо ф.с.р. о.у. знать хотя бы одно частное решение н.у. Покажем сейчас, что, акая ф. с. р.
о. у., можно нагпи некоторое частное решение у(х) н. у квадратурой. Зададимся целью построить частное решение у(х), удовлетворяющее начальным условиям у(хе) = О, - ., ус» О(хэ) =О. И.46) С этой целью воспользуемся следующим эвристическим рассуждением. Представим 1(х) приближенно как сумму функций (элементарных воздействий), равных Я) в промежутке Ц вЂ” Лй, й) н нулю в остальных точках. Решение у, отвечающее каждому бв 84 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕХЩИАЧЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ пзт. 3 такому элементариому воадействию, имея при х=хе равные пулю производные до (к — 1)-го порядка включительно, является тождествсппым нулем вплоть до $ — ггв, ио у'" "Ц) = у'"'Ц вЂ” ь9л$ = (у'"'Ц вЂ” ь$)ь$+ + а|у'" ЕЦ вЂ” Ь$)Ь$+... + а,уЦ вЂ” ггз)Л$) = Я вЂ” Ь$)Ь$, т, е. у'" "Ц) равно уже не нулю, а Я)сто, и, таким образом, далее решение также будет не нулем.
В силу принципа супер- позиции достаточно построить решение одпородпого уравпеиия (ведь вне Ц вЂ” ггв, Е) правая часть равна пулю), принимающее в точке Е нулевое значение вместе с производными до (и — 2)-го порядка включительно и с производной (и — 1)-го порядка, равкой единице (обозиачим это решение,М(х, ф), указывая зависимость от начальной точки, и назовем имкульсной функцией), а затем умножить его иа )(Е)ЛЕ. Итак, Я,"(х, $) строится как решеяис о. у., удовлетворяющее условиям Л'Ц, $)=О, *.., Л'х Ц, а)=О, Лх Ц, ф)=1, (3.47) а решеиие, отвечающее элементарному воздействию, имеет вид Л'(х, ф)~($)Л$. Суммируя теперь элемеитарпыс воздействия на основании того же принципа суперпозиции и переходя от суммы к интегралу, получим решение у(х), удовлетворяющее условию (3.46): , х у(х) = ) 'я (х,с)7($) Щ.
(3.48) х„ Формула (3.48) получена на осповавии нестрогих соображеиий, ио Нетрудно непосредствеяпой проверкой убедиться, что (3.48) есть частное решение уравнения (3,44). В этой проверке и будет состоять докааательство нижеследующей теоремы. Теорема д.И.
Выражение (3.48), где функция Л'(х, Ц, называемая импульсной функцией, удовлетворяет о.у. (3.36) и начальным условиям (3.47), является частным решением и. у. (3.44), удовлетворяюи)им нулевым начальным условиям (3.46). Действительно, найдем из (3.48) у', ..., у'"'. Предварительно заметим, что так как $ является параметром, принадлежащим тому же миожеству, что и х, то (3.47) равносильно ааписи Л'(х,х)=0,..., Л'„" "(х,х)=О, Л'хы "(х,х) =1. Польауясь теоремой 2.7 гл. 2, имеем х х у'(х) = ~Л'„(х,$)((Цас+ Л'(х,х)~(х) = ~Л'„(х,Ь)1фс$, $ и ТРАВнение с пОстоянными коэФФициеегАми % усх-п(х) = ) Я' ~ (х,Ц1($)с)ех х„ х ую() =- ХЛГ'(.,и~(3)Л+ЛГ-"(*, )Х() = х =- ~ Л7~ (х, $) т ($) 5$ + 1(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
