Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Определение. Назовем Ых)э=Пег ИЧх) определителем В р о и с к о г о для "'у,..., '"'у. Теперь можно сформули)юэать я доказать теоремы, аналогичные теоремам 3.7 — 3.9 из теории уравнения и-го порядка. Все эти доказательства записываются весьма компактно, если пользоваться введенной матричной записью, которая очень удобна и требует лигпь некоторого навыка.
Теоремзг 3.19. Если решения "'у, ..., '"'у уравнения (3.74) л. з. на Х, то Л(х) = О на Х. В самом деле, имеем И'С=О, С~О. Эта запись является кратким обозначением того факта, что при каждом х величины Сн ..., С„удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений с определителем Ых), и так как решение нетривиальное, то Л(х) = О при любом хш Х, т. е. Ых) = О.
Теорема 3.20. Если Л(х) =О хотя бы для одного хгзкХ, то резиения и'у,..., '"'у уравнения (3.74) л. г. на Х. Запишем кратко доказательство этой теоремы, уже не давая дополнительнык разъяснений, как в предыдущей, Возьмем хгзн Х, и пусть Ыхг) =О. Составим уравнение И'(хг)С=О относительно С. В силу сз(хэ) = О имеется решение СзьО. Положим у(х) = = И'(х)С. Согласна теореме 3.18 это решение уравнения (3.74), причем у(хэ) = И'(хэ)С=О, а тогда в силу теоремы единственности у(х) =О и, таким образом, И(х)С==О, а это означает л.з.
зп ы1 Теорема Я.21. (альтернатива).. Определитель Вронского либо тождественно равен нулю, и это означает, что решения '"у, ... ..., '"'у л.в., лиГю не обращается в нуль ни в одной точке Х, и гто означает, что решения ~ "у,..., ' 'у л. и. Определение. Ф у н доме н т а л ьн о й с и с т е м о й р е ш е н и й (ф. с.р.) уравнения (3.74) будем называть и линейно независимых решений пзу, ..., ' 'у уравнения (3.74), а соответствуюзцунз им по формуле (3.75) матрицу И'(х) будем называть фундаментальной мотрицей (ф.м.). % б1 'СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ Пз основании теоремы 3.20 можно дать другое (эквивалентное) определение ф. м. Определение. Решение И'(х) уравнения (3.76), для которого Жх) отлично от нуля всюду на Х, называется ф, м. Тео рема 2.22.
Ф. м. сугцеств уст.. В силу теоремы 3.21 достаточно взять произвольную матрицу а=сонг( с отличным от нуля определителем и задать для Иг начальное условие И'(хб) = а. Теорема ВЛЗ. Если И"(х) — ф. м., то любое решение у(х) уравнения (3.74) представимо в виде у(х) тр(х)С, где С вЂ” некоторый постоянный столбец. Докааательство. Пусть у(хг) ус. Определим С уравнением Иг(хб) С=ус, которое разрешимо ы силу Ыхб) чьО. Построим у(х).= И'(х)С.
'Как как у(хб) — ИЧхс)С у', то в силу теоремы единственности у(х) у(х) = И'(х)С, что я требовалось. Замечанне. На нзынв аннейвой алгебры теоремы 3.22 в 3.23 означают, что пространство решений уравыеннн (ЗЛ4) н-мерно. Построим решение уравнения (3.74), удовлетворяющее условиям (3.72), выразив с помощью )У(х) величину С через ув.
Имеем у(хо) = Ит(ха) С = уб, откуда С = И' '(хв)уб и, следовательно, у(х) Ьр(х) И' '(хб)уб. Матрицу Л(х, хо) Иг(х)И' '(хо), являющуюся функцией двух переменныл х и хб, назовем (ср. 2 4) импульсной матрицей, илн матрицантом. В силу теоремы 3.18 Лв(х, .тс) как функция х удо- влетворяет уравнению (3.76). Кроме того, очевидно Л'(хб, хо) Е. , Таким образом, справедлива Теорема Я.2й. Решение задачи (3.74), (3.72) имеет вид у(х) — Л'(х, хб)ус, (3.84) еде матрица Х(х, хс), называемая импульсной матрицей, или матрицантом, удовлетворяет по аргументу х матричному уравнению (3.76) и условию Л'(хг, хс) Е. 4.
Неоднородное уравнение. Рассмотрим теперь неоднородное уравнение (3.71). Теорема3.25. Если И"(х) — ф. м., а у(х) — частное решение неоднородного уравнения (3.71), то любое решение у(х) уравнения 7 А Н. Тнхоивв и Вр. 98 линвиньж виФФВРкнцилльнык увлвнкння пл.
з (3.71) представимо в виде у(х) = И'(х) С+ у(х), (3.85)' где С вЂ” некоторый постоянный столбец. Доказательство точно такое же, как в случае уравнения и-го порядка, и мы его опускаем. Построим ч. р. у(х), удовлетворяющее нулевым начальным условиям у(хо) = О.
Будем искать его в виде у(х) = И'(х)С(х), где С(х) — неизвестный столбец. Это фактически просто замена. переменных. Подставляя в (3.71), получим И"С+ ИтС'= чИ'С+~. Так как И" удовлетворяет о. у., то И" — АИ'= О и, следовательно, И'С'=). Отсюда С'-И' Ч, А так как у(хе) = И"(хе)С(хь) =О, то С(хе) = О и, следовательно, Таким образом, у(х) = ~ И'(х) И' '(Ц)7'($) с%= ~Л'(х, $)У($) с$ х. хг и справедлива Теорема Я.26. Частное решение у(х) уравнения (3.71), удовлетворяющее условию у(хс) = О, имеет вид у(х) = ~ Л'(х, Ц) 7(ф) Н$„ (3.86) ве еде Л'(х, $) — импульсная' матрица, или матрицант,— решение- матричного уравнения (3.76), удовлетворяющее условию Л'(ф, ~) = Е.
3амеча н ия. 1. Изложенный метод построения частного решения системы линейных уравнений фактически является вариантом метода вариации постоянных, который для одного уравнения использовался в гл. 2 (стр. 28). 2. В силу принципа суперпозиции решение у(х) задачи (3.71),. (3.72) имеет вид у (х» =,7г" (х, *„) у' +» ~' (х, Ч) 7' (Ч) дз. (3.87) 5 71 систвмы с постоянньпчи ноэФФипивнтлми $ 7. Системы линейных дифференциальных уравнений е постоянными коэффициентами Пусть в (3.74) А — постоянная матрица, у' = Ау, А = совет.
(3.88) В этом случае построение ф. с. р. или ф. и. сводится к алгебраическим операциям. Будем искать ч; р. системы (3.88) в виде ае'", где Л вЂ” неиз.вестный параметр, а — неизвестный постоянный столбец. Подставляя зто выражение в (3.88), получим Лае'"=Аае'". Отсюда делаем вывод, что а должно быль решением алгебраической системы уравнений (А — ЛЕ)а = О. (3.89) Для того чтобы а было нетривиальным решением, нуя(но потребовать (3.90) Ре((А — ЛЕ) = О. Это уравнение является алгебраическим уравнением степени и и называется характеристическим уравнением (х.
у.) уравнения (3,88). Пусть Ль ..., ˄— щестые корин х. у. (3.90). Каждому Л! отВЕЧаЕт (!(ат'=О (СОбетВЕННЫй ВЕКтОр МатрмцЫ А), КОтОрЬ(й НаХО- ,дится из (3.89), где положено Л=Л!. В качестве компонент (оа можно взять, например, алгебраические дополнения к одной из строк определителя РеМА — Л;Е). Теорема 3.2У.Пусть Л(, ..., ) — простые корни к. у. (3.90), .и пусть и'а — решение (нетривиольное) уравнения (А — Л7Ыа= 1(х = О. Тогда столбцы гоае ' П = 1, ..., п) образуют у(. с. р. уравнения (3.88).
Доказательство проводится по схеме, которая была использо- ((, Х(х вана в 5 5. Предположим, что решения ае линейно зависимы: ~'.' ,С((пае ' = О, С1 Ф О. Дифференцируя это равенство, приходим к соотношению типа (3.91), содержащему уже и — 1 слагаемых. Повторяя операцию, приходим в конце концов к равенству С( па = О. Так как хотя П( бы одна из компонент 'па отлична от нуля, то получаем отсюда С( =О, что противоречит (3.91). Обратимся к общему случаю.
Пусть х. у. (3.90) имеет корни Л(,..., Л, кратностей и((,..., лг! (и(+... + о(! = и). Из предыдуще- (О Х(х го ясно, что ае, где о'а — собственный вектор, отвечающий Л(, 100 ЛИНЕЙНЫЕ Лиаг»ЕРЕНПИАЛЬНЬЖ УРАВНЕНИЯ [гл. э где См — — сонэ(, и, таким образом, +С х+...+С х у=- . ° ° .. ° ° -... ° е". С „+Сг х+... +С „г'" ~ (3.93) В этом выражении, однако, поскольку компоненты у, не незави- симы, а связаны системой (3.92), постоянные Сн не являются не- зависимыми.
будет решением уравнения (3.88). Каждому А«в рассматриваемом случае может отвечать несколько собственных векторов, но, вообще говоря, их число р;~ ть Таким образом, решений вида ь-х ае может быть меньше и и они, следовательно, не образуют ф. с. р. Для того чтобы выяснить, откуда взять «недостающие» решения, потребуются некоторые построения, к которым и перейдем. Пусть у — решение уравнения (3.88). Тогда компоненты у« этого решения удовлетворяют системе уравнений аау~+... +а; у„— бу~ О И=1, ..., и), (3,92) где Р— оператор дкфференцврования (см.
замечание 2 к лемме ЗА). Определитель 1)еЦА — Ег)) МЮ) представляет собой некоторый операторный многочлен и-й степени. Если вместо В подставить Л, то получится левая часть х. у. (3.9О) или характеристический многочлен системы И.88). Так как умножение операторных многочленов можно производить по правилу умножения обычных многочленов, то, умножая (3.92) на алгебраические дополнения АвЮ) определителя ()е((А — Ег)) (умножение понимается как умножение операторов) н суммируя по 1, получаем МЮ)у,=О (1 1, ..., н); а это — дифференциальное уравнение порядка и относительно у„ характеристический многочлен которого совпадает с характерпстическим многочленом системы (3.88).
Таким образом, справедлива следующая Теоремад.28. Каждая компонента у> решения у системы (3.88) удовлетворяет уравнению и-го порядка, характеристический многочлен которого равен характеристическому многочлену системы (3.88). Рассмотрим корень Ц кратности гпь Индекс й будем в нижеследующих рассуждениях опускать, так как будем иметь дело только с одним корнем. Этому корню Х отвечает решение у системы (3.88), у-я компонента которого у; в силу теоремы 3.28 имеет внд (см. теорему 3,14) у; = (Сн+ Сг,х +... + С;х" ') е"*, %Ч спстгмы с постоянными коээф»»цл»интами пп Оказывается, в выражении (3.93) число независимых констант Сы равно кратности т корня й.
Обоснованием этого факта мы займемся ниже, а пока выяснил», что зто дает для построения ф. с. р. уравнения (3.88). Обозначим свободные постоянные череа Си ..., С„. Подставим (3.93) в (3.88), сократим на в' н приравняем члены с одинаковыми степенями х. Тогда получится линейная алгебраическая система т однородных уравнений с т Х я неизвестнымн Сон которые можно вырааить линейно черев свободные постоянные С», ..., С . После этого (3.93) можно ааписать в виде (С»р»(х) +... + С р„(хЯ в»*, (3.94) где р»(х) — столбцы, компоненты которых являются вполне определенными многочленами относительно х степени не выше т — 1.
Иэ (3.94) следует, что корню х. у. )» кратности т отвечают т реп»ений вида р»(х)в 0= 1,, т). Такое построение можно проделать для каждого ),л крат»»ости тл. В результате получим т» + +...+т,= и решений. Ниже будет докааано, что полученные огшсанным способом и ре»некий образуют ф. с. р. уравнения (3.88). Практически для нахождения ф. с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
