Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 22
Текст из файла (страница 22)
В дальнейшем будем считать, что однородная краевая задача (4.47) не имеет других решений, линейно независимых с сус(х). Функцию срс(х) нормируем так„что 1 ре'(х) дх = 4. е (4.48) Отметим сразу, что еслй решение р(х) краевой задачи И.46) существует, то правая часть уравнения, функция )(х), должна быть ортогональна на (О, )) функции <ус(х). Действительно, при- Перейдем теперь к вопросу о существовании решения исходной краевой задачи.
Имеет место следующая Теорема 4Л. Если однородная краевая задача (4.26) имеет только тривиальное решение, то решение неоднородной краевой задачи существует для любой непрерывной на (О, Л Функции )(х) и выралсается формулой кглввыв алдлчи <гл о кении формулу Грина (418) к функциям у(х) и фо(х), получим ~ (фо(х) Х,(У) — У (х) А(фо)) сЕх = ) фо(х) 7'(х) йх = о о = (р (х) (фо (х) у' (х) — у (х) фо (х))1 !а = О, (4 40) откуда и следует наше утверждение. Другими словами, справедлива следующая Лемма 4.1. Необходимым условием разрешимости краевой задачи (4.46) является условие ортогональности кравой части уравнения (4.46) нетривиальному решению соотввтствующей однородной краевой аадачи (4.47).
В дальнейшем будем считать, что необходимое условие разрешимости краевой задачи (4.46) выполнено. Покажем, что е этом случае решение краевой задачи существует и может быть построено о помощью соответствующим образом определенной функции Грина. Заметим, что если функция у(х) является решением краевой задачи (4.46), то любая функция у(х) вида у(х) = у(х) + Сфо(х), (4.50) где С вЂ” произвольная постоянная, является решением той же задачи, поскольку функция фо(х) — рептение соответствующей однородной задачи. Поэтому, чтобы определить единственное решение краевой задачи, его надо подчинить дополнительному условию. В качестве такового поставим условие ортогональностп искомого решения собственной функции фо(х)г ) у(х)ф,(х)дх = О, (4.51) о Покажем, что задача (4.46), (4.51) может иметь только одно решение. Очевидно, что в силу линейности задачи для этого достаточно показать, что соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.
Лемма 4.2. Однородная задача (4.47), (4.51) имеет только тривиальное решение. По условию все решения однородной задачи (4.47) представимы в виде уо(х) = Сфо(х). Условие (4.51) дает 1 1 ~у,(х)фо(х) о(х = С ( фо(х) Их, о о откуда С= О, и лемма доказана. Перейдем к построению так называемой обобщенной функции Грина задачи (4.46), (4.51). Так как сутцествуст нетривиальное решение однородной краевой задачи (4.47), то для построения няодногодная нгаевая задАчА 6(О, У=6(1, Ц=О. (4,53) 3, 6(х, $) непрерывна на (О, Л. Н 4. Первая производная — „6(х, $) имеет разрыв первого рода при х = Е,причем величина скачка равна — 6(х, е) ~ И и+а лх " «з-а г ($) ' (4.54) 5. 6(х, а) ортогональна на (О, Л собственной функции «рс(х): ,) 6(х, $)Ч«,(х) «)х = О.
(4.55) о Покажем сраау, что если решение исходной краевой задачп (4.46), (4.51) и обобщенная функция Грина существуют, то решение задачи (4.46), (4.51) выражается через обобщенную функцию Грина по формуле, аналогичной (4.34). Действительно, применяя формулу Грина к функциям у(х) и 6(х, $) на (О, $ — е) н Ц+з, Л н переходя к пределу при з- О, аналогично предыдущему получим « р Я у К) — ~ = ~(6(х, ~) ~(х) +у(х) «р,(5) «р,(х)) «(ха (4.56) что в силу условий (4.54) н (4.51) окончательно дает и(Б) = ) 6( Й1(х) 1 ° (4.57) о Мы укажем алгоритм явного построения определенной условиями 1 — 5 обобщенной фукции Грина.
Тем самым будет про. ведено и конструктивное доказательство ее существования. Выберем какое-либо частное решение е«(х) неоднородного уравнения И (х)) =-«у (ВЬ(х) нужной нам функции Грина ограничиться только решениями однородного уравнения нельзя. Поатому определим обобщенную функцию Грина 6(х, е) как решение следующей задачщ 1. 6(х, $) удовлетворяет неоднородному уравнению Ь (6(х, $)) — — «роЦ)«р (х) '.
(4.52) при О < х - е и з < х < й 2. 6(х, $) удовлетворяет тем же граничным условиям, что и .искомое решение кгзивьгв зздачн !гл. ь на (О, г) (например, решение начальной задачи для уравнения (4.58) с начальными условиями ю(О) а, юЧО) (3). Наряду с функцией фз(х) рассмотрим линейно независимое с ним решение ф~(х) однородного уравнения (4.46): Иф,(хН =О, причем будем считать, что ф~(х) нормировано так, что зз (ф, (х), фз (х)) =— (4.60) Отметим сразу, что в силу линейной независимости функции фз(х) и ф~(х) функпия ф~(х) не может удовлетворять тем же однородным граничным условиялц что и фз(х): ф,(О), -О, ф,(г) "О. Выбранное частное решение ю(х), вообще говоря, также не удовлетворяет однородным граничным условиям (4.53).
Однако можно так выбрать линейные комбинации функций ю(х) и ф1(х) на отрезках (О, $) и Ц, г), чтобы удовлетворить условиям (4.53). Но при зтом не остается достаточных степеней свободы для того, чтобы удовлетворить остающимся условиям 3 — 5. Это можно сделать, добавив линейно независимое с ф~ решешзе однородного уравнения — функцию фз, которая, удовлетворяя однородным условиям (4.53), не может их испортить. Позтому обобщенную. функцию Грина будем строить в виде (С,ф,(х)+С,ф,(х), О«: ~й, 1С ф (х)+ Сзфз(х) В- х~( подбирая постоянные С» Сь Сз, Сз так, чтобы удовлетворить всем условиям.
Условия (4.53) дают ез(0) + С~ф~(0) = О, оз(г) + Сзф1(г) = О. (4.63) В силу (4.6() отсюда однозначно определяются постоянные Сз и Сз. Условия непрерывности функции С(х, с) и скачка ее про- изводной при х = С приводят к уравнениям (С, — С,) ф, (Р + (С, — С,) ф, (5) = О, (4.64) (С, — С,) ф,'(Р+ (С, — С,) ф,'(3) = --',, В силу (4.60) зта система одноаначно разрешима относительно Сз — С1 и Сз-Сз: Сз — С1 = — фзЦ), С» — Сз = ф~Ц). (4.65) Значения Сз и Сз были уже найдены ка (4.63). Покажем, что НБОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЭЛДАЧА они удовлетворяют (4.65). Применим формулу Грина к функциям ы(х) и»ро(х): » ) (»ро(х) ('(»о) (*) г»(»р~))»(х = = (р (х) (»р, (х) ~' (х) — »о(х)»рз (х))) )о = — )»рз(х) ~ро (б)»р„(х) дх) о получим (4.66) — р(()»о(()»р„(()+ р(0)»о(0)»р„(0) = — »р,($).
Ио в силу (4.60) р (()»ро (() = — < ° р (0)»ро (О) = — (4. 67) и на основании (4.63) формула (4.66) переходит в выражение Сз — С» — »роЦ), совпадавицее с (4.65). Итак, С» и Сз определены однозначно. Выразим С» через Сз иэ (4.65): С.=С,+ р,Ц) (4.68) и перепишем (4.62) в виде (Сз»р, (х), 0(х~~Ц, ~' "= "+"")+(С,,(.)+~,а)Ч.(*), В<.~(.' (4.69) Здесь остается неизвестным лишь коэффициент Сз- Подставляя (4.69) в условие (4.55), получим для определения коэффициента Сз выражение ( 1 .С, ~ рз(х) дх = Сз — — — ~~ .(х) ро(х) дх+ о о »-с,)» се»с*>»*»-с,(»,~ ~»со»»-»л(»иоа ). о 1 з (4.70) коэффициент С» выражается через Сз по формуле (4.68). Итак, обобщенная функция Грина построена.
Проведенные рассмотрения позволяют сформулировать следующую теорему. Теорема 4.2.Необходимззм и достаточным условием одноанач.ной разрешил»ости краевой аадачи (446), (4.51) нвллетсл условие (4.49) ортогонольности правой части т(х) уравнение (4.46) 1гл. ь КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 122 собственной функции фо(х). При этом решение выражается в виде (4.71) Необходимость условия ортогокалькости (4.49) и единственпость решения краевой задачи были доказакы ракее (см. леммы 4.1 и 4.2); доказательство того, что фувкция у(х), определеккая формулой (4.71), при выполпепии условия (4.49) является решением краевой задачи, может быть проведено путем кепосредственной проверки.
Замечания. П Для упрощевия выкладок рассматривалась краевая задача с граничными условиями лерзого рода. Лпалогячвые рассмотрения и построевие обобщенной фулкции Грина могут быль проведевы и з случае общих гравичвых условий. 2. Мы предполагаем, что однородная краевая задача (4.47) имеет лишь одно ливейяо везависимое решение Чь(х). Соответствующие рассмотрения могут быть проведевы и в том случае, когда зта задача имеет дза лпвейпо иеаависпмых решевия цз(х), Чт(х) (число линейно везазисимых решений, очевидно, ве более двух, так как порядок уразвевия разов двум). 11ри атом собствеввому значению Л = О краевой задачи ва собстзеввые апачевля (4.24) отвечают дзе ливейво везависимые собствеввые фувкции и,(х), ез(х) Для разрешвмости пеодпородвой краевой задачи в этом случае должны вьшолпаться условия ортоговальвости правой части ураввевия обеим собстзеввым фувкцизм: ) 7 (х) ~р,.
(х) Вх = О (8 = 1, 2). (4,72) о Чтобы имела место едивствеввость, решевие краевой задачи вада подчиввть авалогичпым условиям ортоговальвостя всем собствеввым фуккциям, а обобщенную функцию Грква строить как решение веодвородвого уразвевия, в правой части которого выбирается ливейвая комбивация собствеввых фувкций. 2 3.
Задачи иа собствеииые значения В 2 1 была поставлена аадача на собственные зкачепия, заключающаяся в определении тех акачекий параметра Л, при которых па (О, Й существуют нетривиальные решения одпородкого уразяепия ' Х,(у) +Лр(х)у(х) = О, удовлетворяющие однородным грапичкым условиям и1у'(0) + ~)~у(0) = О, азу'(() + ()зуП) = О. (4.74) Будем считать, что р(х) ) 0 непрерывна ка (О, )).
Перейдем теперь к более подробному изучеиию атой аадачи которую часто казывают задачей Штурма — Лиувилля. Пусть ко- е з! ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ эффициенты уравнения (4.73) и граничных условий (4.74) удовлетворяют тем же предположениям, что и в $2, и Л О не является собственным значением. Тогда в силу предыдущих рассмо'трений существует функция Грина С(х, $) задачи (4.26), являютцаяся симметричной функцией своих аргументов. Переписав уравнение (4.73) в виде Иу) = — Лр(х)у(х), (4.75) мы на основании теоремы 4.( предыдущего параграфа получим соотношение ! у (х) = — 1 6 (х, 5) Лр (5) у (5) В'й, а ! у (х) + Л ~ 6 (х, Ц) р (Е) у (Ц) Щ = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
