Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Мы ограничимся доказательством первого утверждения теоремы — об устойчивости и асимптотической устойчивости. Пользуясь представлением (5,20) для правых частей (5Л9) и рассматривая (5Л9) как систему (3.7$), в которой 7 = 'г'В, перейдем от дифференциального уравнения (5Л) с начальным условием х(0) =хо к эквивалентному интегральному уравнению (см. (Зэ87)) а = — дТ (Ф, 0) х, + ~ Л' (Ф, $)ьо В (3) с$. (5. 25) о Рассмотрим некоторую окрестность ь) точки х=0 фазового пространства.
Пусть для определенности о) задается равенством 1!х(!<К, где К вЂ” некоторая постоянная. Согласно лемме 5Л в области ь) для 'г% справедлива оценка И'И <СЫг и от (5.25) можно перейти к неравенству )х)» Се-а'~хо(+ С ~ е-аа-ЗВ~х)о а3, ' о (5.26) где -а = р+ 7. Так как в рассматриваемом случае р» О, то нри достаточно малом 7 имеем а ~ О.
Рассмотрим теперь вспомйгательную скалярную задачу —; =- — аг+ Сг', г(О) = — г,) С)хо). (5.27) Это уравнение элементарно интегрируется (как уравнение с разделяюшвмися переменными пли как уравнение Бернулли), и решение имеет вид о ао г= Со, + (а — Сг,) о " Это решение, как нетрудно видеть, обладает следующими свой-- ствами: 1) г) 0 прп т>0, если го достаточно мало: го<а/С; ао„е 'а оа 2) для ~уз)0 нмеемг< " „, <е, если г,< —,=6(з); оо 3) гИ) -~. О при г- в 2! ИССЛЕДОВАНИЕ ПО ПЕРВОМУ ПРИБЛИЖЕНИЮ Наштшем теперь для 2(г) интегральное уравнение по типу (5.25): с 2 = — э,с-"'+ С~с- ~'-Нхэс)5 (526) о и сравним Их!( и 2.
Убедимся, что при 8~0 справедливо неравенство ИхИ <г. (5.29) В самом дело, при 8=0 неравенство (5.29) справедливо, так как, полагая в (5.26) э =О, получим (!хоИ < эс. Предположим, что при некотором значении 8=2~ неравенство (5.29) перестает выполняться и имеет место Их(21)1(=г(И~).
Из свойства 2 функции 2П) слеДУет, что пРи Достаточно малом эо ивтеем Ы! <К Дли 2>0. При О<И< Иь справедливо (5.29), и поэтому Ихб <К (т. е. хш()). Таким образом, при 0<2<21 справедливо неравенство (5.26), и при И= 21 имеем й 2(И,) =-г,е-"'+ С ~е-™Т~гэгэй = Их(сь)~<СЙхэЙе-он+ о с + С~с-ок — 2~$ХЙЭС(й <г,с-"' + С~ С-ок-Ь2Щ' о о Сравнивая крайние члены этой цепочки неравенств, получим протлворечие в виде 1 < 1, что и доказывает справедливость (5.29) для И>0. Л теперь, воспользовавшись неравенством (5.29), нетрудно уже получить утверждение теоремы. В самом деле, пусть задано б(эт т/е ) О.
Определим б(е) =у", где Йе) — величина, фигурирующая в свойстве 2' функции 2П). Пусть Щ! <Йз). Возьмем Йз)/2 < эо < Йэ). Тогда имеем 2(И) < э. Л так как СИхоИ < <Сб(з) =б(э)/2<во, то справедливо (5.29) н, таким образом, Их(()И <2П) < з при ИхоИ <6(э), т. е. тривиальное решение системы (5.(9) устойчиво. То же неравенство (5.29) вместе со свойством 3' функции г(э) обеспечивает асимптотическую устойчивость тривиального реэпения системы (5 (9). 3 э и е ч а и и я.
Е Нетрудно видеть, что теорема остается справедливой в ллл случая, когда / зависит явно от ), если только справедливо представление У,. (э, 0= ~ч~~аэьэ„+и, где оы = сопэй а ИДИ < сИх!~+", где в=в и ) Π— любое. 2. Если среди Л встречаются такие, для которых Не Л = О, то даже если тривиальное решение системы первого приближении (5.22) устойчиво, тривиальное решение системы (бй9) в зависимости от й может бмть как устойчивын, так и неустойчивым. В этом случае, который обычно наэываотсл тжогня устойчивости критическим случаем, зная только характеристические числа матрииы первого пряблкжевкя, кельзв, вообще говоря, сделать вывод об устойчивости яля пеустойчквостк тривиального решения системы (539). В критических случаях метод ксследояаквя ка устойчивость по первому приближению теряет силу к нужно использовать свойства последующих членов в разложеккк (5.20) илк другие методы.
й 3. Метод функций Ляиуиова Метод исследования на устойчивость, изложенный в предыдущем параграфе прп всей его естественности не всегда дает ответ на поставленный вопрос. А. М. Ляпуновым был предложен также и другой метод В этом методе заданной системе уравнений сопоставляется неко- тОРаЯ ФУНКЦИЯ От аРГУМЕНтеа Х1, ..., Хьз НаЗЫВаЕМаа ФУНКЦИЕЙ Ляпунова, и по ее свойствам можно делать вывод об устойчивости решения. Проиллюстрируем идею метода на простейшем примере Их 2 — ' = — хг + хз = ~1 — ' = — 2хз = )з. 1 2 1г НГ (5.30) По предыдущему мы знаем, что тривиальное решение этой системы устойчиво, так как )г1 — 1 О, )гз = — 2(0. Однако, для того чтобы убедиться в устойчивости тривиального решения, можно рассуждать и по-другому.
Рассмотрим функцию )г(х„хз)= 2 2 =2х, + х,. Эта функция положительна всюду, кроме точки х1=0, хе=О, где она обращается в нуль. В пространстве переменных 2 2 х1, хз, У уравнение )г = 2хг+ хз определяет параболонд с верю шиной в начале координат. Линни уровня этой поверхности на гглоскости (х1, хз) представляют собой эллипсы. Зададим проивз вольно малое е.
Построим на пло- скости (х1, хз) круг ю, радиуса е. ~Х Я Возьмем одну пз линий уровня— эллипс, целиком лежащий внутри круга ю,. Построим другой круг юз, целиком лежащий внутри эллипса (рис. 10). Пусть начальная точка А(хь о, хз, о) лежит внутри юз. Ркс. 20. Рассмотрим функцию двух пе- ременных И'(х1, хз) =(бган У, у). Легко видеть, что если вместо х1, хз подставить решение х1П)„ хз(П системы (5.30), то полученная таким образом функция от Г будет представлять собой полную производную — от гг(х1(1), хзЮ) вдоль траектории решения системы (5.30).
Если зта»ро- мзтол Функций ляпунОВА изводная вдоль любой траектории, начинающейся в ва, неположительна, то это будет означать, что такая траектория не сможет пошшуть ю„так как иначе между г = 0 и значением 1=Фи при котором она попадает на границу ю„, найдется зна- Л" чевие ~= йь, для которого — ) О, поскольку г'(х~((1), хз((1)) ) 'г'(хке, хкз). 'Ао, что ни одна тРаектоРиЯ, начинающаЯсЯ в юм не покидает ни при одном ~) О круг ю., означает устойчивость тривиального решения. вР Итак, мы должны проверить знак — вдоль траектории.
Для етого надо знать саму траекторию. Хотя в данном примере зто можно сделать, но метод должен быть рассчитан на систему общего вида, для которой х~И), хзП) нельзя выписать явно и тем самым проверить нужное неравенство. Позтому мы будем требовать, чтобы функция И"(хь хз) была неположительной как функция двух независимых переменных хь хз по крайней мере в некоторой окрестности (О, 0). Ото условие можно проверить непосредственно по правым частям системы, не зная решении.
В нашем примере именно так и будет, поскольку ИЧхь хе) = =-- — 2[(х,— хз) +хг+хЦ з 0 всюду на плоскости (хь х,), а тем самым вдоль любой траектории, и устойчивость тривиального решения гарактирована. Функция )Чхь хз), участвуюп(ая в этих рассуждениях, и есть функции Ляпунова для рассматриваемого примера. Она имеет вид квадратичной формы 2х1+хз ~хотя в принципе вместо 2х~1+хз можно было бы взять и другую функцию, лишь бы она была положительной всюду, кроме точки (О, 0), где она обращается з нуль, а выражение (дгаб У, )) — = И'(х~, хз) было неположительным.
Подчеркнем еще раз, что в приведенных рассуждениях важны как положительность функции г', так и неположительпость функции И'. значение которой вдоль траектории представляет собой полную производную от г' по $ вдоль траектории, Обратимся теперь к формулировке и доказательству некоторыл общих теорем, в основу которых положена эта идея. Будем исследовать тривиальное решение системы (5.5): (5.31) Все дальневшие построения будем вести в некоторой ь)-окрестности начала координат в фазовом пространстве. Пусть для определенности ь1 задаемся неравенством )):с!! <К, где К вЂ” некоторая постоянная.
Определение. Функция )Чхь ..,, х„) (или, короче, г"(х)) называется полозги телу ьно определенной в ь), если г Ы > 0 в й, причем г'(х) = 0 лишь при х = О. !гп. з твовия ъстоичивости Леммой.2, Пусть т'(х) — положительно определенная и непрерывная в П функция.
Тогда а) для всех х, удовлетворяющих неРаввнствУ 1х11 ~ е~ ~ О ~ ег ) О такое, что )т(х) ~ ег! б) обратно, из неравенства Их) ~ ез>0 следует существование е~ ) 0 .такого, что 1!х11 > е,. Доназательство обоих утверждений проведем от противного. а) Пусть при выполнешги неравенства 11х1! ~ с~ ни для какого ет неравенство т'(х) ~гт не выполнено. Тогда для 1у "'ет 3 'пх, удовлетворяющее неравенству 11'ох!1) е~ и такое, что У( пх) < < '"зь Возьмем последовательность '"'ет О. Ей будет отвечать последовательность точек '"'х таких, что 11ы'х11 ~ сь а (5.32) т ((а)х) < !и!ег -~ О Имеем г~ ~ 11ы'х11 ~й. Поэтому яз последовательности '™х можно выделить подпоследовательность (которую, введя новую ну-.
мерацию, сиона обозначим '"'х), имеющую предел х; пря этом г, <(х(< К. (5. 33) В силу непрерывности Их) имеем 1пп У(огх) = У(х). Но пз г неравенства (5.32) следует, что 1пп У ('юх) = О. Таким образом, У(х) = 0 ~ х= О, что противоречит (5.33). б) Пусть при выполнении неравенства Их) ~ ег нн для'какого е~ неравенство 11х(1 ~ е~ ве выполнено. Тогда для )у "Ъ~ "'х, удовлетворяющее неравенству !1"'х11("'еи в то время как УР "х) ~ ев Возьмем последовательность 'юе~ — О. Ей будет отвечать последовательность точек '"'х такая, что И' 'х) ~ ез, а 11оох11 ( очс~- О. Но последнее означает, что "х-О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
