Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 25
Текст из файла (страница 25)
!Л'о! < Се(г+"'. (5Л5) Получим еще одно вспомогательное неравенство. Пусть у= =А(1)х, где у, х — столбцы, А(1) — квадратная матрица. Пусть элементы А(1) подчиняются неравенству !а(1(1)!»а(1). Тогда ((у(! ( 2аИ)!!х1. ДЕйСтВИтЕЛЬНО, ДЛЯ ДВУМЕРНОГО СЛУЧаЯ ИМЕЕМ У(е а((Х(+а(втз п, следовательно, у; = о',дх, '+ а-„хз + Хлмпмх~хг »( ( а' х', + а'х~+ ! а ! !а11! (х~+ Ф) (2аз (ха+ хз). вычитывая аналогичную оценку для уз, получим уз+ уз (4аз(х~~+ + х11). что равносильно (5Л6).
чае этого сделать нельзя. Однако результаты, которые мы получим для (5.11),подскажут направление исследованияобщегослучая. Получим сначала некоторые вспомогательные неравенства. Согласно изложенному в Ц 6 и 7 гл. 3 решение х(г, ха) системы (5Л1), принимающее начальное значение хо, представимо в виде твогия гстоггчнвости (гл. ь Применяя неравенство (5.16) к (5Л2) и беря в качестве аЮ правую часть (5.14) нли (5.15), получим (коэффициент 2 можно включить в С< илн С) 11х(г, хо)11 ( (С1+ Сойе™!1хо1, (5Л7> 11х(г, хоИ1:- Се"+гн11хо11.
(5Л8) Обратимся теперь непосредственно к исследованию тривиального решения системы (5.11). Рассмотрим разные случаи. 1. Пусть р~ =ВеХ~(О, рт= Ве)о(0. Тогда р = игах(рь ро)( (О и, следовательно, прп достаточно малом 7 имеем р+7(0 Тогда для и'е) О получим из (5Л8) 11х(г, хоВ (Сзхо1 (з, если 1!хо!1 ( е/С = 6(е). и, таким образом, тривиальное решение системы (5.11) устойчнвс, Из (5Л8) видно также, что хИ, хо) — О прн à — н, таким образом, решение аснмптотически устойчиво.
2. Пусть среди рь ро имеется хотя бы одно положительное, например рь В этом случае, как нетрудно видеть, тривиальное решение системы (5.11) устойчивым не является. Допустим противное, т. е. что для )у с~О ~ 6(з) такое, что прн !!хо11(6(е) справедливо 11х11 (з. Дальнейшие рассуждения будут несколько различаться в зависимости от того, являются Ь действительными нлн комплексно сопряженными.
При действительных ).; достаточно рассмотреть решение х = С '"х. При достаточно малом 1С1, очевидно, 1хо11 ( 6(з), но неравенство 1)х!1 ( е не может быть выполнено при всех 1~0, з'ак каке ' -ь оо прн г- . Если же Хо их комплексные, то р~ =до= р, Л~ =р+(д и рассмотрим решение х=СКе'"х. При достаточно малом 1С1 по-прежнему зхо11 (6(е). Возьмем одну нз компонент этого решения, отличную от тождественного нуля, например х~ =С6~(г)е"', где !)~(г) — некоторая вполне определенная линейная комбинация соз()Г н з(вф. Очевидно, х~ не является ограниченным при Г- о, н поэтому неравенство 1х11 (е также не может быть выполненным прн всех г) О. 3. Осталось рассмотреть случай, когда р~ = О, ро ( 0 илн р~ =ро=О.
Последяее оаначает, что Х~ и Хо либо чисто мнимые, либо равные нулю и кратные. В случае р~ = О, ре(0 илн чисто мнимых )ч в формуле (5Л7) р=О, Со=О, так что 11х(г, хо)11 ( (С~1хо11 н решение устойчиво по тем же причинам, что и в 1. Асимптотической устойчивости здесь, однако, уже не будет, так как, очевидно, найдутся решения, не стремяжиеся к нулю прн М- о. В случае р~=О, ра(О таким решениембудет, например, решение вида х= С"'х, для которого при достаточно малом 1С1 величина 1хо11 как угоднсг мала, однако 11х11 сопз1 т' 0 прн При чисто мнимых Хь очевидно, х=СВе'"х ' 0 при 1 оо.
ьн ьи ш Если же )о Хо=0, тое ' ==о * =1, а 'вея — лннеингн функции г, и ноевому неравенство 1х(г, хо)11(е не может вьь чп нсслкдовяник по пегвому пгивлилгенню 135 полняться для всех 1) О, за исключением того случая, когда все о'а; вырождаются в многочлены нулевой степени.
Но зтот случай реалпауется лишь при а,ъ=О и решение тогда имеет вид х|=хм, ха =хм я, очевидно, является устойчивым, но не асимп"готпчески. Замечание. Нетрудно видеть, что проведеннып анализ в значительной мере остается справедливым и для и-мерного случая. Так сохраняется оценка (5Л5) для 2,"е, неравенство (5Л6), в котором изменится только то, что вместо козффнциента 2 появится некоторая величина, зависящая от и. Останется справедливым неравенство (5.18). Нетрудно видеть также, что рассуждения, приведенные в 1, 2, фактически без изменений переносятся на и-мерный случай. Подводя итоги, можно сделать вывод, что тривиальное решение однородной системы линейных уравнений устойчиво и притом асимптотически, если КеХ~(0 для всех 1, и неустойчиво, если Ве Х, ) 0 хотя бы для одного й Нри наличия характеристических чисел с равной нулю действительной частью ситуация является более сложной.
Дополнительный анализ показывает, что если характеристические числа г равнымк нулю действительнымп частями не являются кратными, то прн условии, что щючие Х удовлетворяют требованию Ке). (О, будет иметь место устойчивость, но не асимптотическая. Если же среди Х с нулевыми действительными частями имеются кратные, 'го устойчивости, вообще говоря, не будет, даже если для прочих Х имеет место неравенство КеХ(0. й 2.
Исследование на устойчивость по первому приближению Обратимся к системе общего вида (5.5) и рассмотрим так называемый автономный случай, когда Г не зависит явно от й Запишем систему в координатной форме Так как понятие устойчивости тривиального решения связано с малой окрестностью начала координат в фааовом пространстве, то естественно ожидать, что поведение решения системы (5.19) будет определяться главными членами разложения у по х в окрестности х=О.
Так как ЯО, ..., 0) =0 (поскольку х 0 является решением системы (2Л)), то главными членами будут линейные члены разложения 1 по х, или,,как их иначе называют, члены первого приближения. ткогия гстончивости ггл. з По формуле Тейлора, учитывая, что 1~(0, ..., О) =О, имеем 1,(хн ...„х,„) = ~~'., агахь+ Лм (5.20> где а1у и ' (йхн ..., 8х„)х;хв (5. 21) гл 1 ~г ~! Если в (5.20) отбросить 'з'))ч то вместо (5Л9) получим лпнейную систему вида — — агах„, 1=1 которую будем называть системой первого приближения для системы (5Л9).
Поведение системы (5.22) в отношении устойчивости вли неустойчивости тривиального решения определяется свойствами корней Х характеристического уравнения, как было выяснено в конце предыдущего параграфа. Можно ожидать, что те же требования на ) обеспечат не только устойчивость нли неустойчивость тривиального решения системы (5.22), но и тривиального решения исходной системы (5 19). Как будет видно ниже, зто предположение оправдывается.
Однако, прежде чем формулировать соответствующую теорему, докажем лемму, содерокащую некоторые вспомогательные неравенства, которые потребуются при доказательстве теоремы. В дальнейшем, как зто нередко делается, все встречающиеся положительные постоянные, величина которых не играет существенной роли, будем обоаначать одной и той я'е буквой С (так, в (5.7) можно было бы написать !!х(1, хо)!! ~ (С+Се)ен!!хо!! и т. д.). Ле,нма 5.1.
')'. Если у~ =,;"~ аы(1) хю где (аа(Г)! (а(г), то а=1 !!у!! ( Са(г)!!х!!. я 2'. Еслиу; = ~ аон(Ф)х;хьгде !аоз! ~а(г), то з, ь=г !!у!! < Са(1) !!х!!з. 3'. !!х+ у!! ( С(Ы + !!у!!), 4'. ) )у а3 ~ < с ! ! Р ~ е. $2) нсслвдовлнив по пвэвомл пвквлижвнию тз7 5'. Для матрас)анто Л'(7, $) линейной системьс (5.22) справедливо неравенство !Л' (г, й) ! = 1Л' (7 — В, О) ! ~ Се' +"" о, (5,23) «де р = гэах (Йе лч), у — положительная постоянная. с=ь...,ь Доказательство. 1'. Утверждение было доказано для двумерного случая (см. (5А6И. Для произвольного п, как было уже отмечено в предыдущем параграфе, доказательство проводится подобным ясе образом. 2'. Утверждение доказывается прн помощи аналогичных соображений, поэтому доказательстве опускаем.
3 . Имеем (х+у) =хс+ у~-Ф((х+ у)~1в = хс + увс+ 2ху.а «» Ц х )- + Ц у Цв + 2 Ц х Ц Ц у Ц = ( Ц х Ц + Ц у Ц )в > Ц х + у Цв < ~~и(ЦхЦ+ ЦуЦ) =ьЦх+ уЦ( С(Ц хЦ+ ЦуЦ) (С = 7' п). 4 . Имеем [1„л) („а [[(„лЦ"( ~~~ЦУЦЖ~ -ь~~ у~4~~С [ЦуЦйй (С =~/ ). е е е замечавве. Укаэанные неравенства легко следуют ва теорем лвлейной алгебры.
5'. Для Л'(7, $) справедшсво неравенство (5А5): 1Л;"е(с, О)! ~Се«в~си (5.24) (см. замечание в конце з (). Убедимся, что Л'(г, $) = Л'(7 — $, 0). в Действительно, Л'(в, $) удовлетворяет уравнению — Л" (г,$) =- =АЛ'(г, $) (А — матрица с элементами аа) и начальному условию Л'1«с=Л'(э, $) =Е. Заменяя независимое переменное г на г — й и учи~ывая, что А =сопзг, получим, что Л'Π— $, 0) удовлетворяет тому же уравнению н начальному условию Л1, с е — — Л'(О, 0) =Е. Поэтому в силу теоремы единственности Л'(7, й) ~Л'(7 — К, О).
Отсюда и нз (5.24) последует (5.23). Сформулируем теперь теорему, обеспечивающую воаможность судить об устойчивости или неустойчивости тривиального решения системы (5АО) по характеристическим числам матрицы первого приближения. Уеорелса 5.1. Пусть в некоторой окрестности точки хс =О, , х„= 0 )с(хь ..., хв) (т = (, ..., и) непрерывны вместе с иро- твогня тстоичивостн ~гл. г газ иэеодными до второго порядка включительно. Тогда, если все характеристические числа ) матрицы с элементами аа ду * — (Ь,...~О) удовлетворяют условию Ве4<0, то тривиальдх ное решение системы (5Л9) устойчиво и притом асимптотически Если асе Ве)ч) 0 хотя бы для одного (, то тривиальное решение системы (5Л9) неустойчиво.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
