Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 29
Текст из файла (страница 29)
В суще- 1» ствовакия такого цикла легко убедвтьсл, перейдя к полярным координатам а, = р соз 6, ж = Р ып 6, в которь>х система (5.44) принимает вад ж = — р(о — ') 1 =-1. 3. С повышением размерности 'и фазовая картина существенно усложняется, возникают новые явления, для изучения которых развиты многочисленные методы. Исследование фазового портрета системы дифференциальных уравнений является одной пз задач так называемой качественной теории дифференциальных уравнений*э).
«) См., например, По к«рагин Л. С, Обыкновенные дифферевцмальлые уравнения.— Ма Наука, 1905, 4 ЗО. «») См., например Не мыцкмй В. В., Степанов В. В. На«ест»сипая теория двфферепцвальных уравнений.— 51.— Ла ГИТТЛ, 1949. ГЛАВА б ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ При практическом решении задач для обыкновенных дифференциальных уравнений, как правило, не удается получить решение в квадратурах, выраженное через элементарные или специальные функции (определенное исключение составляют линейные уравнения, рассмотренные в гл. 3). В то же время интенсивное ~рнменение дифференциальных уравнений в качестве математических моделей кшрокого круга естественнонаучных задач требует разработки методов их исследования, позволяющих получить с гарантированной точностью числовые характеристики рассматриваемой задачи.
Наиболее эффективными здесь оказываются численные методы. Благодаря бурному развитию электронной вычислительной техники численные методы находят широкое применение в различных областях математики и ее приложениях, в частности, и при решении обыкновенных дифференциальных уравнений. За последнее время появилось достаточно большое количество учебных пособий, посвященных этой проблеме а).
В настоящей главе будут наложены лшпь простейшие вопросы, относящиеся к численным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений. й $. Численные методы решения начальной задачи $. Метод Эйлера. В гл. 2 при иследозании вопросов существования и единственности решения начальной задачи для обыкновенного дифференциального уравнения †„. "= 1(л, р), р (ле) = ре (6. () *) См., например, Самарский А.
А. теории раеностиых схем.— Мл Наука, 1977; К а л и т й и и Н. Н. Численные методы.— Мл Наука, 1978; М а рчук Г. Н. Методы вычислвтельиой математики.— Мл Наука, 1977; Бахвалов Н. С. Численные методы.— Мз Наука, 1975, т. 1 и др. РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОН ЗАДАЧИ мы отметили, что примененный для доказательства теоремы существования алгоритм Эйлера дает одновременно и конструктивный способ численного построения приближенного решения задачи. Алгоритм Эйлера представляет собой простейший численный метод решения начальной аадачи„ Напомним его основную идею.
Отрезок (хр, Х), на котором ищется решение задачи (6Л), разбивается на л частей точками деления (»») (р) (р) р» (р) (»») (»») хр хр», х1», ° » хр — Х* х» х(-1 й( ) 61 (")Ь = и) ах ((")й»1 н строится ломаная Эйлера — кусочно линейная функция '"'у(х), являющаяся решением начальной задачи дчя уравнения (6.1) с кусочно постоянной правой частью: — „" = 1(х( 1, '")у(х, 1)), х( (х~~х», (")у(х,) = у,. (6.2) В гл. 2 было показано, что решение задачи (6.2), являющееся приближенным решением исходной задачи (6Л), не выйдет иэ области О, в которой функция ~(х, у) удовлетворяет условиям теоремы существования. В дальнейшем, исследуя другие алгоритмы построения приближенных решений задачи (6.1), мы будем предполагать, что построенные по ннм приближенные репюнпя также не выходят иэ (), не занимаясь оценкой величины Х вЂ” хр того отрезка, где это имеет место.
Очевидно при х, 1~ ~х(х» решение задачи (6.2) может быть записано в виде '"'у(х) = '"'у(х» 1) + + (х — х» 1)/(х» „'"'у(х„,)). (6.3) Формула (6.3) представляет собой лвнун схему численного построения ломаной Эйлера, поскольку позволяет последовательно вычислять значения исколшй функции ' 'у(х) во всех точках х» разбиения отрезка (хр, Х). Геометри- х ческий смысл этих построений достаточно прост. На каждом Рлс (8. шаге (х»-и х») движение по соответствующей интегральной кривой уравнения (6Л) заменяется движением по касательной к интегральной кривой в точке (х, 1, '"'у(х»-))).
Отметим, что при достаточно крупном шаге »")»»» и большом отрезке интегрирования (хр, Х) конечное значение ("'у(Х) может значительно отличаться от значения у(Х) числвнныв мктоды искомой интегральной кривой (рис. 18), однако, как следует ив теоремы 2Л, прн '"% — О последовательность ломаных Эйлера Р">у(хН сходится к искомой интегральной кривой у(х) начальной аадачи (ОЛ). Оценим скорость слоднмости метода Эйлера. Предположим„ что функция у(х, у) имеет непрерывные частные проивводные по обоим аргументам в прямоугольнике Х), в котором существует единственное решение задачи (ОЛ).
Тогда имеют место оценки И (х, уН < М, ~ — (х, у)~,, ~ †„ (х, у)~ < А. (6.4) Составим равность в(х) между точным решением у(х) исходной эадачи (6.1) и ломаной Эйлера "у(х), удовлетворяющей уравнению и начальному условию (6.2): в(х) = у(х) — ' 'у(х)„ (6.5) В силу (ОЛ), (6.2), (6.5) получим — =~(х, у(х)) — ~(х; „, у(хь т))~ в(х,) =- О. Преобраэуем правую часть уравнения (6.6), для чего воспольвуемся тождеством Адамара (см. (2.144)) 1(х, У(х)) — ~(хь ы '"'У(хь т)) = =~(х,в(х)+ у(х)) — ~(х; „~ ~у(х~ г)) =— 1 =(х — х; ) ~ — (х; +О(х — х; ),т(х)-)-~ 'у(х))оО-(- о +('( )+ у( ) у( *-.))~,„( —, у( .—.)+ о + О (в(х) + ооу(х) — иву (хг т))) сЮ.
(6.8) Учитывая формулу (6.3), получим отсюда — = (х — х;,) ) — ( ° ) сЮ + ии Г д) дв дх о + ) з + (х — х~ ~) ~ (х; ~ ~"гу (х; Д)) ~ — ( ° . ) НО. (6.9) е РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ йц Окончательно для рааности л(х) получим уравнение — = р(х)з(х)+(х — хэ 1)«р(х), х« 1<х(х«, (6ЛО) где Р (х) = .) Е (х«-1 У (х«-1)+ 6(У (х) — У(х~,))) «(6 (6Л1) н 5 ду 1 «р(х) = ~ — (х; 1+6(х — х;,), у(х))«)6+ ~(х«эм «юу(хс ))р(х). э (6Л2) Тем самым фуннцию л(х) мог«но рассматривать как решение линейного уравнения с кусочно непрерывнммп коэффициентами, для которого справедлива оценка (2.35). Воспользовавшись этой оценкой и условиями (6.4), окончательно получим ) з(х) ~("'Ь(1+ «ьг)(ехы "и— (6ЛЗ) Из этой формулы видно, что величина Ь(х)! линейно зависит от величины '"'Ь максимального шага разбиения.
Это означает, что приближенное решение '"'у(х), полученное по методу ломаных дйлера (6.3), сходится к точному решеншо исходной задачи с первым порядком точности. Экспоненциальный член в оценке (6.13) характеризует расхождение интегральных кривых (см. рис. 18).
3 ам еч э в в е. Оценка погрешности (633) пэллэтсл мэжораптвой. Длп фувкцпн Г'(с, у) со эпакоперемевпымм провэводвымп опа может окаэагьсп сплыло эавьппекпой по сравпенп«о с более точными аскмпгогкчссппмк оценкамм, однако первый порядок точпосгп по ««А при этом сохравлстсл, а угочнпппсв лишь коэффициенты прп «" >А. 2. Общие понятия теории разностных схем. В предыдущем пункте достаточно просто была получена оценка скорости сходи- мости простейшего конечно-разностного метода — метода Эйлера Для исследования более сложных методов, обладающих скоростью сходимости высоких порядков, нам потребуется ввести ряд обтцнх понятий теории разкостных схем. Для болыпинства численных методов достаточно указать алгоритм вычисления приближенного решения в конечном числе фиксированных точек х, отрезка (хо, Х), на котором решается задача (6Л). Множество точек ы„=(х«) (1 О, 1, ..., и), на котором ищется приближенное решение, называется сеткой.
Отдельные точки этого множества — узлы сетки. Расстояние Ь«=х«вЂ” — х, «0 =1, ..., и) между соседними узлами — шаг сетки. Сетка может быть неравномерной, Ь,чьсопвФ (в н. 1 мы рассматривалн [гл з чл»сдвинь»к мктоды »56 Здесь символом Х будем обозначать не только задание уравнения, но и задание дополнительных, например, начальных условий, записанное в определенном порядке. »р(х) обозначает правую часть уравнения и правые части дополнительных условий, записанные в соответствующем порядке. Так, задача (6Л) может быть записана в виде (~ — »».. е( ('1 (6Л5) Соответствующую разностную задачу будем записывать в виде (6.(6) где через Хл обоаначается задание разностного уравнения и отвечающих ему дополнительных условий, а через»"'»~ — входные данные задачи, т.
е. значения сеточной функции ' ') — правой части разностного уравнения — в совокупности с правыми частями дополнительных условий. Уравнение (6.22), приведенное ниже, представляет собой пример записи такого рода для схемы Эйлера. Задача определения сеточных функций '"'у должна быть поставлена так, чтобы при стремлении шага Ь сетки к нулю сеточные функции сходились в определенном смысла к точному решению исходной зада ш (6Л4).
Для определения сходимоств семейства сеточных функций к решению исходной задачи в пространстве (»мп) сеточных функций необходимо задать расстояние между отдельными функциями как норму их разности. Понятие нормы в пространстве сеточных функций можно ввести по-разному. Чаще 'всего использу- метод Эйлера на неравномерной сетке), и равномерной, Ь» Ь= = сопел. Очевидно, в последнел» случае величина шага сетки на отрезке 1хе, Х) равна Ь= 1Х вЂ” хе1/н.
В дальнейшел», если не оговорено особо, будем рассматривать равномерные сетки. Функция дискретного аргумента у(х»), определенная лишь в узлах сетки, называется сеточной функцией. Значения сеточной функции '"'у на юл будем обозначать '"'у» (» = О, »» ..., и).
Основу конечно-разностных методов решения задач для дифференциальных уравнений составляет замена исходной дифференциальной задачи для функции непрерывного аргумента алгебраической задачей для сеточной функции — системой алгебраических уравнений, связывающих между собой значения сеточной функции, заданных дополнительных условий и правой части уравне-. ния в узлах х, сетки ел». Пусть дифференциальная задача имеет вид Х у — »р(х). (6Л4) »57 Ркшкннк НАчьлькои злдячи ется так называемая равномерная чебьппевская норма, определяемая выражением Д ' 'о Д = шах $ ооо» 3 (»' = О, 1,..., к). (6. 17) В ряде случаев применяется среднеквадратичная (гильбертова) норма (6Л8) где р» — заданные весовые коэффициенты.
В некоторых случаях применяются и другие нормы, например энергетические. Вудем говорить, что семейство сеточных функций (»»'у) сходится к точному решению у(х) исходной задачи, если )(ш)' 'У вЂ” [У)„~ = О," (6.19) ь о где через (у)» обозначены значения функции у(х) на сетке ю». Если, кроме того, Рюу — (у).1 < Сй"» (6.20) где С и й — некоторые постоянные, не зависшцие от )», то будем говорить, что имеет место сходикость порядка й в соответствую и)ей норме. В п. 1 было показано, что семейство сеточных функции ('"'у), полученных по методу Эйлера, сходится к точному решению в равномерной норме с первым порядком.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
