Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Точка лз может быть либо граничной, либо внутренней точкой 10, Л. Пусть ха — граничная точка. Но тогда М=О, поскольку уэ(0) уз(0=0. Допу-' стим теперь, что лз — внутренняя точка, тогда в этой точке име-. ется максимум и у"(хз) ~О. Но нз самого уравнения (см. (6.89) прп 1(х) = О) следует О ~~ У > (и ) = Ч ( га) Уа (за) = Ч (ха) М ' з О, (6. 92) а это может выполняться ли>пь при М = О.
Итак, М= О. Аналогичвым образом легко показать, что и минимальное и> значение функции уо(л) на замкнутом отрезке 10, Л равно нулто: п>=0. Отсюда следует, что уз(х) =О, х>в10, Л, что и доказывает утверждение об единственности решения краевой задачи (6.89), (6.90). Перейдем к построению разностной схемы, аш>роксимирующей задачу (6.89), (6.90). Введем на отрезке 10, Л сетку юз а рассмотрим сеточную функцию '"'у, определенную в узлах сетки.
Вторую производную у" (х) аппроксимируем разностным отно- шением КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 473 родной системы достаточно установить отсутствие нетривиааьных решений у соответствующей однородной системы. Предположим, что однородная система имеет нетривиальное решение '"'уа О, 'а'уп .„., '"'у„=0. Наибольшее из этих и+ $ чисел обозначим через М: 44> -М ~ч (6.95) Так как '"'уа='"'у„=О, то М~О. Будем теперь рассукдать, как при доказательстве отсутствия нетривиального решения у однородного уравнения (6.89).
Пусть М достигается в одном из граничных узлов. Тогда М= О. Если же М достигается во внутреннем узле 4= й, то в силу однородного уравнения (6.94) имеет место равенство (2+а~-'"'Ч)'"'у =(2+Йа и'Ч)М='"'у +'"'у 4~2М (6.96) Если М) О, то отсюда получим противоречие, поскольку в силу условия дЫ )О имеем (2+на ° 'муа)М) 2М. Поэтому и в этом случае М = О. Итак, М= О.
Аналогичным образом легко показать, что минимальное т значение п+1 чисел '"'уа, 'а'уь ..., '"'у„ также равно нулю: т = О. Следовательно„все значения 'муа, '"'уп ..., '"'у„равны нулю, что означает отсутствие нетривиаль- ных решений у однородной системы линейных алгебраических уравнений (6.94). Итак, разностная схема (6.94) однозначно раз- решима для любой правой части 'а'~ при любом и. Перейдем теперь к изучению аппроксимирующих свойств схе- мы (6.94). Пусть функции д(х) н г(л) имеют вторые непрерывные производные на отрезке (О, Л. Тогда из (6.89) следует, что ре- шение краевой задачи (6.89), (6.90) обладает на отрезке [О, Л непрерывными и ограниченными производйыми до четвертого порядка.
Разлагая точное решение краевой задачи в строку Тей- лора и подставляя эти разложения в левую часть уравнения (6.94): ь' ьа — а~У(Х;) + ЬУ'(Л4) + — )/'(Ха) + — У'э(яа) + Аа 4 Ь + —., уню (ха + 64Ь) — 2у (ла) + у (ха) — йу' (х4) + — у" (ла)— Аа Ьа С у (ла) + 4 у'~т~ (ла — 6 44)( — у (ла) у (З4) (6.97) (О:а 6 ~ ~4, 0(6,(4), получим ь' у" (*4) — у(,.)у(,)+ — „(уг >( 4+О,Ь)+у< >(,— О,й)) = = ~ (ха), (6.98) откуда следует, что порядок аппроксимации схемы (6.94) равен 2. числвнныв мктоды [Гл.
е 174 Рассмотркм вопрос об устойчивости разностной схемы (6.94) по относпению к возмущениям граничных условий и правой части уравнения. Возмущенная задача имеет вид <лг <л>- <юус+> 2 [>с+ у<-> <л> <лг а' — Чс Ус <л> Уе <лг Ул <">)с+ б[">(с о е» Ел у= (6.99) Обозначив ошибку решения б [му [л>у [л>у и вычитая (6.99) из (6.94), получим в силу линейности йз [л> )б <л> 6 см [ б [и [ ьеб [л>л (6ЛОО) (6:101) 6' ус=ась б' у< еь Выберем то значение >'= й 0= 1, ..., п — 1), при котором абсолютная величина ошибки наибольшая: (6'л'у ! ~ В'л'у.! ([=1, ..., п — 1).
(6Л02) Из уравнения (6.101) имеем (2+ й~ ' с~>дл) ! б с~>ул! ~ (б с~>у ! .(- ! б < >у ! + йз(б с~>Д (6 103) Неравенство (6.103) только усилится, если заменить !б"'у,+с! и !б'л'Ул с! на максимальное значение В'"'Ул!, а Цб[~>)л! на максимальное значение 16 [">)[!. Тогда (6.103) дает лз .
<л> !б <л> ! .- лз[[б [л>~1 (6.104) Отсюда получим ц б <л>) ц [о. Й а так как В'л'ул! ( шах(!ес(, (ес!) (й= О, и), то окончательно Цз["')Ц Цб<">у)~шах$ ., Це»$, Це>! (СЦб<л>[7Ц„(6.105) ! [е.с> что н доказывает устойчивость схемы (6.94) по граничным условиям и правой части уравнения. Установлепные свойства аппроксимации и устойчивости схемы (6.94) позволяют на основании, теоремы ОЛ утверждать справедливость следующей теоремы. Теорема 6.3[ Если функции д(к) ~ 0 и )(х) дважды непреръгвно дифференцируемы на отрезке (О, Й, то семейство [л>у решений ктлввыв злдлчи разностной схемы (6.94) сходится при >»- 0 к точному решени»о задачи (6.89), (6.90), причем порядок сходимости равен 2.
Остановимся теперь на вопросах реализации схемы (6.94). В отличие от рассмотренных выше разностных схем решения начальной задачи (схемы Эйлера, Рунге — Кутта), данная схема не дает явного алгоритма последовательного вычисления значения сеточной функции в узлах сетки, а представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, в которую входят неизвестные значения сеточной функции во всех узлах сетки.
Поэтому для численного решения задачи (6.94) можно воспользоваться общими методами решения линейных алгебраических систем. Однако в случае достаточно болыпого порядка и эти методы оказываются весьма трудоемкими. Естественно воспользоваться специальными свойствами матрицы полученной алгебраической системы. В данном случае матр»ща система трехдиагональная— лишь па главной диагонали н двух побочных диагоналях элементы матрицы отличны от яуля. Это позволяет предложить для решения системы (6.94) весьма эффективный специальный метод, к изложению которого мы и перейдем. 3.
Метод алгебраической прогонки решении линейных алгебраических систем с трехднагональной матрицей. Мы рассмотрим этот метод для следующей системы, являющейся некоторым обобщением схемы (6.94): А»у»» — С»у»+В,у,„,=р» В=1, ..., и — 1), (6.106) ус=ау»+р» у =(у -»+б. (6.107) Пусть коэффициенты, входящие в уравнения (6.106) и граничные соотношения (6ЛО7), удовлетворяют условиям Аь Вь С,)0; С»)А+Вб 0<а<1; О<у<1.
(6.108) Очевидно, в рассмотренном выше случае схемы (6.94) условия (6.108) выполнены. Так же, как и в случае схемы (6.94), нетрудно показать, что при выполнейин условий (6Л08) задача разрешима н притом единственным образом. Будем искать такие коэффициенты а», 6», чтобы длн всех значений индекса 1= 1, 2, ..., и имело место соотношение у» — =ау+1». (6.109) Подставив нскомын вид решения (6Л09) в уравнения (6Л06), получим (А»а» — С»)у»+ В;у»ь»+ (А»р»+ Г») =О. (6.110) Выражая у» через у,+» по формуле (6Л09), перепишем (6.110) в ваде НА»ов — С»)а,+, +В)у, »+ ПА໠— С»)р; >+А»()»+Р»! =О. (6111) !гл. а численные метОды 176 Для того чтобы (6ЛИ) удовлетворялось тождественно при 1 1.
2, ..., и — 1, достаточно потребовать, чтобы каждая иэ квадратны скобок обращалась в нуль при 1= 1, 2, ..., и — 1. Это требование дает рекуррентные соотношения для последовательного определения по заданным вначенинм а=а~ и р=р1 «прогоночных» коэффициентов со+1 и ()ы1 («примак прогонка»): В~ А,.р +г «+х С. — А.а." с1+х С вЂ” А а. $ $ 3 1 3 Легко показать, что при выполнении условий (6.108) знаменатели в формулах (6.И2) отличны от нуля и, более того, О<сц~1. Действительно, перепишем второе условие (6ЛО8) в виде С,=А,+)),+Пь В,~О.
(6.ИЗ) Тогда первую формулу (6.И2) можно эаписать в виде а. В '+г В«+ А (х — а,.)+Р ' (6. И4) Так как 0 а~ ( 1, А, В,) 0 и Р, ~ О, отсюда следует, что и для всех аь вычисляемых по формуле (6.И4), вьшолняетсн условие О--. а1( 1.
Итак, все знаменатели в формуле (6.И2) строго больше нуля, что гюэволяет найти все прогоночные коэффициенты. Вычислив а„и р„вз (6Л09), получим р~-1 а р +~п (6.И5) С другой стороны, в силу граничного условия (6Л07) р„7р„1+6 7(а р +() )+б, (6.И6) откуда 7)) +б и — 1 (6. И7) Выше мы покаэалн, что 0 а с1. Поэтому в силу условия (6ЛО8) (0(7 с 1) знаменатель и этого выражения отличен от нуля. Тем самым р„определено.
Теперь по формуле (6Л09) можем последовательно вычислить все неизвестные р;-1 П = и, и — 1, ..., 1) («обратная прогонка»). Замечания. 1. В силу устало»ленного соотношения 0«а; ( «нн прн првмой, нн прн обратнон прогонке но происходит накопления ошибок вычисления. 2. Мы рассмотрели схему метода прогонки, в которой сначала определяются прог«нотные ко»ффвлксвты прн переносе левого граннчвого условия, а »атом восстанавлвваотсв решенно по формуле (б.109). Очевидно, аналогвчным обравом может быть рассмотрена схема, в которой прогоночньте ко»ф. фнпнонты онрсдоляютсн прогонкой справа колено правого граннчного условна, а решение восстанавливается прогонкой слева направо. ГЛАВЛ 7 АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЙ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРУ Необходимость развития прнблия~епньгх методов решения дифференциальных уравнений отмечалась выше.
Гл. 6 была посвящена так называемым численным методам решения дифференциальных уравнений, которые дают возможность для данного уравнения с конкретными дополнительными условиями получить с произвольной степенью точности таблицу значений решения в узлах сетки. В настоящей главе будет идти речь о другом классе приближенных методов, о так называемых асимптотических методах, которые ставят своей целью получение формулы, описывающей качественное поведение решения на некотором интервале изменения независимого переменного.
Точность такой формулы имеет естественное ограничение (подробнее об этом см. ниже). Заметим сразу же, что численные н асимптотнческие методы не исключают, а взаимно дополншот друг друга. й $. Регулярные возмущения $. Понятие асимптотического представлении. В $5 гл. 2 подробно исследовался вопрос о зависимости решения нвчвяьнсй задачи от входящих в уравнение параметров. В наствищем параграфе мы положим (с = О, чего всегда можно добитьсн ааменой независимого переменного, н ограничимся скалярным случаем (у — скаляр, р — скаляр), что не принципиально, а делается лишь в целях краткости изложения, Итак, рассмотрим начальную задачу (7.1) Прн этом будем считать, что р изменяется в некоторой окрестности значения р = О, чего тоже можно добиться соответствующим выбором начала отсчета по оси р. 12 л.
н. тихонов в ас. 178 Асиьп1тотикА Рюкении по мАлому пАРАметРу 1гл. т В гл. 2 (теорема 2.7) было докавано, что при соответствующих условиях на правую часть (7 1) решение у(1, р) задачи (7 1) существует и является непрерывной функцией 1 и (1 на множестве 1ы(0, Т), !)1! Сс. Доказанная теорема заключает в себе следующу1о возможность , построения приближенного решения задачи (7.1). Рассмотрим задачу, которая получается из (7.1), если в ней формально поло7кить р = О: '" = 1(у, 1, О), у (О) = у . (7.2) Задача (7.2), вообще говоря, проще исходной задачи (7,1), и ее решение, которое обозначим у(1), исследовать проще, а возможно, даже удастся эффективно построить. Из теоремы 2.8 следует, что на некотором сегменте (О, Т) у(1, (1) =у(1)+ з(1, 11), .(7.3) где е(1, (1) =. О при (1- О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
