Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Ошибкой решения схемы (6.46) по-прежнему назовем выражение б 'л'у = = и'у — 'л'у. Величина б'л'<р, как и <л»<р» оценивается в норме 16 <л<,з))< = и<эх(16 <л'<1 16 <л<у)<з). (6.48) Определение. Схема (6.16) называется устойчивой по начальным условиям и правой части уров н ения (или просто устойчиво й), если существует такая постоянная Ьс, что при Ь ( Ьс для нормы о<иибки решения выполняется неравенство )а <юу1 С С16 <л< !), (6.46) где постоянная С не зависит от Ь. Данное определение, очевидно, означает непрерывную зависимость решения разностной схемы (6.16) от входных данных задачи — начальных условий и правой части уравнеш<я: малое изменение входных данных приводит к малому изменению решения, Легко убедиться, что схема (6.31) при а) 1/2 устойчива по начальным данным.
Устойчивость по начальным данным можно проверить положив равной нулю б <"'( — компоненту в выражении для б'л'<р (так и было в нашем примере). Действительно, как было показано выше, бу( равномерно ограяичеио. Что касается (л< бу(л)„то, как видно из (6.41), при о ) 1/2 имеет место неравенство Решкние нАКАльнОЙ злдлчн 1)<л1«Ф и поэтому бу< тоже будет равномерно ограниченным и (Я) даже бесконечно малым с уменьшением )<. Поэтому из (6.44), (6.45) и (6.46) следует , «6 <л> (6.5О) где е=шахцео!, )е!!)Ф (6.5() что и доказывает высказанное утверждение, Перейдем теперь к доказательству устойчивости схемы Эйлера (6.22).
Соответствующая возмущенная задача имеет вид <лг жг У< З< — ) г ( (Л> — ~ л<Л)г (6.52) Ьл(л)у = А (л) ул = ул + Ел- Будем предполагать, что решение '"'у этой задачи принадлежит области П, в которой выполнены неравенства (6.4), Для ошибки решения бачу разностной задачи (6.53), очевидно, получим 6 (л)у б(л) б(л) з«- / <л) л < до (>о ) ~я< — и у<-)) + ) (х<-и )у<-г)= 6 Л-ж 6(л)у, =е,. Здесь ( 6.53) (6.54) Из (6.53) в силу оценок (6.4) получим 16 Ф>у<1 л 16 <л>у <! + ЬК16 <му< 11 + Ыб <л>)!1 = = (4+ йй) 16 <">у,,)+ й))6 <">7() ~...
((4 ) <>й)Р16<л>у ! ) (( ! яй;)о((6<л>)() ) я!)6<л>)!1 (655) Применяя этот процесс последовательных оценок, после <-го шага найдем 16(")У<1«(4+ ЬК)'1, !+ Ь 1(Ф+ йК)< '+ ... + (1~!6<л>У1« «((+ ЬК)<16(")у1, ++((+ йК)*'~6<">У1. (6.56) В силу (6.48) и определения чебышевской нормы отсюда получим 16(")4«((+)<К)"(~6(")у~,+ — '.
!!6(")У~). (6.5У) И* чнолкннык мктоды <гл. е Так как Х вЂ” хв=пЬ, то в силу неравенства (1+ Ьй)<~ "')<л ." ~~ е окончательно будем иметь к <к-з~) Пб<~)УИ~~ек<х )(Дб<~)ун + ~ Пб<~)УИ) < Снб< ) И (6.58) прн любом Ь, что и доказывает устойчивость разностной схемы (6.53). Введенные выше понятия порядка аппроксимапии и устойчивости разностной схемы позволяют доказать следующую теорему, играющую фундаментальную роль при исследовании сходимости раеностных схем. Теорема 6.1.Если разностная схема (6Л6) устойчива и аппраксимирует задачу (6Л4) с порядком Ь, то решения оэу при Ь - О сходятся к реи<ению у(х) дифференциальной задачи, причем имеет место оценка <ул'У вЂ” (У)л)! «СЬ", (6.59) зде постоянная С не зависит от Ь.
Доказательство. Обозначим разность значений сеточных фУнкций 'мУ и (У)л чеРез б 'л'У: б <л) <л) (6.60) В силу определения порядка аппроксимации Ыу)л = "~у+ 6 ~>ц, (6.60 причем «б <л)<р!)) «С)Ь'. Из устойчивости разностной схемы (6Л6) в силу (6.49) получим ))б <л<У)) «С<)б <л<<р<) «СС<йл (6.62) Сохранив для произведения постоянных СС) обозначение С, мы получим соотношение (6.59). Теорема доказана.
Выше было показано, что схема Эйлера устойчива и аппраксимирует задачу (6Л) с первым порядком. Иэ доказанной теоремы следует, что семейство решений "'у, полученных по схеме Эйлера при Ь- О, сходится к точному решению зада ш (6Л) также с первым порядком. Этот факт был установлен в п. 1 с помощью прямых оценок.
3. Метод Рунге — Кутта. Как мы уже отмечали, схема Эйлера имеет лишь первый порядок сходимости, и для получения высокой точности по этой схеме приходится вести вычисления с очень мелким шагом, что привод)гг к значительному росту ввемени счета. Поэтому естественно искать схемы, обладающие более высокими порядками сходимости. Одним иэ классов таких схем являются схемы метода Рунге — Кутта. В основе этого метода лежат следующие соображения. Рассмотрим тождество гишкпик н<дчальнои з<(дачи у'(х) =)(х, у(х)). Сопдаспо формуле Лагранжа о конечных приращениях ка отрезке (х<-д, х») существует такая точка х*, что у(х<) — у(х» д) = (х» — х» д)у'(х*) = Ц(х*, у(х<')).
(6.63) Однако значение х~ нам ле известно. В схеме Эйлера положено х* = х<-д, что и дает всего лишь первый порядок точности. Основная идея метода Рунге — Кутта заключается во введении в разностную схему ряда дополнительных параметров, уточняющих приближевпое определение значения хз. Будем по-прежпему.
рассматривать начальную задачу (6.1)д — ", =Их, у), у(*;) =у.. (6 1) Условия гладкости функции 1(х, у) будут сформулированы ниже. Сопоставим задаче (6.1) разпостиую схему (ю„(ю„ Х = — (66) (ю д "д где К,=Кх, »,'"'у, д), Кд д(х — д + а»Ь (д)у — » + с(»ЬК») (6.65) К» д(х< (+а, »Ь< 'му, »+а, »ЬК, (), а рд, ..., р», ад, ..., а<» — некоторые параметры, выбором которых можно обеспечить требуемый порядок аппроксимации схемы (6,64) иа решевии задачи (6.1). В частном случае при 1 1, р=1 схема (6.64) переходит в схему Эйлера (6.22), ддмеющую первый порядок аппроксимации.
Покажем, что при 1=2 моншо так выбрать параметры рд, рд и а», что схема (6.64) будет иметь второй порядок аппроксимации. При атом будем предполагать, что функция ((х, у) имеет в О непрерывные частные производные до второго порядка по обоим аргументам, что достаточно для существования непрерывной третьей производной от решения.
Тогда, подставляя решение задачи (6.1) в схему (6.64) при 1= 2 и разлагая решение в строку Тейлора, получим ьд р .У (х;) — У (х, д) = ЬУ' (хд д) + —, У" (хд,) + б У (х~) = =Ь(рД(хд д, у(хд д)) + + рд( (х( д+ а»Ь, у (хд-д) + а»Ь( (хд д, у(х;,)))). (6.66) численные методы >гл з Воспользовавшись разложением ) (х« ~+ а>Ь, у(х«>) +а«Ь~(х«и у(х«>))) = 7(х«м У(х«>))+ 1Ь а (')+а Ь7( ) ду (*)+О(Ь ) (6.67) и очевидным соотношением у" ( —.) =т(-)+ — ( ) у'(; —.) = — ( ° )+1( ) — (.), (666) перепишем (6.66) в виде у'(х; >) — (р, + рз) ~(х«п у(х«,))+ + Ьу (х«->) ( 2 — а,р.,) = 0 (Ьз).
(6.69) Отсюда следует, что при рг + рз ' а'р' г (6.70) схема (6.64) при с = 2 имеет второй порядок аппроксимации. Прн атом а> может быть выбрано произвольно. Наиболее широко применяются схемы (6.64) с сс« =1 и а>=1/2, Заметим, что путем выбора сс«повысить порядок аппроксимации схемы (6.64) прп 7 = 2 нельзя. При а>=1 из (6.70) получим р«=рз=1/2 и схема (6.64) принимает внд «л>„«ь >„ — — (7(х« „«юу«,) + +У(х >+Ь, «>У, >+Ь7(х«м «ь>У«г))) = О. (6 717 Геометрическая интерпретация этой формулы ясна из рис.
19. Сначала по методу Эйлера находим точку у«='"'у«,+Ь|(х, ь '"'у« >), затем находим среднее значение угла наклона касау у «х>> телыюй к интегральным кривым «ю ° « нашагеЬ:«йа= ~ ( У«->+У«) > у! " и по нему уточнлем значение «с~ '"'у,. Аналогичные рассмотрения « легко провести и для случая а = $/2. Подобные схемы обычно >У-/ х; носят название «предиктор-корректора. Мы рассмотрели схемы со вторым порядком акпроксимации. Аналогичные рассмотрения могут быть проведены и для схем более высокого порядка П > 2).
При этом приходится нала- РЕШЕНИЕ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ <67 гать иа функцию >(х, у) все более высокие требования гладкости. Наиболее широкие практические применения находят схемы четвертого порядка. В большинстве библиотек стандартных программ для ЭВМ используется следующая схема: <л>„ <л>„ 7. (>> ) с (К~+2К~+2К~+К ) (л) «ю О, (6 72) «о где Кг = ) (х<< м (й)у(-<), К. =-)(х-.
+ —,, < >у< —, + —,К.).. й й й яг= 7((х<-1+ 2 1 у<-<+ 2 ч) Кй = )(х< — >+)<, (")у< — + йКЕ). (6.76) <л) (й) "<-> г (й) — ~(е< м «< г) (Ы е (6. 74) (й)у где функция <7(х, у) представляет собой линейную комбинацию функций )(х, у) от промежуточных значений аргумента. Поэтому оценки для функции С(х, у) н ее производных лед<о выразить через соответствующие оценки функции 7(х, у) и ее производных, используемые при доказательстве устойчивости метода Эйлера, откуда н следует сделанное утверждение. В частности, имеет ь<есто следующая Теорема 6.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
