Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 28
Текст из файла (страница 28)
«) См. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнении.— Ъсл Паука„1965. Эта система обладает тривиальным решением хс = О, лт = О. С кннематической точки зрения это состояние покоя, поатому отвечающая этому решению точка (О, О) фаэовой плоскости называется точкой покоя. Заметим, что фааовую траекторпю системы (5.39) можно рассматривать как интегральную кривую уравнения тРАИИТОРии В ОкРвспюсти точки пОкОя Как будет показано, расположение траекторий в окрестности гочки (О, 0) определяется, как и свойство ее устойчивости или неустойчивости, характеристическими числами матрицы А.
Рассмотрим разные случаи. а) Пусть характеристические числа 31 и Хе действительны, различны и одного знака. Положпм для определенности ).1(0, 32(0 и Х) )).2. В атом случае решение системы (5.39) имеет вид (см. $ 7 гл. 3) х=- С ссе " -'- С. аеь' ССЕ 1 2 (5.41) /И)а '~ где а == ~<О ~ — некоторые постоянные столбцы — собствени) а1 1, а ) ные векторы матрицы А, отвечающие собственным значениям Х; 0=1, 2). Точка (О, 0) является согласно теореме 5Л асимптотическв устойчивой, и х- 0 при 1- .
Исследуем характер прибляжеш)я более подробно. Имеем с)е С Х '" а е ' )- С Х 12)а еж) 2 '1'1 С Х )1)а е)'1+ С Х ~2)а 22*1 1 2 2 1 Отсюда видно, что если С)»ь О, то с)е <1)а 1)ш — '. =,— 2 2 ее 1 ! 1) 1 т. е. все интегральные траектории„кроме одной, отвечающей С)=0, входят в (О, О) с общей касательной, уравнение которой ~ 1)а х, = — 'х, (обозначим ее 1).
Заметим, что прямая 1 сама яв- 11)а ляется одной из траекторий, а именно той, которая отвечает Се=0. Траектория, отвечающая С) =О, также является прямой 12] „ и имеет уравнение х, = =х) (обозначим ее П). Прямые 1 и П <2)а 1 не совпадают, поскольку в силу линейной независимости векторов 'Оа имеем 'Оа) '2'ат — '2'а) '"сстФО. Расположение прямых 1 н П и прочих траекторий схематически представлено на рис. 13. Стрелкамп обозначено направление возрастания й Если Х) ) О, 32 ~ 0 ()1 ( 32), то характер расположения траекторий полностью сохраняется (можно устремить 1 к — и провести рассуждения, аналогичные проведенным выше для 1 — » ).
Если стрелками по-прежнему указывать направление возрастания $, то направления стрелок теперь изменятся на про- 10» теогия истончивостн 1гл. Е тивоположные по сравнрнию с рис. 13. Точка (О, 0) в(этом случае неустойчива в). Точка покоя, отвечающая случаю действительных характеристических чисел Хс, )а, не равных друг другу, но имеющих одинаковый знак, называется узлом. Узел является асимпготически устойчив м при ).с (О, Хв(О и неустойчивым при Хс О, Хз > О. б) Пусть )сс~О, )г(0. Точка покоя в этом случае неустойчива. Представление (5.41) сохраняется.
Из (5.41) видно, что Рнс. 13. Рнс. 14. через (О, 0) проходит две траектории: одна из них (обозначим ее 1) отвечает Сг = 0 и имеет уравнение хт = 'опвхс/'ссстс, а другая (обозначим ее П) отвечает Сс=О и имеет уравнение хг = св'птхсРисс~ Но на этом сходство с узлом кончается. Вдоль траектории П х — 0 при 1 в , а вдоль траектории 1 х — 0 при 1 в — ч п стрелки, указывающие направление возрастания 1, направлены от точки (О, О). Нетрудно видеть, что прямая 1 является асимптотой при 1 - для всех траекторий, кроме 11, так как 11) Нсп — '= — '. Прямая 11 играет аналогичную роль при 1- а сы Расположение траекторий схематически представлено на рис.
14 Точка покоя, отвечающая случаю действительных характеристических чисел противополоисного знака, называется седлом. Седло является неустойчивой точкой покоя. Траектории 1 и П, проходящие через седло, называются сепаратрисами. *) Иногда говорят, по точка устойчива прн 1-+.— ~ю. Определенве устойчивости прн т- — сч можно дать совершенно аналогично определвнню устойчивости прн Г сч, которое было дано в 1 1 данной глав.'ы, и свормулировать теоремы, аналогичные теоремам Ц 2 н 3.
твлвктогидд в окввстности точки покоя д49 в) Пусть характеристические числа матрицы А — комплексные. В силу действительности А они будут комплексно соприженнымн, т. е. )»д = Хг =. Х. Соответствующие компоненты собственных векторов»»»сд будут также комплексно сопряженными, а так как мы рассматриваем действительные решения, то и произвольные постоянные должны быть комплексно сопряженными. Таким образом, хд = Саде ~+ Сеаде", х, = Са,ем+ С*ддге~ г. (5.42) Подставляя сюда Х = р+ д»), можно преобразовать эти выражения к виду х» = е"»(2а сов ф — 2))»йп дт), хг = ем(22 сов д» вЂ” 26 зш(»д)» (5.43) где и = Пе(Са»), р = дш(Са»), Т = Ве(Саг), 6 =дш(Саг); Отсюда имеем рг = хд + хг г= — ег"'((2сд соз д( — 2р и~ ф)г + (2у сов ф — 26 з(п ф)г).
Если р=О (характеристические числа — чисто мнимые), то х», хг в р являются периодическими функциями д периода 2я/д. Это значит, что каждому С на фазовой плоскости отвечает некоторая замкнутая кривая. Зги кривые не пересекадотся, так как всюду, кроме точки (О, 0), для (5.40) справедлива теорема единственности (рис.
(5). Более детальное исследование показывает, что аамкнутые кривые, о которых идет речь, являются зллипсами. В самом деле, определитель 26 ~ чьа„ в противном случае существовало бы решение вида хд = ах (а вещественное). Подставляя сюда х» и хг из (5.42), получим в силу линейной независимости е" и е"*'соотношение а» ааг, откуда (ад» вЂ” Х)а = — ам, что возможно лишь при вещественных Х.
Таким образом, (5.43) можно разрешить относительно соз д~ п инда и, приравнивая сумму их квадратов единице, получить (Ьпх + Ьмхг)'+ (6мх» + бггхг)' = 1- Если же р ~0, то при изменении Ф на величину периода р уже не возвращается к прежнему значениц», а уменьшается или увеличивается в соответствии с р С О или р ) О. твовия устоггчивости На фазовой плоскости получаются уже не замкнутые, а спиралевидные кривые. Если р ( О, то р 0 при 1- ю, спираль сходится в точку (О, 0), которая являл ется асимптотнчески устойчивой (рис. 16).
Если же р) О. то аналогичная картина имеет место при 1 —, а с возрастанием 1 спираль расходится из точки (О, 0). Точка покоя, отвечающая комплексно х, сопряженным характеристическим числам с отличной от нуля действительной частью р, называется фокусом. Ири р ~ 0 фокус асимнтотически устойчив, а при р 0 неустойчив. Вис.
16. Точка покоя, отвечающая чисто мни- мым характеристическим числам, пазывается центром. Центр является устойчивой но не асимнтотически устой сивой точкой покоя (см, 9 1). Мы не будем останавливаться на случае кратных характеристических чисел е), а также на случае, когда имеется характеристическое число, равное нулю. Замечания. 1.
Точка (О, 0) была наавана вьппе точкой покоя для линейной системы (5.39). Дадим общее определение точки покоя, из которого будет ясно, что точка покоя не обязательно является началом координат, а для нелинейной системы точек покоя может быть несколько. Рассмотрим нелинейную автономную систему (519) при и= 2. Пусть х,=х, (1= 1, 2) удовлетворяют системе уравнений ~,(хь хт) =О. Тогда, очевидно, те же х;=х; удовлетворяют дифференциальной системе (5.19), поскольку х~ не зависят от й Зто решение описывает состояние покоя и на фазовой плоскости изображается точкой. Точки фазовой плоскости, отвеча|ощпе решениям вида х~ =х~= сопвФ, называются точками покоя.
Соответствующей заменой переменных каждую точку покоя можно перевести в начало координат. Тогда, если ~; представима в виде (5.20), то система первого приближения (5.22) совпадает с (5.39). Согласно теореме 5.1 в случае Вех чь 0 устойчпеость или веустойчввость точки (О, 0) системы (5Л9) обеспечиваетси теми же самыми требованиями иа Х, которые обеспечивают устойчивость или иеустойчивость точки (О, 0) дли системы первого приближепия (5.22), т. е. члены и>Д~ ие влияют иа устойчивость или иеустойчивость точки (О, О). Что касается располо- ч) См., иапример, Степанов В. В.
Курс дифферевпиальвых ураепе иий.— Мс Гостехиздат, 1953. ТРАВКТОРИИ В ОКРКСТПОСТИ ТОЧКИ ПОКОЯ 151 в>евня тра«к>орий, то точное исследование «) показывает, что пря наличии узла, седла клн фокуса у системы (5.22) (во всех этих случаях Веь чь 0) качеств«иный характер расположения траекторий системы (5Л9) в достаточно малой окрестности точки (О, О) будет тем же самым.
Если же в точке (О, 0) смстемй (5.22) имеет центр, то без ленелкктелькего исследования членов <'> Н> о характере распело;кевин траекторий системы (5Л9) ничего сказать нельзя. 2. Исследование расположения траекторий в окрестности точек покоя дает некоторую информацию относительно расположения фазовых траекторвй на всей плоскости, но, конечно, полного решения втой сложной глобальной задачи не дает. Для изучения картины на фазовой плоскости, или, как иногда говорят, фазового порт-- рета системы (5ЛВ), важно исследовать не только точки покоя. Нередко встречаются замкнутые траектории (замкнутая траектория означает периодическое движение), обладаю>цие тем свойством, что в окрестности таких траекторий нет других замкнутых траекторий, а все траектории как бы «наматываются» на зту единственную замкнутую траекторию, которая получила название предельного цикла, или, наоборот, «сматываются» с нее.
Предельные циклы, таким обра-' зом могут быть устойчивыми и неустойчивыми (на рис, 17 изображен устойчивый предельный цикл). Исследование предельных циклов важно также с точки зрения существования устойчивых периодических режимов в физических системах, Пример. Система 1 (5.44) вмеет точку покоя э> = О, а> = 0 и предельный цвкл г«+»« = — а~.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
