Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е пли Соотношение (4.76) является однородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода. Из наших рассуждений следует, что любое нетривиальное решение краевой аадачи (4.73), (4.74) удовлетворяет и интегральному уравнению (4.76). С другой стороны, непосредственной проверкой, так же как и при доказательстве теоремы 4.(, легко убедиться в-том, что любое нетривиальное решение уравнения (4.76) является и решением краевой задачи (4.73), (4.74). Тем самым установлена полная зквивалентность исходной краевой задачи Штурма — Диувилля и интегрального уравнения (4.76). Те значения параметра Л, прп которых существуют нетривиальные решения уравнения (4.76), по-прежнему будем называть собственными значениями, а соответствующие им решения — собственными функциями уравнения (4.76).
Из установленной зквивалентности следует, что краевая задача (4.73), (4.74) и интегральное уравнение (4.76) имеют однв и те же собственные вначения и собственные функции. Для дальнейшего нам потребуется ряд свойств однородных интегральных уравнений Фредгольма второго рода с действительным сив!метричным ядром и (х) + Л ~ К (х, $) и (е) ой =- О, (4.77) е К(х, Ц) =К($, х), (4.78) поторые мы перечислим без докааательства а).
Если ядро К(х, $) непрерывко и ограничено в квадрате (О < х ~ е, 0~4~0, то е) Подробные донааателъства си,, например, в книге: Смирно в В. И. Нурс высшей математики, т. 4, ч. й — Мд Наука, 1974. КРАВВЫВ ЗАДАЧИ 1. Существуют хотя бы одно собственное аначение Л> уравнения (4,77) и соответствующая ему собственная функция и>(х) х). 2.
Каждому собственному значению соответствует лишь конечное число линейно независимых собственных функций. Число линейно независимых собственных функций, соответствующих данному собственному значению, называется его кратностью (или рангом). Все собственные значения уравнения (4.77) можно занумеровать в порядке возрастания их абсолютных величин: )Л>! ( )Лт( ~ ... (4.79) При этом мы считаем, что в последовательности (4.79) одинаковые собственные значения повторяются столько раз, какова и:с кратность.
3. Если число собственных значений уравнения (4.77) коиеч— ное, то ядро К(х, $) называется вырожденным, в случае бесконечного числа собственных значений — невырожленным. 4. Для вырожденного ядра имеет место следующее представ- ленив через собственные функции: о ~ч~~~ и (х) я >э) (4.80) я>=> 5. Весьма существенной является так называемая теорема Гильберта — Шмидта= Если для заданной функции )(х) найдется такая непрерывная на (0, П функция Ь(х), что =1К(, (4.81~ то функция )(х) может быть разложена в абсолктно и равномерно сходящийся на (О, () ряд ло собственным функциям ядра К(х, $) 7(х) = ~ ~„,и (х). (4.82р Если имеет место (4.81), то говорят, что функция )(х) истокообразно представила через ядро К(х, $). Применим теперь данные свойства интегрального уравнения (4.77) для изучения краевой задачи (4.73), (4.74), которая, как мы установили, эквивалентна интегральному уравнению (4.76) Выше было покааано, что функция Грина 6(х, ф) является симметричной функцией своих аргументов, поэтому ядро С(х, Ц)р(Э) интегрального уравнения (4.76), вообще говоря, несимметрично.
Однако его легко свести к уравнению с симметричным ядром.. х) Употребляется также яь>ражеяяе есобствеввые аяачовяя в собствоввмо фувяцяя ядра я(х, $)е. $2Ь зАдАчи нь совстввкнык значения в г) 'Умножив (4.76) на Ур(х) и обозначив и(х) - Ур(х)и(х), получим интегральное уравнение и (х) + ), ) К (х, Ц о (с) а$ = 0 (4.83т г с симметричным ядром К(х, $) = 6(х, Ц)Ур(х)Ур($).
(4.84) Очевидно, краевая задача (4.73), (4.74) и интегральное уравнение (4.83) имеют общие собственные значения. Покажем, что ядро К(х, $) уравнения (4.83) является не- вырожденным. Действительно, если предполонгитгч что ядро К(х, $) вырожденное, то тогда должно иметь место представление функции Грина краевой задачи (4.73), (4.74) в виде конечной билинейной комбинации собственных функций и (х) уравнения (4.83). Иа представления (4.83) на основании иавестиых свойств интегралов, зависящих от параметра, следует, что собственные функции и„(х) непрерывно дифференцируемы на (О, Й. Их конечная комбинации также будет непрерывно дифференцируемой на (О, )), что противоречит условию (4.32) скачка проиаводной функции Грина при х $.
Отсюда следуют важнейпше свойства собственных значений краевой задачи (4.73), (4.74): (. Существуют бесконечное (счетное) множество собственных значений (4.86) краевой задачи (4.73), (4.74) и соответствующая им бвсконвчнан последовательность (у„(хН собственных функций 2. Каждое собственное значение имеет ранг, равный единице Действительно, предположим, что имеются две линейно независимые собственные функции у|(х) и уг(х) (более двух не мои'ет быть, так как порядок уравнения равен двум). Иа (4.74) следует а,у; (О) + р уг (О) = 0 (Е = (, 2).
Отсюда й(у1(0), уг(0))=0„ и, следовательно, у~(х), уз(х) линейно зависимы. Замечание. В случае более сложных краевых условий ранг собственного значения может быть равен двум (но не более двух, так как порядок уравнения равен двум).
Собственные аначения ранга 2 будут иметь место, в частности, при.периодических граничных условиях. В качестве примера рассмотрим 426 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ краевую задачу у" + Лу = О, у(0) = у(2я), у'(0) = у'(2я). (4.87) Как легко видеть, собственные значения Л„= пг этой задачи имеют ранг, равный двум. Каждому Л„соответствуют две линейно независимые собственные функции '"у„(х) =зших и соу (х) = = соз пх. д.
Теорема Стеклова. Если функция )(х) дважды непрерывно диффгргнцируема на (О, )) и удовлетворяет однородным граничным условиям (4.74), то она разлагается в абсолютно и равномерно сходни(ийся на (О, )) ряд по собственным функциям (у (х)) задачи (4.73), (4.74). Так как существует вторая производная функции )(х), то, применяя к этой функции дифференциальный оператор И.!, получим Щ(х)) й(х), (4.88) где й(х) — непрерывная функция.
Согласно предыдущему регпе.ние задачи (4.88), (4.74) представимо в виде $ т(х) = ) 6(х, э) Ь($) дв, (4.89) о что означает истокообразную представимость функции )(х). Отсюда на основании теоремы Гнльберта — Шмидта и следует сделанное утверждение. Итак, 1(х) = Х 1 у (х), (4.90) я — гт причем ряд сходится к )(х) абсолютно и равномерно на [О, )). 4. Собствгнныг функции у„(х) образуют на (О, И ортогональную с весом р(х) систему (у (х)): ) у„(х) у,„(х) р(х)дх= О, п~т. (4.91) г Так кзк каждому собственному значению соответствует не более двух собственных функций, то их легко ортогоналнзировать между собой. Остается рассмотреть случай, когда собственные функции у (х) и у (х) соответствуют различным собственным значениям Л„ть Л„.
Записав для этих собственных функций уравнения Хду„) + Л„р(х)у„= О, (4.73) Иу„,) + Л.р(х)у. = 0 зАНАчи нА совственные знАчення и применив формулу Грина, получим ~ (у„(х) Х, [у [ — у (х) Л [у„)) нх = ) 1(х) у,„ (х) р (х) Их о Ь= ) и'„!х) р(х) хх з (4.93) Выражение, стоящее в знаменателе, называется квадратом нормы собственной функции [У [х =-Фх= ~У (Х)Р(Х)1(Х. (4.94). о Так как собственные функции определены с точностью до мно- жителя, то во многие случаях ил нормируют тый чтобы Й = 1 В этом случае система (у (х)) является ортонормировапной, Замечание. Если функция 7(х) непрерывна на 10, 1), то ряд ~ 7'„У„(х)„ коэффициенты которого определены по формулам (4.93), сходится на [О, 1) в среднем к функции ~(х): х и 11ш ~ ~ ~ (х) —, ~ )' у (х) 1 1)х = О.
о и=1 (4.95) — (Մ— Х„) ~ у„(х) у (х) р (х) Ихо = (р(х) (у„(х) у (х) — у (х) у„(х))» ~, = О. (4.92): Подстановка, очевидно, обращается в нуль, так как обе собственные функции и у„(х) и у (х) удовлетворяют однородным граничным условиям (4.74). Так как Х„т-Х„, то отсюда и следует наше утверждение. Свойство ортогональности собственныл функций позволяет легко определить коэффициенты разложения г в формуле (4.90).. Действительно, умножая обе часхи формулы (4.90) на у (х)р(х) и интегрируя результат по [О, Й (почленное интегрирование ряда возможно в силу его равномерной сходимости), на основанпн (4.91) получим ~гл.
а кглвяые алдан Это утверждение следует нз возможности аппроксимировать в среднем непрерывную на (О, 1) функцию 7Ы функцией 7(х), удовлетворяющей условиям теоремы Стеклова. 5. В случае граничных условий первого рода у(0) - у(1) =О и при выполнении условия дЫ~О все собственные значения краевой задачи (4.73), (4.74) пололгительныг Х„- О. выложим уравнение для собственной функции у Ы: — ) р(х) — "~ — д(х) уе(х) + Х„р(х) у„(х) = О, (4.73) дв 1 на функцию у„(х) и проинтегрируем результат по 10, Л.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
