Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 21
Текст из файла (страница 21)
а г() (4.21) Если у~(х) чьО на (О, (), то, поделив (4.21) на угЫ, получим что позволяет записать общее решение (4.21) в виде х у (х) = Сгуг (х) + Су '(х) ( ; Уа)У1а (4,23) Типичной задачей на собственные значения для линейного дифференциального уравнения второго порядка является задача определения значений параметра Л, при которых существуют нетривиальные на (О, )) решения однородной краевой задачи г,(у) + Лр(х)у(х) = О, а~у'(0) + ()~у(0) = О, агу'()) + Югу()) = О.
(4.24Л Здесь дифференциальный оператор г.(у) имеет вид Х, [у) — — „~р (х) — 1 — о (х) у„ (4.25) р(х) — заданная функция, непрерывная на (О, г), а аь ~~ П =,1, 2) — заданные постоянные, часть из которых может быть равна нулю. К задаче на собственные аначения (4.24) сводятся, в частности, задачи определения собственных колебаний материальных систем с распределенными характеристиками — поперечные ко- откуда следует, что определитель Вронского этих решений имеет вяд (4.20) % з! НЕОДНОРОЛНАЯ КРАЕВАЯ ЗЛЛАЧА лебания струны, продольные колобания упругого стержня, звуковые колебания в трубах, злектрические колебания в проводах и т.
д. Значения параметра Х, при которых задача (4.24) имеет нетривиальные решения, называются собственными значениями, а соответствующие им.решения — собственными у«уннцилми краевой задачи на собственные значения. 3 2. Неоднородная краевая задача Рассмотрим краевую задачу Иу) =((х), а«у'(О) + р«у(0) = О, азу'(Е) + рху(() = О.
(4.26) х<5 — е, $ — з(х(~+ зи х в5+ех «О, у(х) =)«,(х)х (о, ( .27) 8 А. И. тихонов и ир. Пусть функция р(х) 0 положительна и непрерывно дифференцируема на (О, Л, а действительйые функции д(х) и )(х) непрерывны на (О, в). Решением краевой задачи (4.26) будем называть непрерывно дифференцируемую на (О, )) функцию у(х) с непрерывной второй производной на (О, «), удовлетворяющую на (О, )) уравнению и граничным условиям (4.26).
В начале наших рассмотрений будем предполагать, что соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальные решения. Другими словами, мы предполагаем, что )в=О не является собственным знах«опием соответствующей задачи (4.24). Отметим сразу, что в силу линейности задачи (4.26) из этого предположения следует, что если решение данной задачи существует, то оно единственно.
Наша ближайшая цель заключается в доказательстве существования решения задачи (4.26) при сделанных предположениях о козффициентах и правой части уравнения. При этом доказательство существования решения будет одновременно содержать и алгоритм его конструктивного построения. Начнем с наводящих соображений. Предположим, что существует решение задачи (4.26) при специальном способе задания правой части уравнения, а именно при функции ~(х), отличной от нуля лишь в з-окрестности некоторой фиксированной точки х= $~(0, )): ш лнвыв злдлчи еел причем функция !',(х) ~О и е+е ~е(х) й.
= 1. (4.28) е — е Решение етой задачи будем обозначать функцией у.(х, ф). Интегрируя уравнение (4.26) с так заданной функцией ~(х) по отрезку Ц вЂ” е, $+ е), получим р (Е + е) у, ($ + е, $) — р ($ — е) у, ($ — з, $)— $-~- ° ф.!. е о (х) уе (хг $) е(х = !! ~е (х)е(х — 1 (4.29) . е-е а — е Рассмотрим теперь предельный процесс при е — О, предполагая,.
что (4.29) справедливо при любом е и, следовательно, $+е 11ш ~ ~е(х) Ых = 1. е- е е-е (4.30) Будем предполагать, что предельная функция. 1йпу,(х, $) = 6(х, 5) (4.31) е е существует и непрерывна на (О, Л. Тогда, совершая предельный а переход при з — О в (4.29), получим, что производная — „6(х, $) и точке к= $ должна иметь разрыв первого рода, причем разность правого и левого предельного значений втой производной в точке х $ определяется выражением — 6(х, В) ~~ — — 6(х, Р! = .
(4.32) а ! Н ! ~.-~+е а ~.=л-е (Ы. а й+е 1 — 6(х, $)( и ' !~-е р (4) (4.32') Функ!)ию, удовлетворяющую условили 1), 2), 3), навовел ебунке)ивй Грина, краевой .-адачи (4.26). Существенное значение функции Грина заключается, в частности, в том, Подводя итог проведенным рассмотрениям, мы можем утверждать, что если функция 6(х, е) существует, то она подчиняется следующим условиям: 1) как фунещия переменной х, 6(х, $) удовлетворяет однородному уравнению (4.26) при О<х<е и $<х< 1; 2) 6(х, 5) удовлетворяет граничным условиям (4;26); 3) 6(х, $) непрерывна на (О, Л, а ее первая производная имеет в точке х= $ разрыв первого рода с величиной скачка предельных значений, равной нкодногоднля келквля злдлчл', $2! что череа нее может быть зыралгено решение краезой задачи (4.26) с произвольной правой частью Дх).
Действительно, пусть существуют решение задачи (4.26) и функция Грина 6(х, з). Применяя формулу Грина (4Л8) к зтвм функциям на отрезках [О, $ — е) и (з+е, Л, где функции у(х) и 6(х, Ц непрерывно дифференцируемы и обладают вторымн непрерывными производными, получим ~р (х) ~6(х„$) — ' — у(х) Д ~ + (р (х)~6(х, $) „— ' — у(х) — „)~~ е-е 6 (х, $) ~ (х) Нх + ) 6 (х, $) У (х) Нх, (4. 33) о $+е Так как и у(х) и 6(х, з) удовлетворяют однородным граничным условиям (4.26), то подстановки прн х=О и х= ) обращаются в нуль. Переходя в (4.33) к пределу при е — О, в силу опредапения функции Грина получим у(И = 1'6(х, 5) 1(х) й., (4.34) о что и доказывает высказанное утвЕрждение.
Покажем теперь, что функция Грина краевой задачи (4.26) существует, и дадим алгоритм ее построения. Построим функцию у1(х), являющуюся решением однородного уравнения (4.26), удовлетворяющим левому краевому условию ,«,'(О)+6,у,(О) = О. (4.35) Очевидно, в силу сделанных предположений о коэффгщиентах уравнения, функция у1(х) всегда может быть построена как решение начальной задачи для уравнения (4.26) с начальными условиями у,(0) = — Са„у,(0) = СЦ,„ где С вЂ” произвольная постоянная.
В случае сделанного предположения о существовании лишь тривиальных решений однородной краевой задачи построенная таким образом функция.у1(х) не удовлетворяет правому граничному условию а,у, (Е) + (),у, (Е) Ф О. Аналогичным образом построим функцию уз(х), являющуюся решением однородного уравнения, удовлетворяанцим правому граничному условию (4.38) азу,())+ р„у ()) = О. гггхевые зьдачи 116 Легко видеть, что построенные указанным образом функции уг(х) и уг(х) линейно независимы. Действительно, предполагая линейную зависимость функций уг(х) и уг(х), например, уг(х) Суза, (4.39) получим, что уг(х) удовлетворяет правому граничному условию, что противоречит (4.37). Итак, мы построили два линейно независимых решения однородного уравнения (4.26), каждое из которых удовлетворяет только одному из двух однородных граничных условий.
Будем искать функцию С(х, 6) в виде С,у,(х), о~х<~„ С( $)= С (х 5(х() г (4.40) Ясно, что прк этом функция (4.40) удовлетворяет однородному уравнению (4.26) прн х~Ц и однородным граничным условиям. Для того чтобы удовлетворить условиям непрерывности функции С(х, 6) и скачка ее производной (4.32), остается найти постоянные Сг и Сг из соотношений Сгуг ($) — Сгрг ($) = 0* Сгрг ($) — Сгрг ($) =- —, ° (4.41) Определитель атой линейной алгебраической системы, представ- ляющий собой определитель Вронского линейно независимых решений угЫ и уг(х), отличен от нуля н в силу (4.20) С п(у у)= р (х) (4.20) где постоянная С определяется нормировкой решений угЫ я уг(х).
Отсюда следует, что система (4.41) разрешима единствен- ным образом. Подставив полученные значения Сг и Сг в (4.40), получим окончательное выражение функции Грина краевой за- дачи (4.26): 1 )угауг(х). 0<х<~ВФ С (уг (й) у, (х), $ (х ~ Е, где постоянная равна С р®Ь(у Ц), у Ц)). (4.43) Проведенные рассмотрения являются доказательством существования и единственности функции Грина краевой задачи (4.26) в случае, когда соответствующая однородная задача имеет только тривиальное решение.. В а м е ч а н и я.
1. Из явного выражения функпии Грина (4.42) следует, что она являетса симметричной ~унлг)исй своим НЕОДНОРОДПАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА .аргументов (4.44) с'(х, В) =С(Ц, х). 2„Как следует вз ваводкщвк соображеквй, предшествовавших построевкю функции Грана, она имеет простой физкческий смысл, представлен собой решение краевой еадачк в случае сосредоточевкой кетруакл. ! у (х) = ) б(х, $) )'($) с)ьс. е (4.45) Для доказательства теоремы достаточно непосредственной проверкой убедиться, что фушсция у(х), ааданная формулой (4.45), удовлетворяет всем условиям определения решения краевой задачи (4.26).
Перейдем теперь к рассмотрению случая, когда одеородеан краевая задача (4.26) имеет нетривиальное решение. Для упрощения последующих выкладок будем рассматривать краевую задачу с граничными условиями первого рода По условию существует функция <ре(х), являющаяся решением соответствующей однородной краевой задачи Ь[4р~(х)) О, срр(0) = О, фсИ) = О. (4.47) Функцию грс(х) можно рассматривать как собственную функцию задачи на собственные значения (4.24), соответствующую собственному значению Х=О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
