Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 24
Текст из файла (страница 24)
11олучим ! — ~р(х) — "1 у (х) Нх — ) о(х) уг (х) Нх+ + )м ) уг (т) р (х) Их = О. (4.96) о .Преобразуя первый интеграл по частям, в силу граничных усло- вий окончательно получим Ц у' (х) р бх .= ~ р (х) Ц бх + ~ д (х) у,',(х) Нх, (4.97) что н доказывает утверждение. ГЛАВА 5 ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ т т. Постановка задачи Рассмотрим систему уравнений нэ — =Р(с р) (5Л) в которой неизвестной является и-мерная вектор-функция р с компонентами уп ..., у . Зададим начальное условие р(О) - р,.
(5.2) Из $5 гл. 2 иавестно, что при определенных естественных условиях гладкости на правые части (5Л) решение у=у(х, уо) задачи (5Л), (5.2) является непрерывной функцией х, уз в точке О, уз), где ( — проиавольное значение иа некоторого конечного сегмента (О, Т1. Геометрически это оаначает (рис.
8, на котором представлен .случай одномерного у), что для и' з ~ О '3 столь малое 1Ауз1, что интегральная кривая у=у(х, уз+ Арз) будет У лежать в полосе шириной 2з около интегральной кривой у = у(г, г рз), если 8 и(О, Т1, Таким обра- ух( аом, малая погрешность в начальных условиях не окааывает суп(естэенного влияния на характер процесса, если процесс рассматривается на некотором конечном отрезке (О, х') времеви й Однако нередко требуется ис- ряс о .
(, „л„зая кривая следовать процесс на как угодно — з(о „,); у — яятзгрзльвзя больших промежутках измене- кривая з л(й зо+Ьзо) ° ния времени„что математически выражается в том, что решение аадачи (5Л), (5.2) следует рассматривать при О ~г( . Будем заранее предполагать, что решение задачи (5Л), (5.2) существует на этом бесконечном про- 9 в. н. тихонов и вк (гл. з ткогня устоичивости межутке. Возникает вопрос, останется ли кривая у = у(1, уэ+ Ьус) в з-полосе около кривой у= у(1, уе) для всех 1»0, если только (Ьуэ! достаточно мало или с ростом 1 кривые разойдутсяУ Примеры показывают, что может реализоваться и тот и друеу той случай. Рассмотрим простейшпй пример.
Уравнение — = =ау — 1 обладает решением у(1, уэ) =1/а, начальное значение которого уэ = 1/а. Пусть теперь начальное аначеиие равно уе+Ауэ. Отвечающее этому начальному аначению решение дается формулой У (1, У, + ЬУэ) = (/Уе + Ауэ — — 1 с" + — =- ЬУ,вел+ —. 1~ 1 1 1 Отсюда видно, что если а(0, то(ЛУ! = )У(1 Уэ+ Ауэ) )Ауе(е" (з для всех 1»0, если только (Ауе! (з. Если же а»0, то при достаточно больших 1 аначеиие !Ау! становится сколь угодно большим, как бы мало ни было (Ауэ!. Интегральная кривая, обладающая тем свойством, что все достаточно бливкие к ней при 1=0 интегральные кривые остаются близкими к ней и для всех 1»0, называется устойчивой интегральной кривой, а соответствующее ей решение — устойчивым решением.
В противном случае говорят, что решение неустойчиво. В рассмотренном примере решение у 1/а при а(0 является устойчивым решением, а при а-"0 — неустойчивым решением. Решения, рассматриваемые на (О, е ), делятся, таким образом, на два непересекающихся класса: устойчивые и неустойчивые.
Понятие устойчивости решения было введено А. М. Ляпуновым. Им же были заложены основы методов исследования на устойчивость. Идеи А. М. Ляпунова сохранили свое значение до сих пор и широко используются в современных исследованиях вопросов устойчивости. Дадим теперь строгое определение понятия устойчивости. Введем обозначение ~у~ = )/ угэ+ .. + уэ, где у~ (1= 1, ... и)— координаты вектор-функции у. Опрвделвниеэ). Решение у=у(1, уе) задачи (5.1), (5.2) называстсл устойыивыв по Ляпунову, если для 1/е»0 =(б(е) такое, что при ))Ауэ)! ( б(з) длл всех 1» 0 справедливо неравенство ()у(1 ус+ Ауэ) у(1, уо)" ~ з- (5.3) *) В этом опредедеппп и в дальнейшем речь идет об устойчнвестп относительно начальных данных.
Апэпогпчпе можае было бы ввести лоппгпе устойчивости отпосптельво параметров, входящих в правую часть уравнения, постАновкА зАдАчи % $! Среди устойчивых решений может встретиться решение, обладающее тем свойством, что все блнакие к нему в начальный момент решения не только не удаляются с течением времени, но бесконечно приближаются к нему. Иозтому вводится еще одно Определение. Решение у=у(», ус) задачи (5.(), (5.2) называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво и 2) существует такое достаточно малое бс)0, что при ПйусП (бс (5.4) НП1(у(», ус+ йус) — у(», ус)) =О. г Исследование на устойчивость решения у(», ус) можно свести к исследованию на устойчивость тривиального, т.
е. тождественно равного нулю решения некоторой другой системы, связанной с (5.(). Действительно, перейдем от неизвестного у к новому неизвестному х по формуле я= у — у(», ус). Тогда система (5.() примет внд а=У(»,х), где»(», х) = Р(», я+ у(»,у,)) — 2Пу(», у,). Решению у(», уз) л в прежних переменныл отвечает решение х =— 0 системы (5.5). Обозначим хо=у(0, уо+йуо) — у(0, уо)=йуо, х(», хс) = =у(», уз+пуз) — у(», уо). Тогда в переменных», х определения устойчизости и асимптотической устойчивости выглядят. следующим образом. Определение.
Тривиальное решение системы (5.5) называется устойчивым по Ляпунову, если для )»е)0 ~ 6(е) такое, что при ПхсП(6(з) для всех»>0 справедливо неравен.- ство Пх(», хо)П ( е. (5.6) Определение. Тривиальное решение системьь (5.5) называется асимптотически устойчивым, если 1) оно устойчиво и 2)~бе)0 такое, что при Пхц( (бс 1(шх(»,х,) = — 0 (5.7) Замечание. Иногда в записи х(», хс) опускают аависимость от хс и пишут х(»), а хс можно тогда записать как х(0), и тогда устойчивость означает, что Пх(»)П ( з (5.3) ври Пх(0)П ( 6(е), (гл. в ТЕОРИЯ УСТОЙЧИВОСТИ я аснмптотическая устойчивость — что, сверх того, 1(шх(1) = — О, $ в если Их(0)1 ~ бо. (5.10) В дальнейшем мы будем знакоэшться с методами исследования на устойчивость именно тривиального решения.
Устойчивость тривиального решения допускает удобную геометрическую интерпретацию не только в (и+ 1)-мерном прост- ранстве переменных с, х, но и в и- мерном фазовом пространстве переменных х (понятие фазового пространства было введено в гл. 1). Наглядное изображение здесь можно дать для случая и= 2 (рис. 9), Тривиальное решение в фазовом пространстве изображается точкой — началом координат. Неравенство (5.8) в двумерном случае означает, что фазовая траектория при 1) О лежит в круге радиуса з с центром в начале координат, а неравенство Рис. 9.
(5.9) — что начальная точка траектории леяшт в круге радиуса б(з), т. е. траектория, начинающаяся в б-окрестности начала координат, не выйдет из з-окрестности начала координат при всех Е)0; в случае асимптотической устойчивости траектория при 1 в бесконечно приближается к началу координат. Вам еч впи е. Вместо тото чтобы говорить об устойчивости трививзьпото решения, часто говорят об устойчивости точки (О, ..., О) фазового пространства.
Рассмотрим систему двух линейных однородных уравнений с постоянными козффициентами —, = Ах, (5.11) где А — постоянная (2 Х 2)-матрипа: Система (5.11) имеет тривиальное решение х= О. Будем исследовать его на устойчивость. Поскольку решение системы (5А1), удовлетворяющее произвольным начальным условиям, выписывается явно, то устойчивость или неустойчивость тривиального решения можно установить непосредственно. В общем слу- $ и постАновкА ЗАЦАЧИ х(1, ха) =Л'(1, 0)хо, (5Л2) где Л'(г, 0) = И'(1)И" '(0); ИЧ() — фундаментальная матрица. имеющая в качестве столбцов два линейно независимых решения: ~(11 /(11 (1) и1~ Х! (11 1 (11 М Х= (М Е', Х=((11 (С ,/ (5.12) здесь )(„21 — характеристические числа матрипы А (корни ха- рактеристического уравнения), а ("а, — некоторые числа, если А(Ф')(з, и многочлены по 1 степени не выше кервой„если )(1 = )а Пусть Х(=р(+(д(.
Тогда ((е "1=с"у и для элементов Л'о матрицы Л" (1, О) справедлива следующая оценка: !Л;,! ((С(+С11)с"', где р=шах(р(, рт); С(, С1 — некоторые постоянные, причем С1 = 0 в случае Х1 т--- Хь Неравенство (5Л4) можно записать (учитывая, что при любом ( ) 0 имеет место неравенство -11 ( Хс » (— е .=Сз) также в следующей форме: )Л'о! < (С(+ С11)з-"е("+1" ( (С(+ С1С1)с(г+"', т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
