Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Поэтому в силу непрерывности )'(х) имеем 11птр ('"'х) = $'(О) = О. Но с а . другой стороны, Нпт У (!">х) )~ сг, т. е. О в ег (противоречие). Теорема 5.2 ~обустойчивости).Пусть в (г существует непрерывная вместе с част ми производными первого порядка положительно определенная функция $'(х) такая, что функция ИЧх, () = (яга(( У, )((, х)) удовлетворяет неравенству И'(х,()(0 для Х>0, хый. (5.34) Тогда тривиальное решение системы (5.31) устойчиво.
Доказательство. Зададим )уе)0. Лемма 5.2 обеспечивает (положим с~ = е) существование сгОг) такого, что для 11х11 ~ е имеем Их) ~ еь Далее„в силу непрерывности т'(х) (при х=О) ~ б~(ез) =б(е) такое, что при 11х11<б имеем Их) ~зг/2, МЕТОД <РУНКГГИН ЛЯПУНОВА )т (х (11)) — $ (х (О)) » «ег — 2 — 2 «О (5.35) Но с другой стороны, У(х(гг)) — у(х(0))= ж ~ г, =~дгао)т, ~ / ву! вг ==(угаду, ~(г*, х(Е*)))= — И" (х(г ), г")<О (0<<8'<Ю,), (5.36) так как (5.34) выполняется всюду ектории, (5.35) и (5.36) составляют противоречие, доказывающее теорему.
Теорема й. 8 ~об асимптотической устойчивости). Пусть дополнительно к условиям теоремы 5.2 для ~«0, хж() выполняется неравенство Ит(х, Г) ( — Й(х), где Й'(х) — пололсительно определенная в Р. функция. Тогда тривиальное решение системы (5.31) асимптотически устойчиво. Доказательство. Устойчивость тривиального решения следует из предыдущей теоремы.
Убедимся, что Ига х (~) = О. (5.37) в Й, а тем более вдоль тра- Рис. И. Используя выражение для полной производной от У вдоль травка'У торин, получим — =И'(х(Г), Г)< — Ит(х(Г))<0, т. е. У(хОП) с ростом с монотонно не возрастает. Позтому существует )ип )т (х (~)) = сс «» О. Докажем, что и = О. Предположим, что $ а«0. Так как $ЧхИ)) «О (у стремится к пределу сверху), то, полагая в пункте б) леммы 5.2 зг=а, будем иметь гхйН «е„ а тогда по той же лемме (и. а)) имеем ИЧх(г)) «р«0, т.
е. Возьмем начальную точку х(0) =хь в б-сфере ыь фазового пространства переменных х (рис. 1х наглядно иллюстрирует ситуацию на двумерном случае), т. е. пусть гх(0)г <б. Тогда. У(х(0)) ~ег/2, Нужно доказать, что траектория останется для всех ~«0 в з-сфере ы, (см. (5.8)). Предположим противное, т. е. что траектория при некотором покинет ы, (оставаясь в П). Тогда $'(х(й)) «еь Имеем, таким образом, шл. в теогия устОЙчиВОсти — гг'(х(1)) ( — у~ О. Поэтому У(х(1)) — И(х(0)) = —,~ 1( «» — Й' (х(1 )) 1( — ()й Отсюда получим, что $'(х(1)) — — ех при 1 ' . Но с другой стороны, так как л силу устойчивости Х(1)шй, тО Р'(Х(1))«0. ПратИВОрЕЧИЕ ПрИВОдИт К ВЫВОду, ЧТО а=О. Итак, ))шр(х(1)) == О. (5.
38) сДокажем, что отсюда следует (5.37). Допустим противное. Тогда ~ е1«0 и такая последовательность 1 — ь, что 5х(1 )1«еь Но тогда по лемме 5.2 г'(х(1 )) -=- «ел, что противоречит (5.38). Противоречие доказывает (5.37), а вместе с тем и всю теорему. П р н и е р ы. В рассмотренном выше примере (5.ЗО) нмеет место пе только устойчнвость, но н асвмототнческая устойчивость, так как — И'(хь х,) не зависит от с н является положительно определенной функцией. Однако на атом пр~в~ере нельзя убеднться в важности доквзаннык теорем 5,2 н 5.3, поскольку здесь пркменнмы соображения предыдущего параграфа и аснмптотнческая устойчивость следует нз отрицательности Х1 к йь Приведем пример системы, когда теорема 5.1 о первом прнблнженнн неприменима, а функцня Ляпунова дает ответ ех ех — 1 = 2х — хчз)л Ц вЂ” в= — Зх — х .
Возьмем У (х) =- Зхв1+ 2хз. Тогда И'Ов 1] = — бх" з1п с — 4х~~~О. Следовательно. по теореме 5.2 тривиальное решение устойчиво. Теорема 5.1 здесь освета не дает, так как характернстнческне числа матрицы первого прнблкження нвляются чисто мннмымн. Можно использовать аналогичные идеи для доказательства неустойчивости тривиального решения системы (5.3(). Такого рода теоремы впервые были предложены Н. Г. Четаевым. Мы приведем здесь простейший вариант теоремы о неустойчивости.
ТеоремаБА(о неустойчивости). Пусть в 1) существует непрерывная вместе с частными производными первого порядка функция у(х) такая, что а) для ~уй«0 ~ а«0 и существует нвкоторол подобласть юб бюкрсстности точки х= О, в которой выпояняется неравенство У(х) «а; б) для)уа«03 р«0 такое, что ив неравенства И(х)«а следует неравенство И'(х, 2) (дгад г', )(1, х)) >(), справедливое нри всех 1~ О. Тогда тривиальное решение систвмью (5.31) неустойчиво. Докааательству теоремы предпошлем пример. Рассмотрим систему вида в 4 3 в и вс ,и = 1 в~ Вс= зц МЕТОД ФЪНКПИЙ ЛЯПЪИОЕА з 3! Возьмем г'(х) =х1хт. Заштрихованная область па рис.
12, выделяемая гиперболой х1хе = а, есть юс. Имеем И'(х, 1) = =-х,хе 1хх + х,). Очевидно, в области юе справедливо неравен- Г з хг + ство хг + ххх ~ 2а, т. е. ~ х ~ ~ ~~/ 2а. Тогда в силу леммы 5.2 3 т ) 0 такое, чтохзе+ хг~ )у и, следовательно, И"(х, 1) ~ ат = р. По теореме 3.3 можно тем самым заключить о неустойчивости тривиального решения. Теорема 5.1 (см замечание) в этом случае не работает, так как все элементы матрицы первого приближения равны нулю.
Докааательство теоремы и 5.4 проведем от противного. Предположим, что тривиальное реше- а) пие устойчиво. Тогда для )уз ~0 ~ б(е) такое, что !!х(1)!! ~ с для юг 1~0 если !!х(0)1(6(е). Возьмем % + начальную точку х (0)= х, и:— юо, 'хак что Р(х(0)) = а. Для достаточно малых 1 знак разности Рис. 12. Р(хП) ) — Р(х(0) ) определяется ыр ! Лг значением — „~ . Но в силу б) — „~ = И'(х(О)„0)~ )) > О. Поэтому г'(х(1)) -. а для достаточно малых 1. Убедимся, что 1Чх(1)) ) а при всех 1) О. Допустим, что при некотором 1 = 1~ ~ 0 функции 'г'(х(1)) снова достигает значения а, т.
е. 'г'(х(1~))=а. Но тогда, с одной стороны, Р(х(11)) — У(хЮ)) О, л с другой стороны, Р( (1,)) — У(х(О)) = — '„' ~ Х,=И (~(1*), 1*)1,--Р,>О, Противоречие приводит к выводу, что г'(х(1)? )а для 1~0. Но тогда ЪЧхП)) — )ЧхЮП = И'(хМ**), (ее)1» р1. Отсюда следует, что )х(х(1))- при 1-, но втого не может быть, поскольку в силу допущения об устойчивости х(1) ы 1) цри г~зО и, следовательно, Р(хП) ) ограничено.
Противоречие завершает доказательство теоремы. За искания. 1. Недостаток иеложеннь|х в настоящем параграфе методов заключается в ток, что яе существует достаточно общего конструктивного способа построеяия функций У(з). тен не менее для ряда весьма важных классов дифференциальных систем такое построение возможно. 2. Одним из таких классов является линейная система с постоянными коаффицнентвми. Теорему й1 об устойчивости по первому приближению можно доказать, используя функцию Ляпунова для линейной системы с по 10 А. И. 'Хихонов в ЛР. 'гкоэия ъстончипости [гл.
ь стояннымн коэффвцнентами, как это делается, например, в учебнике Л С, Понтрвгнна "). 3. Для дифференциальных уравнений, описывающих некоторые механические системы, роль функции Ляпунова играет потенциальная энергия У(х). Сама система имеет внд всх.= — атас) К Положеспсе равновесвя в системе определяется условием йгас( Г = О (с математической точка арения положения равновесия это решение тина х = х = соввС; соответствующим преобрааованнем переменных точку,х всегда москно сделать началом воординат), т. е. положение равновесна является стационарной точкой для потенциальной анергни. Если стационарная точка ннляется точкой минимума потенциальной энергии, то положение равноврснн устойчиво. Действительно, в этом случае в окрестности начала координат С'(х) являотся полояснтельно определенной функцией, а соответствующая функция И'(х, С), равная (атаби, 1) — — — (атас( У)с, очевидно, также удовлетворяет условиям теоремы бис $4.
Исследование траекторий и окрестности точки покоя В ряде вопросов возникает потребностсч помимо исследования точки (О, .с., 0) фазового пространства на устойчивость, выяснить также расположение траекторий в окрестности этой точки. Не ставя целью рассматривать' этот вопрос во всей общности, ограничимся случаем п = 2 (фазовая плоскость) и линейной системой уравнений с постоянными коэффициентами (5.11): лс =.4л* 4 — а а (5.39) а . + (5. 40) сСхв авсхс + ааэха В точке (О, 0) правая часть уравнения (5.40) разрывна, т.
е. нарушено условие теоремы существования и единственности. Точсса (О, 0) является согласно терминологии гл. 1 особой точкой. Поэтому априори череа точку (О, 0) молсет не проходить ни одной интегральной кривой уравнения (5.40), а также молсет проходить более одной н даже бесконечно много интегральных кривых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
