Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Однако в общем случае такое исследование весьма затруднительно. В дальнейшем мы покажем, что сходимость разностной схемы может быть сведена к двум другим, более легко проверяемым свойствам: аппроксимации и устойчивости. Перейдем к определению понятия порядка аппроксимации разностной схемы. Для этого потребуется ввести норму а'<р. Как уже отмечалось выше, '"'~р представляет собой правую часть уравнения — сеточную функцию '»'7' в совокупности с дополнительными условиями для искомой сеточной функции '"у.
Они могут быть и начальными и краевыми. Занумеруем их в определенном порядке. Соответствующие правые части пусть будут уь ° "* ут Назовем~ ~ у)„= шах ~ у; [ и введем норму»и»р)ь полагая рц ~ „„(у<в»~~ у»л,„у ) При замене исходной дифференциальной задачи (6Л4) на разностную (6Л6) точное решение исходной задачи, вообще говоря, не удовлетворяет разностной. задаче. Будем говорить, что числкнньш мвтоды рааностная схема аппраксимирует исходную задачу с порядком Ь, если 1ТЛ(р)л — '"Ы < СЬ"т (6.21) зде С и Ь вЂ” некоторые постоянные, не зависящие от Ь.
Схема Эйлера (6.3) означает, что исходная дифференциальная аадача (6Л) заменена рааностной задачей »лг [л> ро»от Т„'л у =- Л У»- =- ( 1 (6.22) »лг уе уе где»"г~»=у(х„»ь»р»). Определим порядок аппроксимации.втой схемы, предполагая, что правая часть )(х, р) уравнения (6Л) удовлетворяет тем же условиям, что и в п. 1 (стр. 154). Тогда, очевидно, точное решение р(х) исходной задачи будет дважды непрерывно дифференцируемой функцией.
Это позволяет записать рааложение р (х; + Ь) = р (хг) + Ьр' (х;) + 2 р" (х; + 9Ь) (О~ 9и 1). (6.23) В силу (6.23) при подстановке точного решения р(х) задачи (6.1) в левую часть уравнения (6.22) получим р»(х» г) + — рз(х; г+ 9Ь) — у(х» г, у(х» г)) = — — у' (хг-г + 9Ь)„' (6.24) так как в силу того, что у(х) является точным решением урав- нения (6Л), первое и третье слагаемые взаимно уничтожаются Отсюда следует, что схема Эйлера аппроксимирует задачу (6Л) с первым порядком. Замечание. Первый порядок аппроксимации схемы Зйлера сеяаан с тем, что в этом методе первая производнав у" (:з») аппроксимируется рааностным очно»пением (у, — у»»)/Л.
Легко видеть, что, выбирая другие приближенные формулы длв первой проиаводной, можно повысить ве, ядок аппроксимации. Действительно, заменим верную проваводную у'(х») симметричным раавоствым отношейнем е соседних точках у»+г у»-г (6.25) Предполагая непрерывность третьих производных решения (что будет иметь 'место при соответствующих условиях гладкости функции Кт, у) в правой %6 увп)книв нлчлльнои злдлчи части уравнении (6.1)), будем иметь )Р )Р У (х>+Ь) = У(х)) + Ьу'(х))+ 2 У" (х))+ 6 У (х) +вхй)е лэ )Р У (х) — Л) = У ( ,) — Лу'( о) + ) У (*,) — 6 У" ( , + В,й), (6.26) Тогда, аппроксимирул зада >у (6.1) разностнои схемой сз) со) У)+> У) — > >ю 2Л >Л>у Уо (л) у> ~л >л) (6.27) и проводи рассмотрении, аналогичные предыдущим, получим, что рааност нос уравнение (627) аппроьсимирует исходное уравнение (6Л) со вторым порядком.
Заметим, однако, что схема (6,27) требует задании сеточной функции не только,в нулевом, но и в первом уаее. Чтобы определить порядок аппронсимации этого условии, опать восповьзуемся рааложеиием точного решения в проку Тейлора )Р У (хо + ) Уг У (*о) + '" ( о) + 2 У ( о + ') )Р =: уо + Л) (х.. У„) + — у- ( о + ВЛ) — „,. (6.28) Из (6.28) следует, что если выбрать У> = Уо + а)(хо, Уо), (6.29) то и второе начальное условие (6.27) аппроксимируетса со вторым порядком.
Отсюда следует, что при выполнении дополнительного условии (6,29) разностааа схема (6.27) аппрокснмирует исходную задачу со вторым порндком. 11ерейдем теперь к определению следующего основного понятия теории разностных схем — понятию устойчивости разностной схемы. Начнем с простейшего примера.
Рассмотрим задачу (6Л) для линейного однородного уравнения первого порядка с постоянным коэффициентом — „= ау, у(хо) = у>о (6.30) >о» о> где о — некоторая постоянная, удовлетворяющая условию О~о ='1, а значение у> определено условнеэ> (6.29). Очевидно, формула (6.31) задает однонараметрическое семейство разностных где а — заданная постоянная.
Построим для задачи (6.30) разпостную схему, являющуюся очевидным обобщением разностных схем (6.22) и (6.27): о(<юуоы >о>у ) + (1 о)(ооу> м>у,,) )л„<о>у 0 (6.31) <гл. з числвнные мктоды схем, зависящих от параметра о. При о = 1 получим схему (6.22)„ при о= Чз — симметричную схему (6.27).
Пусть начальные условия схемы (6.31) заданы неточно, с некоторой ошибкой е. Тогда мы получим новую сеточную функцию '"'у, являющуюся решением аздачи о(«л», <л» ) )„И )(<л» <л» ) й «л» (6.32) <л»уз — — уз+ ее; «"»у, у, + е». Исследуеи, как ошибка задания начальных условий влияет на решение задачи (6.31). Определим ошибку решения В силу линейности задач (6.31), (6.32) имеем о(бу«+» — бу») + И вЂ” о)(бу« — бу, «) — Ьабу« = О, (6.33) откуда для ошибки получим задачу обу,+»+ И вЂ” 2о — Ба)бу« — И вЂ” о)бу» < О, (6.34) буо = ео, бу» = е». Задача (6.34) является частным случаем линейной разностной задачи с постоянными коэффициентами асул+ а«у„»+... + а,у„, = О, (6.35) у,=б„у,=бь ..., у,,-б,, По аналогии с линейными дифференциальными уравнениями с постояннымв коэффициентами частное решение разностного уравнения (6.35) можно искать в виде у„= )л, где ).— неизвестная постоянная, подлежащая определению.
Подставляя искомый вид решения в уравнение (6.35), получим характеристическое уравнение, являющееся алгебраическим уравнением у-й степени: асХ'+а<)« '+...+а< — — О. (6.36) Если все корни )»л (р = 1, ..., <() уравнения (6.36) простые, то мы получим д различных частных решений Ул =)я' (Р =- 1, "л Я) (6.37) уравнения (6.35) и его об»цее решение в силу линейности запишется в виде Ул= Х СА'.
(6.38) Р Решвнне нлчлльнон злдлчи Легко доказатьч что в случае простых корней Л„решения (6.37) линейно независимы и образуют фундаментальную систему. Мы на этом вопросе останавливаться не будем е). Определяя постоянные Си в (6.36) из начальных условий (6.35), мы получим решение задачи (6.35). Применим ету общуто схему к решению задачи (6.34). Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид оЛт+ И вЂ” 2о — Ьа)Л+ И вЂ” а) = О, (6.39) а его корни определяются выражениями — / Р + —.
(6.40) уп )/ 4ов о Кек легко видеть, прн достаточно малых Ьоо) Л, =1+Ьа+0(Ьв), Лв =1 — — +0(Ь). (6.41) Отсюда следует, что прн а(1/2 для второго корня (6.41) справедлива оценка !Лт! > 1. Следовательно, частное решение разностного уравнения (6.34), соответствующее этому корню: бу'У = Л', (т) 1 (6. 42) будет неограниченно (экспоненциально) возрастать по абсолютной величине с ростом С При этом частное решение, соответствутощее первому корню при любом значении а (0~ а~ 1), остается ограниченным кри т- .
Действительно, так как 1=(х,— — ло)/Ь, где х~~ Х, то после элементарных преобразований получим брп =Л*, =(1+Ьа+0(йт))( ' о) =е ( ' о)+О(Ь), (6.43) что и доказывает равномерную ограниченность бр; на отрезке (и .то ~ л< ~ Х. Решение задачи (6.34) будем искать в виде бу; = С,б|';и + С„брГ'.
(6.44) Постоянные С1 и Ст опрделяются иэ начальных условий задачи (6.34). Простые вычисления дают С7 = И -о)со+ ое1+0(Ы, (6.45) Ст = о(ео — е1) + О(Ы. (6.46) т) См„яапримвр, Самарский А. А. Теория равкостлмх схем.— Мл Наука, 7977. иа) Символом 0(ла) ооовиачается величина, модуль которой меяыев Сэа, где С вЂ” ве вввисящая от Ь постоянная. 11 А.
П. Тихоиов и лв. численные методы (гл. з Чтобы получить посредством разностной схемы численное решение начальной задачи (6.30) для любого фиксированного х се (хз, Х), нужно сделать такое число шагов Ь чтобы было х< = » (:»» — хл)/ь (х-хл)/л = хе+ <Ь ~ х. Поэтому ) х =- Х, )~ Хл экспоненциально возрастает при Ь вЂ” О. Тогда иэ (6.44) следует, что решение задачи (6.34) будет неограниченно возрастать за счет члена Себу< . При (ю ее= е< величина Сэ- О при Ь- О, но так как при атом порядок убывания Сэ ие более чем степенной, то СлХ.,*, а значит и все решение, опять-таки будет неограниченным. Тем самым незначительная погрешность в начальных условиях приводит к все возрастающей ошибке решения задачи (6.31) при уменьшении шага разностной схемы.
Схему (6.31) при а ( 1/2 по аналогии с понятием, введенным в гл. 5, естественно считать неустойчивой по начальным данным. Аналогичным образом легко показать, что для иеоднсродного уравнения (6.30) данная схема является неустойчивой.и по правой части. Дадим теперь строгое определение устойчивой разностной схемы. Рассмотрим разностну<о схему (6.16) и соответству(ощую возмущенную задачу т, <л» <л», + б <л» (6.47) б'л'<р называется возмущением входных данных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
