Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 32
Текст из файла (страница 32)
ясли в;0 существуют непрерывные частные производные четвертого порядка функции <(х, у), то схема Рунге— .Кутта (6.72) сходится с четвертым порядком точности, т. е. ))<й'у — (у)й)) С Сй<. (6.75) Отметим в заключение, что схемы Рунге — Кутта допускают вычисления и с переменным шагом. Начиная с л)обого индекса ), мол<но уменьшить или увеличить последующий шаг сетки.
Легко проверить, что эта схема имеет четвертый порядок аппроксимации. В силу теоремы БЛ для определения порядка сходимости схем Рунге — Кутта достаточно доказать их устойчивость. Это доказательство можно провести в полной аналогии с доказательством устойчивости схемы Эйлера. Действительно, все схемы типа (6.64) имеют вид ~гл. е Замечание. Б данном параграфе были рассмотрены числевиые методы решения вачальвой Коши (бл) для одного скалярного ураввевия первого порядка. Без сущестаеивых иамевевий разобранные методы переносятся ва случай начальной задачи и для вормальвой системы уравнений первого порядка*).
б 2. Краевые задачи р,~у(о), '™ (о)) = от р,(у()), — „())) =о, ор (6.76) (6.77) где ), <рь <рх — заданные функции своих аргументов. Пусть функции 7, <рь <рт являются достаточно гладкиыи и выполнены условия, при которых решение краевой задачи (6.76) — (6.78) существует и единственно, а также существуют единственные решения начальной задачи для уравнения (6.76) при произвольных начальных условиях, заданных при х= о илн л=ь'. Выбеор рем некоторые начальные условия у(0) = у„~ (0) = уы удовлетворяющие левому граничному условию (6.77). Это можно например, сделать, задавшись значением уо и разрешая полученное уравнение (6.79) лд относительно — (0) = ум В силу сделанного предположения оз задача определения решения у(х) уравяения (6.76), удовлетворяющего выбранным начальным условиям, разрешима единственным образом.
Если бы полученная при этом функция у(х) з) См., вапример, Самарский А. Л. Теория разяостиьгх схем.— Мл Наука, т977. В этом параграфе будут рассмотрены простейппте численные методы решения краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений. Постановка этих задач и общие свойства их решений были изучены в гл. 4. 1. Метод стрельбы. Основная иден этого метода заключается в сведении решения исходной краевой задачи к многократному решению вспомогательных задач Коши для ааданного дифференциального уравнения Проиллюстрируем эту идею на примере краевой задачи иа отрезке (О, й для уравнения второго порядка кглевыв злдлчи удовлетворила и правому граничному условию (6.80) то исходная краевая задача была бы решена.
Однако в общем случае полученная функция у(х) ве удовлетворит правому граничному условию (6.80). По способу своего построения функция у(х) зависит от значения уо как от параметра: у(х, уо), причем в- ситу общих свойств решения начальной задачи, изученных в гл. 2„зта зависимость — непрерывная. Меняя значения уо и повторяя описанный выше алгоритм, мы получим однопараметрическое семейство у(х, уо) решений начальных задач для уравнения (6.76), удовлетворяющих левому граничному условию (6.77). Задача заключается в том, чтобы из этого семейства выделить функцию у(х), удовлетворяющую и правому граничному условию (6.78). Этого можно достичь различными способами. Например, можно выбирать наудачу значения уо до тех пор, пока при некоторых близких значениях уо,, и уо,, не получатся разные по знаку левые части (6.80). Это будет означать, что искомое значение,уо «взято в вилку» и можно вести «пристрелку», уточняя искомое значение уо.
В силу указанной выше непрерывной зависимости решений начальных задач от начальных данных искомое значение уо лежит между уо,~ ~ и уо,о Этот способ решения краевой задачи (6.76) — (6.78) и носит название метода «стрельбы». Если решение задачи Коши у(х, уо) находится в квадратурах, то соотношение (6.80) представляет собой некоторое, вообще говоря, трансцендентное уравнение (6.81) относительно искомого значения уо. Тем самым задача сводится к алгебраической задаче нахождения корня уравнения (6.81).
Решив зто уравнение (аналитически или численно), мы получим Иц начальные условия у(0), — (О), которым удовлетворяет решение исходной краевой аадачи. В общем случае функции у(хо, уо) не имеют явного аналитического выражения и могут быть найдены лишь численно для каждого конкретного значения параметра уо. Тогда можно воспользоваться численными методами решения уравнения (6.81)— Различными модификациями метода Ньютона, метода парабол и т. д. Например, можно по описанному выше алгоритму для [гл. Б числкниык мктоды г«о значений параметра уо, равных уо,««и уо.ь построить функции у(х, уо, «-«) и у(х, уо, <). Тогда новое значение параметра уо «~«, согласно методу секущих, находится из соотношения (оо.« "о,«-«) (оо,«) Уо,«+~ = Уол— Отметим, что если начальное значение уо выбрано вблизи корня уравнения (6.84), то итерационный процесс (6.82) быстро сходится.
Проведенные рассмотрения справедливы в общем случае нелинейной краевой задачи. В случае линейной краевой задачи Х' (у) = — „[р(х) — ~~ — «Х(х) у(х) =- Х(х), (6.83) с««у'(О) + 6«у(0) — О, (6.84) азу'(Х) + боХ«(Х) = 0 (6.85) можно предложить модификацию метода стрельбы, позволяющую получить решение исходной краевой задачи, сведя ее к решению сравнительно небольшого числа начальных зцдач. Построим функцию у«(х), представляющую собой решение задачи 'для неоднородного уравнения (6.83) с начальными условиями (6.86) у,(0) = а„у,(0) =- — Ри Очевидно, в силу (6.86) функция у«(х) удовлетворяет левому граничному условию (6.8<«). Определим функцию уо(х) как решение задачи для однородного уравнения (6.83) с теми же начальными условиями у. (О) =- о„уо(О) =- — (),.
(6.86') В силу линейности задачи и однородных условий функция Суо(х) также представляет собой решение однородного уравнения (6.83). удовлетворяющее леврму граничному условию (6.84). Поэтому решение исходной краевой задачи можно искать в виде у(х) = у«(х) + Суо(х), (6.87) .определяя постоянную С из требования удовлетворения функцией (6.87) правому граничному условию (6.85): с«оуг(Х) + («оу, (Х) + С [а~у„(Х) + ()оу,(Х)~ = О. (688) Заметим, что в силу сделанного предположения о единственности решения исходной краевой задачи квадратная скобка в (6.88) заведомо отлична от нуля, тем самым постоянная С из этот«Ф КРАввые зядачн 2. Конечно-разностные методы. Как мы уже отмечали, суть зтпх методов своднтсн к замене исходной задачи для дифференциального уравнения системой алгебраических уравнений для значений сеточной функции, аппроксимирующей на сетке решение походной задача. Рассмотрим основные идеи етого метода на примере простейшеи линейной краевой задачи для уравнения второго порядка ув — о(х)у = 1(х), н(0) = в(1) = 0.
(6.89) (6.90) Легко видеть, что прн д(х) ) 0 краевая задача (6.89), (6.90) имеет единственное решение. Это утверждение нвляется следствием общего свойства задачи на собственные значения, рассмотренной в гл. 4. Как было показано, прн д(х) ) 0 все собственные значения ) соответствующей задачи на собственные значения строго положительны: А„)0. Поскольку ),=0 не является собственным значением этой задачи, краевая задача (6.89). (6.90) разрешима единственным образом.
Единственность решения задачи (6.89), (6.90) можно доказать и непосредственно, опирансь на так называемый принцип вплсииума. Предполояшм, что существует нетривиальное репгенне ь) Си., например, Бахвалов Н. С. Числевные методы.— Мз Наука, 1675, т. 1. соотношения определяется однозначно. Таким образом, в рассматриваемом случае решение краевой задачи сводится к решению всего двух начальных задач, что может быть осуществлено рассмотренными в 6 1 настоящей главы чнсленнымн методамн Замечания. 1.
Решение краевых задач для уравнений и систем более высокого порцвка, чем второго, также может быть проведено методом стрельбы. Основные идеи метода при атом существенно не меняются, однако вместо одного уравнения (6.61) мы в общем случае получим систему р трансцендентных уравнений типа (6.61) относительно параметров ль дь ... ..., Вю где р — чисто левых граничных условий.
Зто приводит к значительной технической трудности при практической реализации решения систем высокого порядка методом стрельбы. Исключение составляют лишь линейные системы, для которых вадача сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. 2. В методе стрельбы решение исходной краевой задачв сводится к решению ряда вспомогательных начальных задач. Иа полученных выше (1 1) оценок зависимости ошибки численного решения начальной задачи от ошибок аадаввя начальных данных н вычвсвевия правых частев уравнений (оценка (6.43) и др.) следует, что эта ошибка может оксповепциалько нарастать с увеличением длины отреака [О, 1), на которои ретвается краевая задача.
Зто приводит к необходимости илв вначитольной модификации метода стрельбы (так называемый метод дифференциальной ортогональной прогонки) е), илв вряменепня для ретпения краевых задач прямых конечно-раввостных методов, изложению которых и будет посвящен следующий пункт. чиолвнньж мктоды Р>+> за> + >>> (6. 93) и сопоставим исходной краевой задаче конечно-разностную схему ">в ю> оо >->-> 2 и>+ ">-> ~ь> >и> — уг ь' ю>„ ва <л>„ вв ьл'"'У = где '>од>=у(з) и>) =1(хд, Схема (6.94), очевидно, представлнет собой систему и+ 1 линейных алгебраических уравнений относительно значений сеточной функции в и+ 1 узлах сетки.
При исследовании этой схемы мы. должны выяснить вопросы, связанные с ее разрешимостью, устойчивостью и сходимостью семейства сеточных функций прк и- 0 к решению исходной задачи, и указать алгоритмы построе. ния сеточных функций. Начнем с выяснения вопросов разрешимости схемы (6.94) Поскольку эта схема представляет собой систему линейных уран пений, то для существования и единственности ре>пения неодно- однородной краевой задачи (6.89), (6.90) — функция уз(л). Эта функция непрерывна на замкнутом отрезке 10, Л, следовательно, по известному свойству непрерывных функций принимает в некоторой точке хв этого отрезка свое максимальное значение М: уо(л) ~ М = уо(хэ), 7л >н 10, Л, (6.91) причем М~О, поскольку уэ(0) = ус(() =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
