Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 36
Текст из файла (страница 36)
5 . Будем предполагать, что начальное значение ге принадлеясит области влияния корня ф(уе» 0) уравнения Р(ге, у", 0) = О. Теорема ул( (теорема Тихонова) При ее«полнении условий 1' — 5' решение г(«, )«), у(», р) задачи (7.14), (7Л5) существует но (О, Т) и имеет Асесто предельный переход 1ипу(8, р) = у(1) при 0~ 8~~ Т, (7.24) м е 1пкг(», р) = «р(у(»), ») = — г(1) при 0 ( 1( Т. (725) и е Доказательство разобьем на несколько этапов. 1) Рассмотрим сначала окрестность точки 1 = 0. Сделаем в (7Л4) замену переменных т = 17)с. Получим — '=р(г,у,тр), г(»=е=г", вв — 'т =.И(г у.тр)» у!с=в=у ° На любом конечном промежутке изменения т зту систему можно рассматривать как регулярно возмущенную, причем соответствующая невозмущенная система имеет вид ве ,— „' = Р (го уе» 0)» ге Ь-е = г'» (7,27) Отсюда уе(т) = у', а «>е г(г уе О),ге(=в=хе, (7.23) Эта задача равносильна аадаче (723) и является задачей типа (7.21).
Поэтому согласно теореме 7.3 (см. (7.22)) получим, что сингулягньж возммщеняя для и' з С09 тс(е), при котором справедливо неравенство !х,(т,) — ф(у',0) ! ( т. (7.29) Сравним задачи (7.26) и (7.27). Из Г следует выполнение условий теоремы 7.2 о регулярном возмущении для т~т, где т как угодно велико и фиксировано.
Решение невоэмущенной задачи (7.27) опредечено при всех т и, в частности, на [О, тэ1. Поэтому согласно теореме 7.2 (вместе с замечанием 2) получим, что для и'з)0 при достаточно малых р на 0<т~то (или на 0~(~тср) существует решение задачи (7.26) (илн, что то же самое, решение гИ, р), рИ, )х) задачи (7Л4), (7Л5)) и справедливы неравенства !х('Р) — "(т) ! < — ',. !Р((, р) — Р'! С вЂ” ',. (7.30) Принимая во внимание непрерывность ф(р, 8), мо'кно, обеспечив достаточную малость !уИ, р) — рс(, обеспечить также неравенство !ф(у(с, р), $) — ф(р', 0)! ( ~~ при О~~та т,р.
(7.3Ц Нз (7.29) — (7.3() получим, что при г т=р=-йс(р) ЬИ, к) — ф(дИ, )г), ))! ( з, (7.32) 2) Обозначим Мй, р) зИ, р) — ф(уИ, р), Й. Соотношение (7.32) говорит о том, что Ь(Г, р) как угодно мало прн с= те(р). Неравенство (7.32) будет оставаться выполненным в некоторой окрестности справа от точки 8э. Величина этой окрестности заранее не известна. Может случиться, что неравенство (7.32) выполнено для всех г~ Гс вплоть до Ч Т, а может оказаться, что найдется значение )1 ~ Т, при котором (7.32) перейдет в равенство. Убедимся, что в первом случае при всех гж Им Т1, а во втором при всех г~вИэ, г11 величина рИ, (г) как угодно близка к рО).
Для этого перепишем второе уравнение (7Л4) в виде „вЂ”,'=У(ф(и,()+ь((,р), и, (), (7,33) 91~-<о<и) = рэ+ 6()г)* и сравним эту задачу с задачей (7Л7). Согласно полученному в предыдущем пункте величины гс()г), !6(р)! как угодно малы при достаточно малом р и величина !ЛИ, р) ! как угодно мала при достаточно малом Р и 8ж (Сэ, Т) или Г ж Ис, г11.
Задача (7.33) ЯвлЯ- ется регулярно возмущенной задачей по отношению к задаче (7Л7) (см. теорему 7.2 вместе с замечанием 3). Поэтому прп гюйс, Т1 нли с~ Ир, Ц р(г, р) существует, принадлежит г) и, кроме того, для ~( е1 0 справедливо неравенство !рИ, р)— 190 АсиыптотикА РешениЙ по мАлому пАРАметРу игл. т — у(Т)! < е~ при ь'е [То, Т) нлн Тш [ьш 8~), если только )г достаточно мало. 3) Убедимся теперь, что неравенство (7.32) выполнено для всех Т ш [Те, Т), т. е. из двух воэможностей, указанных в 2), реализуется только одна, а предположение о существовании точки 21 «Т, длн которой !й(г, )ь)! = в, приводит к противоречию.
Пусть при Т, «Т достигается равенство !Ь(Т, )ь)! = в; Введем в рассмотрение функцию у'(г, у, Ю) = [г — Ф(у, Т))г. ду! В силу предположения о точке 8~ имеем — „~ и О. Но — =- 2 [ — р (у, Т)! 1 ' ' — — ) (г, у, Т) — — 1. ди [Г(с, у, О дФ дФ) дс > 1 р дд ' ' дт! Так как г(г, у, ь)! =,, ТАО, то знак (.) при достаточно малых р, определяется знаком г"(г, у, Т), а, следовательно, в силу малости Л вЂ” знаком дд — (р(у,т), у, г) [г — Ф(у,т)). дп Тем самым знак всего выражения — определяется знаком дс де (Ф (у Т). у ь).
Так как согласно полученному в предыдущем пункте у(Т, р) принадлежит .О, то согласно 3' и (7 18) ду —,(ф (у (гы р), у (ты [ь), Ч С О ау! и, следовательно, — ~ < О. * а!,=а Противоречие приводит к выводу, что [й(8, р)! < е при Ке« <2<Т и, следовательно, !у(г, )г) — у(ь)! <е~ прн Те«Х<Т. Учитывая оба эти неравенства, а также то, что [у(Т, р) — ус! < < е/3 прн О «г с= го (см. (7.30)) и [у(г) уе! < е1 при 0 «Т «ге, получим утверждение теоремы 7 4.
Замечании. 1. Иэ доказательства видно, что предельный переход (7.24) является равномерным на [О, Т), а предельный переход (7.25), справедливый на (О, Т), равномерным не является. В окрестности $0 имеется область, в которой г-компонента решения задачи (7.14), (7,15) сильно отличается от г-компоненты решения вырожденной задачи, т.
е. от Ф(у(г), г). Эта область, хорошо заметная на рис. 20 для случая системы (7.21), называется пограпичпььн слоем. д 2. Ив доказательстве теоремы видно, что отрицательность — нужна фактически лишь нв вырожденном решении, т. е. достаточно, чтобы выоолдд вилось условно дг (Ф (д (с)з Е). У (Е) ° с) < О- сингглят ньш возмгшкния 3. Теорема 7.4 распространяется на векторный случай.
Некоторые дополнительные трудности возникают при атом с определением понятия области влияния. Что касается условия устойчивости, то оно может быть сформулировно кек естествеяпое требование, чтобы характеристические числа Х(г) де »1атрипы э (ф (У, »), у, т) удовлетворяли неравенству не х ( О.
имеется п более общел формулировка условия устойчивости, денная А. Н. Тихоновым е). 2. Асимптотическое разложение решения задачи (7Л4)', (7Л5)'. Па основании теоремы 7.4 можно написать следую1цее асимнтотическое представление для решения задачи (7Л4), (7.15): р(С, р)=у(Г)+е~(1, р), г(1, )ь)=я(С)+ет(1, )ь) (з(Ю) =ф(у(Г), Ю)). При этом остаточньш член ет(1, )ь) в выражении для з(ь', р,) не является равномерно малой величиной. Естественно предположить, что если к я(г) добавить разность хе(т) — ф(ус, 0), то получится формула г(К, р) = з(Г) + зе(т) — ф(уе, О) + ез(1, р,), где е»(», р) =».
0 на (О, 7*). В самом деле, величина ез(г, р) = з(», р) — з(г) — яе(т)+ф(у~, О) вдали от ( =О мала потому, что я(Г, р) близно к л(1), а зе(т) — к ф(ро, 0), а в окрестности 1=0 мала потому, что г(г, )т) близко к зе(т) (см. (7.30)), а з(г) = — ф(У((), 1) близко к ф(Уе, 0).
Разность зе(т) — ф(Уе, 0) осУществляет поправку на етютерю» дополнительного условия з(0, д) = хо, которому не может удовлетворить х(г), Выражение з(т)+з(т)— — ф(уе, 0) уже будет удовлетворять условию обращения в ле при т = О. Можно доказать, что з1(1, )») =0(р), ез(1, р) = 0(р).
Более того, при достаточной гладкости правых частей (7Л4) можно построить асимптотическое представление для решения задачи (7Л4), (7Л5) с остаточным членом 0()»иы), но, в отличие от регулярного случая (см. теорему 7.1), зто представление будет, помимо степенных пп р (или регулярных) Членов, содержать некоторые функции (так называемые пограничные члены), зависящие от )ь нс степенным образом; нограничиые члены имеют заметную величину в окрестности 1= 0, а далее с ростом 1 быстро убывают. Введенная выше разность зо(т) — ф(уе, 0) представляет собой пограничный член в асимптотической формуле с остаточным членом 0(р,).
После этих 'предварительных замечаний перейдем непосредственно к описанию общего алгоритма построения асимптотики решения сиигулярно возмущенной задачи (7Л4), (7.15). Представим з и р в виде суммы двух формальных рядов (здесь и в дальнейшем под х будем понимать х и р в совокупности, е) См. Васильеве А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические разложения решений сиитулярио возмущенкых уравнений.— Мл Наука, 1973, 192 Асимптотикя гжпении по ьгьлому пьуьмвтгу ' хГл. т т. е. если выписывается некоторое соотношение для и, то зто значит, что имеют место два в точности таких же соотношения для г и у) х = х(1, р,) + Пх(т, и), (7.34) где х((, р) - ОМ)+рБ1(1)+...
(7.35) — так называемый регулярньш ряд (ср. (7.6)), т. е. ряд по степеням р с коэффициентами, зависящими от Ф, а Пх(т, )г) Пах(т) + )гП1х(т) +... (7.36) — так называемый пограничный ряд, представлятций собой также ряд по степеням р, но с козффициентами, зависящими от т. Члены етого ряда называются пограничными членами. Подставим (7.34) в (7,(4), умножив для симметрии второе уравнение на рг р — '+ — Пг =- Р (г+ Пг, у + Пу, Ф)„ (7.37) и ~" -(- „~ Пу = р~ (г + Пг, у+ Пу, 1). Введем величины Р и ПР, полагая Р=Р(г(1, )г), у(1, )г), 1), ПР=Р(г(тп, и)+Пг(т, р), у(тр, )г)+Пу(т, р), тр)— — Р(г(т)г, )г), у(т)г, )г), тр) (аналогичные величины ! и Щ введем для )).
Тогда (7.37) запишется в виде р — + — Пг = Р+ ПР, р,— „" + — „Пу = р(7+ Щ). (7.38) Разложим тенорь Р и ПР формально по степеням )г (коеффициенты этих разложений будут зависеть от г и т соответственно): Р = Рс+ )ь)71+..., ПР ПсР+ )гП~Р+..., после чего в (7.38) приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р, причем отдельно зависящие от 1 и отдельно зависящие от т: Н д — „, гь, =Ры — уь =)ь) (7.36) Пьг П1 Р„Пьу Пь (7.40) Тем самым мы получили уравнения для определения членов раз- ложений (7.35) и (7.36). СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ % г1 Выпишем эти уравнения более детально для )с=О. Имеем 0 = г'и†= Р(ге~ Уе» с)» Л =»с(го Уе~ 1).
(7.41) Эта система совпадает, как и следовало охсидать, с вырожденной системой (7Л6). Имеем также (учнтывая первое из уравнений (7.41) ) »с . — П г = П,Г и. о — = У(ге(0)+ П,г, уе(0)+ П,у, 0) — Р(го(0), уе(0), 0)нн — = У (го(0) + Пег. уо(0)+ П,у, 0), —" П,у = О. (7.42) Начиная с й=1, уравнения (7.39) и (7.40) будут линейными относительно и„, уе и П„г, П„у. Обратим внимание на то, что система (7.39) не содержит производной от гм а только производную от у„, а система (7.40) имеет ту особенность, что второе уравнение в ней отделяется, так как его правая часть содержит члены только предыдущих номеров.
Для того чтобы из полученных уравнений (7.39), (7.40) определить члены разложений (7.35), (7.36), нужно задать начальные условия. Для этого подставим (7.34) в (7.15): хо(0) + )»хс(0) + ... + Пох(0) + )сП,хЮ) +... = х' (7.43) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях р в обеих частях этих равенств. Приравнивание коэффициентов при нулевой степени )» дает го(0) + Пог(0) = г' уоЮ) + Поу(0) = уо (7.44) Рассмотрим второе из этих равенств. Без каких-либо дополнительных соображений из него нельзя определить уо(0) и Поу(0). Однако на пограничные члены, которые призваны играть роль поправок в окрестности 1 О, а прн 1) 0 стремиться к нулю вместе с )», следует наложить дополнительное условие П,х — О прн т — ео.
Отсюда приходим к выводу, что Поу(0) = О, так как иначе (см. (7.42)) Поу(т) = — Поу(О) =сопз1~ О. Л тогда сж (7.44) уо(0) = уо. (7.45) При этом условии решаем систему (7.41) и получаем, что го(г), уо(1) совпадают с решением г(»), у(»), которое уже встречалось в теореме 7.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
