Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Однако при решении ряда вопросов математической физики приходится исследовать решение на произвольно большом промежутке изменения 1, например, для Ф 1/)А. В этом случае описанные в 9 1 методы неприменимы. Этот случай естественно отнести к классу нерегулярно возмущенных. Обратим внимание на то, что замена переменных $ = 1)т приводит к конечному промежутку изменения $, но уравнение принимает вид (О~т~2п) и 1пп — ~ У(т), 1)Ю= Г то Зли 1 о Действительно, Т = 2йя+ т тол+о о) Крылов Н.
М„Боголюбов Н. Н. Введение в нелинейную нехаквиу.— Киев: Нод-во АН УССР, 1937. В атой форме нерегулярность возмущения становится особенно хорошо заметной. В настоящем пункте мы опишем еще один асимптотический метод, развитый длн нерегулярно возмущенных систем,— так на,зываемый метод усреднения, основы которого заложены Н.
М. Крыловым и Н. Н. Вопыпобовым о). Этот метод, как будет видно ниже, особенно удобен для описания нелинейных колебательных процессов. Сформулируем правило построения асимптотики, которое дает метод усреднения. Введем функции т У(т)) = 1пп — ~ У(т), 1)дт, (7.87) т г л о яэлятощиеся средними значениями правой части по явно входящему переменному Ф. Неременное т) при этой операции считается фиксированным. Замечание. В случае ограниченных периодических по Ф функций (с периодом 2п для определенности) г гс сннгуляРныв ВОзмущен як Предположим, что кроме предельных соотношений (7.87) справедливы также соотношения т — =- 1пп —, ~ —.
(г), 1) с)Г, дГ 1 рдг. дц,„„р,~ дл (7.88) о дУ т. е. среднее значение производпой — равно производной от дс1 среднего значения У. Поставим в соответствие уравнению (7.86) следующее, так назьгзаемое усредненное уравнение, которое в принципе проще (7.86): ф =рТ (о)), г)(О) = у. (7.89) Справедлива следующая Теорема УХ Пусть 1'. В некоторой области 1у! <Ь, 0~1(о функция У(у, г) непрерывна и равномерно ограничена вместе с производной первого порядка ио у. 2'. При !у! -.= Ь существует среднее значение (7.87), а также справедливо (7.88), причем предельньш" переход в (7.87) и (7.88) имеет место равномерно относительно г) св ! — Ь, Ь1.
3'. Решения у и т) задач (7.86) и (7.89) существуют, и принадлежат ( — Ь, Ы при О~о «Ю)с, где Л вЂ” не зависящая от (с настоянная. Тогда равномерно относительно г ш(0, Ы)с) имеет место предельный переход 1пп(у — г() = О. в- о Рассмотрим величину н(с), г) = ~1"г (ть 1) — У(ч)1аг, о (7.90) (7.91) а также ее производную по о) с — = ~ [ — "~ (с), г) — Я с(с „ (7.92) )н —:- з(р). р —,, = (р). (7.93) Здесь и в дальнейшем условимся через з()с) обозначать любую величину, бесконечно малую вместе с )с равномерно относительно тех других переменных, например г( и Г, от которых зта величина зависит. Иными словами, (7.93) означает равномерное относидо тельно г! и г стремление ри и р — к нулю.
дз о и докажем, что в области !о) ! ~ Ь, 0 ~ г < Х,/(с справедливы соот- ношения Докажем первое из соотношений (7.93). Второе доказываетьа аналогично. Имеем ! ри (7), «) = р« — ~~У (7), «) — У (7))]»(« = р«У (7), «). о Пусть О< «<1/Ур, Тогда р«< Ур, У(7), «) равномерно ограни- чено относительно 7) »и 1 — ь, ь) в силу равномерности предельного перехода (7.87), т. е. ри(7), «) =0(Урд Если же 1/Ур<«<//р, то р«(Ь, а в силу (7.87) для ~/8-.0 Зрэ(б) такое, что при р < рв(б) выполнено ! У(7), «)1 < б/«; т.
е. 1ри! < б для всех 17)1<Ь. Поэтому ри(гь «)=в(р) для О<«<//р, что и требовалось. Введем теперь в рассмотрение функцию У(«, Р) = 7)(«) + Ри(7)(«) «) ° (7.94) Эта функпия удовлетворяет уравнению у'=рУ(у, «)+»7, у(0, р)=у', тле )7=-(и+ ри)' — рУ (и + ри, «) = рУ (7)) + р д— „— р~ ()+ри* '). ди ди дв дк Учитывая, что — — — рУ (т!) + —, что — — У (7), «) — У (7)) и что У (7) + ри, «) = У (7), «) + — (7У», «) ри, получим д» р дч (7)) р ду (7) " ) "» (р) (р) Нетрудно убелиться, что Л = у — у ~ 0 при р — 0 равномерно относительно «ю10, У/р).
В самом леле, величина Л удовлетворяет уравнению '" = „" (у + ОЛ «) Л + Л. (7.95) При этом 0 < О < 1, )7 = о(р), Л(0, р) = О. В свау условия 3' теоремы 1у+ ОЛ1< Ь при 0< «<//р. Поэтому существует не ва- дУ висящая от р постоянная Ь«такая, что —. (»/+ ОЛ, «) Л'! и из 17.95) получим Ва — (У+ЕА, !) а» а ду 1Л)= )е ~ /«»ф о ( о (р) е»гь / откуда и с.»едует равномерное относительно «»и 10, //р) стремле- ние Л к нулю при р — О.
200 АсимптотнкА Решен»ги по малому пАРАметРу и'л. 7 СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУШЕНИЯ Пользуясь этим результатом, соотношением (7.94) и оценкой (7.93), получим (7.90), и теорема 7.7 тем самым доказана. Замечания. (. Утверждение теоремы 7.7 остается справедливым для случая, когда в (7.86) величина р является вектор- дУ функцией. В условиях теоремы вместо — естественным обрааом ду дУв появятся производные †. В доказательстве встретятся небольдув ' шие технические осложнения при оценке А, которые можно преодолеть, пользуясь соображениями 9 4 гл.
2. 2. Теорема 7.7 была сформулирована и доказана при упрощающем предположении. что пе только решение т)(г, )ь) более простой, чем исходная, усредненной систегхы лежит в ( — Ь, Ь), но я решение у(т, )г) исходной системы также лежит в ( — Ь, Ь). От этого последнего требования можно избавиться, наложив дополнительное требованио на т)(в, р): П ~ ( — Ь + 6, Ь вЂ” 6) при О ( 7 ( хл')ь. Отсюда неравенство (р(г, р)( «с Ь можно получить как следствие. В самом деле, пусть при некотором Т ~ х.l)г имеем (р(Т, (ь)~ = Ь, т. е.
ннтегральная кривая выходит на грантщу области. Возьмем Тв (Т, достаточно близкое к Т, чтобы у(Т«, )ь) отличалось от у(Т, )ь) не более чем на 6/4. Поскольку (у(7, )г)( ( Ь при 0 ~( ~ Т«, то при 0 ~ 7 ~ Т* справедлива теорема 7.7 и при достаточно малых р Ч(Т«, )ь) отличается от у(Т«, )ь) не более чем на 6(4.
А тогда т)(Т«, )х) отличается от р(Т, )ь), равного Ь или — Ь, пе более чем на 6/2, что противоречит тому, что т~ж [ — Ь+ +6, Ь вЂ” 6). Противоречие приводит к выводу, что !у(г, р)((Ь для 0 ~1< Ту(г, а тогда, как было доказано, (7.90) справедливо на всем (О, 77)ь). Можно было бы не предполагать также и существования решеннв у(7, р,), а доказать его существование в окрестности т)(д), подобно тому, как это было сделано, например, в теореме 7.2. 3. Мы привели здесь простейшую теорему метода усреднения. Существует обширная литература, посвященная методу усреднения, в которой приводятся доказательства различных более тонких и сложных теорем и строятся приблшкенпя, дающие любую асимптотическую точность *). «) Подробнее г этим моягио онивяомиться, например, ло книгам: Боголюбов Н Н., М в т р о польский Ю А. Аслмятотические методы в теории нелинейных лолебвиий.— Мх Фянматгив, 196А Млтролольский Ю А.
Меток усреднения в нелинейной мехвиике.— Киев: Нвуковв думка, 1971. Волово в В. М., Моргунов Б. й. Метод осреднеиия в теории нелинейных колебательных систем.— Мс Нвд-во МГУ, 1971. Греб енин кое Н. А,, Рябов Ю. А. Новые квчествевяые методы в иебеслои мехввике.— Мл Нвула, 1971. 14 А. Н. Тихонов и ЛР. 2(О АсимптотикА РешениЙ по мАлОму пАРАмегРу игл. т П р и м е р. Рассмотрим уравневие Вав-дер-Поля х" — р($ — хт) х' + х = О, (7.96) описывающее ламповый генератор иа триоде с колебательным коптуром в аяодпой цепи х).
Перепишем (7.96) в виде системы х* = и, й = р($ — х*)и — х и аададям начальные условия х(О, р) = хс, и(0, р) = О. Ввелем новые перемеивые р,и ув положив х = у, сое(г + ут), и = — Р, аш (г + уг). В перемевных уь рт получим систему а ~ „э т — т [ — уг соа 2 (г+ у ) + т соа 4 (г + уе) 8 ( / у(1 — $ — — мп 2 (т+ Ут) — вГв 4(т+ Уа) У', при условиях у~(0, р) = хе, рт(0, р) = О, являющуюся системой типа (7.86). Усредвевиая система (7.89) имеет вид ч,'=~+(ю — л) ц', о; с<о) ', ьх о. Отсюда тм(т) а= О, Уравнение для т), отделяется.
Если построить плоскость д Чь то, как иа рис. 20 (данный случай отличается только масштабом по оси [), иетрудпо проследить, что если хс:х О, то существует решение П,(т), приближающееся при т- сс к тв = — 2. Эти решевия можно ааписать в виде квадратур. Приближенное решение ураввенин (7.96), получающееся по методу усредпекия,имеет, таким образом, вид х = [тп(т, р) + е(р))соа(г+ а(в)). (7.97) Ураввепие для тл имеет два стационарных решения тл ~2. Им отвечают решяия уравнения (796) вида х = [~2+ в(р))сов(т+ е(р)). Заметим, что рааложепием по параметру р в степевпой ряд (7.6) представление (7.97) пе получится.
а) См., например, Мищенко Е. Ф., Рахов Н. Х. Дифференциальные ураввения с малым йараметром и релаксациоввые колебавяя. — Мс Наука, т975. В книге дается еьпюд уравиения Вав-дер-Поля. Что касается асямптотикв, то авторы интересуются случаем, когда р не мало, а, напротив, велико. Поделив ва этот болыпой параметр, получим ураввевие, в котором малый мкожитель стоит при х . Такое ураввевие тоже принадлежит к типу сикгулкрво воамущенвыт, но описывает колебавия, ве близкие к гармоиическим, как в случае (7.96), а колебания иного типа — так пааываемые рхлаксачйояные холебаяил.
Монография Е. Ф. Мищевко и Н. Х. Роаова посвящена асимяготвческой теории релаксациоввыл колебаний для систем общего вида, раввитой Л. С Понтрягиным и авторами монографии. ГЛАВА З УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ПЕРВОГО ПОРЯДКА где г" — некоторая заданная функция своих аргументов, а неизвестной функцией является и, зависящая от аргументов хь ..., х„. Мы остановимся на двух частных случаях (8Л). Это так называемое линейное уравнение д»» ! ~а;(х», ...,х„) — =О и явазилинейное уравнение дм ~ а»(х„..., х„, и) — =- а (х», ..., х„, и)» »=» дз» (8.8) где а, а — заданные функции своих аргументов. 5 1.
Линейное уравнение Обратимся к изучению уравнения (8.2): а,(х„...,х„)д + ... +а„(х,....,х„) —. =О. (8.4) дз д14 Пусть хь ..., х„меняются в некоторой области 6, и пусть в втой области функции а,(хь ..., х ) 0 1, ..., и) обладают непрерыв- $4» Уравнения в частных производных первого порядка традиционно рассматриваются в курсе обыкновенных дифференциальных уравнений по той причине, что построение ях общего решения может быть проделано методами, развитыми в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Дифференциальное уравнение в частных проиаводных первого порядка имеет вид УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ 212 ными частными производными я не обращаются одновременно в нуль, что можно выразить в виде условия Х а';(х, .
° ., х ) ФО. 1г 1 Решением уравнения (8.4) будем называть любую функцию, обладающую частными производными по аргументам хь ..., х., которая обращает (8.4) в тождество. Геометрически решение могкно интерпретировать как поверхность з пространстве хи..., х„, и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
