Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Тогда и = ф(хь..., х ) является решением уравнения (8.28). Действительно, по теореме о неявной функции дф дУ )дт дтч дгу ди и тем самым левая часть уравнения (8.28) равна а ато в силу (8.29) есть а(хь ..., ф), т. е. уравнение (8.28) удовлетворяется. Доказанная теорема и результаты предыдущего параграфа приводят к следующему способу построения решений уравнения (8.28). Нужно написать систему уравнений, определяющую характеристики линейного уравнения (8.29): дх, дг„ди (8.30) ь Интегральные кривые системы (8.30), т.
е. характеристики линейного уравнения (8.29), мы будем наливать х а р а к т е р и стиками нвагилинейного уравнения (828). Если уравнение (8.29) удовлетворяет условиям, наложенным на линейное уравнение в з 2, то эти характеристики заполняют область П переменных хь ..., х, и, так что через каждуго точку П проходит одна и только одна характеристика. Далее, по формуле (8.25) строим общее решение уравнения (8.29) (только теперь уРАВнения В частных производных !гл. з независимых интегралов будет и и они будут функциями хы ...
..., х, и): о= Чг(гр~(хг, ..., х, и), ..., ~р„(хг, ..., х, и)). (8.3() Затем, полагая о =О, получим уравнение для определения множества решений уравнения (8.28): Чг(гр~(хг,..., х, и),..., гр„(х„..., х„и)) = О. (8.32) Замечание. Как было покааапо з $2, формула (8.31) прв достаточно общих предположениях содержит все решепия уравнения (8.гэ).
Можно ли сказать, что формула (8.32) содержит зсе решения уравнения (8.28)г Проанализируем доказательство теоремы 8А Прв проверке тождества (8.28) мы использовали тождество (8.29) и яам достаточно, чтобы (8.29) было тождзстзом по хь ..., х (прв атом и = ~р(хь ..., х )). Однако пра построении т(хь .. „х, и) требуется большее, а именно, чтобы (8.29) было тождеством по х1, ..., хх, и. Поэтому априори ае исключена возможность, что могут быть такие решения (8.28), дзя которых (8эз) удовлетворяется ае тождественно по хь .. „х, и, а только при и = <р(хь ..., х„). Такие решения, вообще говоря, ие содержатся з формуле (8.32). Ови называются специальнымя решзпяями.
Могнпо полазать, что специальное решение — случай исялючвтельный, и в дальнейшем рассмотрении мы их принимать во внимание не будем. В отличие от линейного случая, в квааилинейном случае характеристики лежат не в пространстве хг, ..., х„, а в пространстве хь ..., х, и, и поэтому геометрический смысл характеристики здесь иной.
Докажем следующий факт. Теорема 8.6. Всякая интегральная поверхность и 1(хн ... ..., х„) состоит иэ характеристик в том смысле, что через каждую точку этой тшверхности проходит некоторая целиком леясагцая на ней характеристика. Дока ватель ство. Рассмотрим систему уравнений ах зх у (х1 ° хз)) зз (х1 хж 1 (хг или (8.33) ЕХ1 — = аг (Х1э ° ° .1Хя 1(Х1~ ° ° 1 Хэ))» (8.34) определяющую кривые в пространстве хг, ..., х,. Возьмем одну из них: х1=х1(1).
В пространстве хь ..., х„, и ей будет отвечать кривая хг=хг(Ю), и=((х1(1), ..., х„(1)), лежащая по построениго на интегральной поверхности и = ~(хь ..., х ). Докажем, что ато — характеристика. Действительно, так как имеет место (8.33), то для доказательства того, чтгь 2 2) КВАЭИЛИНЕЙНОЕ Ъ'РАВНЕНИЕ удовлетворяются уравнения (8.30), достаточно проверить, что Ии 42 — =а. Но » » да '%' д1 дэ« '~ д1 д« >ь« аз~ Ш,~~~~ дэ « в силу (8.28), чем и завершается докааательство. Пусть интегральная поверхность нам неизвестна, но известны характеристики; тогда, если мы сумеем «склеить» из характеристик гладкую поверхность, то она будет интегральной поверхностью, так как вектор (аГ, ..., а„, а), касательной к характеристике, будет также касательным к поверхности, а следовательно, Гд1 д1 будет ортогональным к вектору» —, ...,—, — 1~, нормальному д з'' эй к поверхности, а условие ортогональности как раа и означает выполнение уравнения (8.28).
Эти геометрические соображения приводят к следующему истолкованию формулы (8.32). Система уравнений (8,33) дает и- параметрическое семейство характеристик, которое можно, используя и первых интегралов, представить в виде фс(хГ, . „х, и) = О; (2 = 1, ..., и). (8.35) Это семейство характеристик ааполняет всю область 1). Наша задача — выделить иэ этого множества (и — 1)-мерное подмножество, которое будет обрааовывать интегральную поверхность. Для этого достаточно параметры ОГ, ..., О„связать, наложив произвольную достаточно гладкую связь вида ЧЧОн ..., О ) = О. (8.36) Подставляя сюда (8.35), получим (8.32).
Этн же геометрические соображения дают возможность предложить следующую процедуру для решения задачи с' дополнительным условием (аадачи Коши), которая ставится следующим образом: через (и — 1)-мерное многообразие ГГ в пространстве хь ..., х„, и провести интегральную поверхность. Это многообразие можно задать параметрически в виде х4 е»1(э!г а эв-Г) Ь = 1~...~ и) (8.37) и-ю(«Г, "., 2„,). Таким образом, аадача по существу та же, что и для линейного уравнения. Теперь мы должны связь (8.36) кало>кпть не произвольным образом, а исходя вз (8.37).
Для этого подставим (8.37) в (8.35): ф~(юГ(эь ..., г Г), ..., е»(гГ, ..., »„ГИ О; И=1, ..., и) [гл. 8 РРАвнения в члстных ПРонзводных и, исключая отсюда ги, г и получим искомую свяаь (8.36), в которой Ч' будет уже, вообще говоря, вполне определенной функцией, а (8.32) будет давать решение задачи (8.37). Не проводя в общем виде аяалиаа того, какие особенности могут представиться при выполнении описанной процедуры, проследим зто на трехмерном случае (подобно тому, как было сделано в $ 2), которому отвечает уравнение А (х, у,и) — + В (х, у,и) д — — С (х, у,и). (8.38) Зададим Г| (в трехмерном случае ато кривая): х=Х(г), у=УЬ), и=Из). (8.39) Выписываем систему (8.30), имеющую вид и находим два первых интеграла <р;(х, у, и) И=1, 2).
Подстав-. ляя (8.39), получим ~р;(ХЬ), УЬ), Иг)) =О, ((=1, 2). (8.40) Исключая из атих двух уравнений г, найдем связь Ч'(0„02) = О. (8.41) Тем самым уравнение искомой поверхности будет Ч'((р>(х, у, и), <рг(х, у, и)) О. (8.42) Геометрический смысл процедуры очень простой: из каждой точки заданной кривой Г~ выпускается характеристика, и все такие характеристики в совокупности образуют искомую интегральную поверхность (рис. 25). Вместо представления (8.42) для интегральной поверхности, имеющего фюрму непосредственной связи между х, у, и, иногда удобно параметрическое представление, если в качестве параметров взять г и, скажем, х. Пусть, на- У пример, С(х, у, и) =О.
Тогда один из первых интегралов равен и, другой— х <рг(х, у, и) и искомую поверхность мож Рвс 25. но записать в виде х = х, и = ЕЧг), у = УЬ, г), (8.43) где УЬ', г) определяется неявно уравнением 2рг(хв уз С(г)) Ч2( ~(г)з УЖ П(гП. увавнвния в частных шоизводных 1гл. з П р н м е р 8.5. Линейное уравнение можно трактовать как кваэклнпейное. Прп этом а = О н заведомо одним нэ первых интегралов является и. Вто соответствует установленному в 1 1 факту, что вдоль характеристики и.= сопэс (теорема 8.1).
Рассмотрим уравнение дх ди у — — х — =- О (8.45) и решим его эквазнлвпейнымэ способам. Соответствующая система (8.32) дает дэа первых интеграла: <р1 = и, чч = хз+ рэ. Формула (8.32) дает ч" (и, х'-)- + уэ) = О, откуда и = Ф(хэ+ уэ). Таким образом, решением уравненвв (845) является провввольная гладкая поверхность вращеввя. Рассмотрим теперь различные дополнительные условия: А. Г,— прямая линия: х = э, у = э, в= э. Опвсавный прием дает О, — — э, Оэ = 2э" ~ Оэ =28г~.
п решением задачи будет х'+ рэ= 2й — конус. В. Г, — окружпостэс х = соз 1, д = зш д и = 1. Тазик образом, Г, является характеристикой уравнения (8.45), рассматриваемого как квазнлпнейвое уравневве. В денном случае имеем О~.= 1, Оэ = 1 н решенвем будет позерхвость вида Ф(и, х'+ дэ) — Ф(1, 1) = О. Геометрически ясно, что через заданную окружвость действительно можно провести бесконечно много поверхностей вра|ценвя. В. Рассматривая (8.45) как лвнейвое уравнеш|е, можно продемонстрировать случай, опвсанный в конце и. 1 1 2, когда решепве задачи Коши не существует.
Пусть Ъ аадана в анде х = сов д р = юп ц а в! = — ь Любая поверхность вращения имеет постоянную аплвкату на заданной окружности То в, таким образом, ус юзве и( =гудавлетворепо быть не может. т» 2. Понятие о разрывных решениях. Ударные волны. В настоящем пункте мы рассмотрим одно характерное для квазнлннейных уравнений явление, которого не наблюдалось для линейного случая. Продемонстрируем это явление на простейшем примере квазилинейного уравнения в трехмерном пространстве (в переменных 1, х, и), при этом положим С(1, х, и) =О. Такой случай уже был описан в предыдущем пункте и на нем была продемонстрирована параметрическая форма записи (8.43) поверхности (8.42). В этом случае имеем два первых интеграла и и юз(1, х, и), а семейство характеристик (8.35) имеет вид и = Оп <рэ(1, х, и) = =От.
Проекции этих характеристик на плоскость (1, х), вообще говоря, могут пересекаться (в отличие от картины, изображенной на рис. 21, относящейся к линейному уравнению). Это приводит к следующему на первый взгляд парадоксальному результату. Рассмотрим такой пример: + из — = О. ди ди дт дх Зададим дополнительное условие и(0, х) = ио(х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
