Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Из (7.41) получим го(0) = ср(у(0), 0) = ср(уо, О)„ а тогда первое из равенств (7.44) дает начальное условие для 13 Л.Н, тииоиои и ир. $94 АсимптотинА Рвшении по мгломь' ИАРАмктРМ [гл. т г~(0) + П1г(0) = О, у~(0) + П~у(0) = 0 (7.48) Кроме того, нужно воспользоваться условием П1у — О при .г Из второго уравнения (7.40) (при й = 1) имеем И~у (т) = П у (О) + ( П УИгг с откуда в силу условия на П1У при т- следует П,у(0) = — ~ П,(~(г.
с (7.49) Сходпмость появившегося здесь интеграла будет доказана ниже (см. (7.54)) и вообще все выкладки ведутся пока формально. С учетом (7.49) для П~у получим П,у (т) =- — ~ П„р'6г. (7. 50) Из второго равенства (7.48) теперь следует у,(О) =- 1П,Уаг. (7.51) с Это и будет начальным условием для системы (7.39) при 5 = 1, откуда определятся У1((), г~(1). После этого из второго равенства (7.48) получим П~х(0) = — з~(О). (7,52) Псг. Итак, начальные условия для системы (7,42) имеют вид Псу(О) = О, Паг(0) = гс — гс(0) = гс — вр(ус, О).
(7.46) Поэтому Псу(т) =-=О, а Псг(т) является решением следующей начальной задачи: Н вЂ” П,г = г (~р (уг, 0) + П г, у', О), (7.47) П.г(О) =" — р(у', О). Сравнивая задачу (7.47) с задачей (7.28), нетрудно установить, что Псг= ге(т) — <р(ус, О). Об этой разности уже шла речь выше перед началом описания общего алгоритма.
Полученное выше неравенство (7.29) означает, что Пег(г) — 0 при тИтак, нулевые члены разложений (7.35), (7.36) полностью определены. Приравнивая в (7.43) коэффициенты при первой степени )г, будем иметь СИНГУЛЯРНЬГК ВОЗМУПСЕНИЯ 195 Это условие позволяет найти Псг из первого уравнения (7.40) при й = (, поскольку Псу уже определено. Совершенно аналогично определяются П„р, йм зм П„з И=2, 3, ...) из системы (7.39), (7.40) с помощью дополнительных условий Птт- 0 при У (0) = ~ П, с~ с(т„Пнх (О) =- — (О). о (7.53) Тем самым описание построения ряда (7.34) закончено.
В теории сингулярных возмущений доказывается, что для Пьх имеет место оценка )Пьл) (Се штз (Се=0, 1... ), (7.54) где С)0, сс~Π— некоторые постоянные. Эта оценка означает зкспоненциальное стремление Пьл к нулю при т-, это же неравенство обеспечивает сходимость интегралов в (7.53). Основное утверждение, относящееся к только что проведенным построениям, заключается в том, что ряд (7.34) является асимптотическим 'рядом для решения х(С, р) задачи (7Л4), (7Л5), а именно, в теории сингулярных возмущений доказывается, что разность между х(С, р,) и и-й частичной суммой ряда (7.34) имеет порядок 0(р +').
Таково обобщение теоремы 7Л на сингулярно возмущенную систему. Подробнее с зтим можно ознакомиться в книге*). Приведем доказательство аснмптотячоского представления для решения задачп (7.14), (735) с остаточным членом 0(р). Доказательство представлопяя с остаточным членом 0(р" +') сложнее лишь в чисто техническом стпошепвя. Положим Ь = з — ес — Псз, 6 = у — у, и перейдем в (7.14), (735) к переменным й я 6: дй С е дПве р — „, =р(зч+Пе +6, у,+6, с) — р ас' — дт', д6 до, — С=С(с,+ П,с+6, у,+6, С) — — ', ЬСО, В)=О, 6(О, р) =О. (7.55) (7.56) «) Васильева А. Б„Бутузов В. ср.
Аспмптотячоскяе разложеявя решений сявгулярно воамусцоппых уравнений.— Мл Наука,'1973. 13* Теорема 7.6. Пусть выполнены условии: 1 . Р(з, у, С) и Пе, у, С) непрертлвны по совонупчисти арзументов в некоторой од*асти С7. 9. На сезменте (О, T) опРеделено Решение Ус(С), зс(С) задачи (7.41), (7.45) и зто решение принадлежит 77. 196 АсимптотикА Репгкнии пО мАлпму пАРАметру [Гл. т 3 .
р,(го(г), уо(г), г) существует, непрерывна и отрицательна ири сон О, Т). Ы . . го принадлежит области влияния (р(уо, 0). 5". При 0 < г < Т, )Ь) < е, )б) < з (е — некоторов, меже~ быть, достаточно малое, но 4иксированное, нв гависящее ат р число) р(го+ Пг+ Ь, ус+ 6, г), 7(го+ Пег+ 6, уо+6, г) непрерывны вместе с проивводными до второго порядка включительно по Ь и б. Тогда на 0 < г < Т существует решение Ь(й р), б(Г, р) вадачи (7.55), (7.56), единственное в области )Ь) < в, )б) < е, где с достаточно мало, и справедливы равномерные относительно ге= (О, Т) оценки б(г, р) - 0(р), б(г, р) = 0(р).
(7.57) утверждение теоремы ознаооает, другими словами, что в окрестности Х кривой г = го (г) + Пег ~ — ), у = уо(г) существует единственное решение задачи (7.14), (7.15) и справедливо представление (г)+П ~ — )+0()о), у(й р) =у (г)+0()о). (7.53) Заметим, что (7.58) содержит утверншение теоремы 7.4. Доказательство представлнет собой развитие схемы, изложенной выше (см.
докааательство теоремы 72). Лемма Тчй Имеет место неравенство )Пог) < Се «Мо, (7.59) вде С ) О, х о 0 — некоторые постоянные Мы уже видели выше, что Пог-ьО при т — т со. Сейчас требуетсв лишь уточнить характер этого стремления к нулю. Обратим внимание на то, что (7.59) — это (7.54) прн г = г, й = О.
Из (7.47) имеем (напоопгвм, что ц(уо 0) го(0) уо уо(0)) П г = Р (г (0)+ ОП г, у (0), 0) П г, откуда )тгг(гПОГЬЗП,г.умсва)аг П г =- (го — ср(уо, 0)) ез Выберем т, так, чтобы длл т > то Пог было достаточно малым, и фиксируем зто ть П,г должно быть малым настолько, чтобы, как следствие 3; было выполнено неравенство р,(го(0)+ ОПсе, уо(0), О) < — х < О. Имеем тогда го ) К, )Кгд ) П г) =) г~ — р(у 0)~ее ет' < ) к,аг < ~ г~ ( о О) ~ ео н(т гоз < С нт щ ) Кгаг так как !го — Ч(у', О)!ео е о <С.
синрунярные ВОлылсцения Запишем (7.55) в виде дб р — = е (Ь, б, с, р) Ь + е, (б, б, с, р) б + В (с, )с), дб — = а„(Ь, б, с, р) б+ е (б, б, с, р) б+ В, (с, р), 1 е =- ~ Е (з" + П з+ 66, у + б, С) д6, й 1 е„,=-.~р„(.=,+П,з, р,+66, с)дб в (ем, ем имеют аналогичную структуру), дй и В (С )с)=Р1з +Пз УШС) р зСС сС, Пз до В,(С, р) = С(з,+П„з, у, С) —,С, Лемма 7.6. Справедливы ецвнпи Вс(С, р) = О(р), Вз(6 р) = 0(в "Нв), Оценка для Вз получается сразу из леммы 76, так как если учесть (7.41), то Вз 7~(зв+ ОПвз, Уз, с) Пвз. Чтобы получить оцеяку для Вь достаточно убедиться, что 'с)Л = д = Е (й + П з, у, С) — — „П з = О (р].
Используя (7.сс7), представим сНВ, в виде сс)Л =Р(з (с)+Пз,р (с),с) — в~~ (О)+П„з,у (0),0)= 1 = Р(П;, с) — ф(П„,,О)= ~' Р,(П;,Ос)дб. е Но сдс(Пвз, Ос) = = Гз (,зв (6с) + Пзз, ув (6с), Ос) зо (Ос) + Рз (') йо (Ос)+ Рс(.) = = Р ~з (Ос) + 6 Поз, р (8с), Ос) з„(Ос) П з. Здесь учтено, что Е(аь уо, с) = 0 и, следовательно, «взГе рв ') со+ Рз (') "е+ Рс(') =О Отсзода Лс~ < С!СЗ С(С (За~~Пав~ < Ссв иССВ <СР, так как зрр(св ысз) = рв Чх. с 198 АСНМПТОЧЧСКА РЕШЕНИЙ ПО МАЛОМУ ПАРАМЕТРЪ' !ГЛ.
Т Перепишем (7.60), введя асэ(с, р] а» (О. О, с, р), Ьм = ам — ацо бс = Ь Д + Ь б (с, Ь = 1, 2) ". ац р —,=а Ь+аээб+б +Л, (7.61) Осб — =а А+а 6+Б -с-Л ас 21 22 2 ~ э' Ив второго уравяеяия (7.61) имеем с й я б ~а б(с)е" ят+Ь +л, О (7.62) где с ) ас б = ~ бает с)т, ~ Лв')= О ) аээаэ Л ет с(т О с ~ С ~ э-хтглдт О откуда Нэ = су(р). Подставляя вто в первое уравиеяие (7.61), получим ) аээаэ р — = — а Ь+асэ ) а А(т) ет с)2+б -(-Н, (7.63) О где оэ = асэсч + ба Лэ = амЛэ+ Лс = 0(р). Ив (7.63) имеем э ~азваэ I р О О (7.64) гдо )с О Ь ==) — ет Ьдт, 1 ь ) „э О (7.%) с ф.,аб а аглае э как оцеяка Первее Получим 1Г- -)а„~ф жс-тэ справедлива оцеякас (э, докааываюсцаяся так же. для П,э е лемме 7дс Отсюда следует, что Лэ = П(эс).
слагаемое в (7.64) преобразуем иптегрироваяяем по частям. Ь (с) = ~ К, (с, т. р) Ь (т) т+ Ь, + Л„ е СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗЬСУПСЕНИЯ где )К,(с. т р)~= 1 а. С(взяв Цанеб „Й,р) „(,р)ет — ' Ж р р С <) — „в и 4<К, т т. е. Кс ограничено при д- О. В виде, анита~сеном (7.64), можно переписать и (7.62)с 6()= ~ К (,,р)Л()й +Х, +)С о (7.66) ~аые) где)К (с,т,р)!= а„(т,р)ек ~<С.
Рассмотрим выражения Хь Хс, „которые возникали в процессе проведенных выкладок. хе Явлаетсл фУнкцней ь и б. В области )сс(«е, )б) «е ~Ь,(С)„бз) — Хс(С)„бД«пс(' а )йз — бс)+ Р)бз — бс~), (7.67) (сшг) ' ' со гс причем и, <. 1, если е достаточно мало. Тем же свойством обладает Хь Хе(Ь, б) является уже не функцией, а некоторым оператором от Ь и б, но в силу свойства Хз с ~йы,й ~ ек (Ь (Л„б ) — Хс (Лн б ) ~йт о Х (йыб) — Х (с)ыб)~= < .,(,с)( р !б, — с)с~+ чр ~б — б ~) ° (Со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
