Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таким образом, у(1) служит для у(1, (1) приближенным выраяеением, а е(1, р) есть погрешность этого приближения. Формула (7.3) является простейшим вариантом так называемой асимптотической формулы (или асимптотического представления) решения у(1, (1) по малому параметру )1. Асимптотическими формулами по малому параметру мы будем называть такие формулы, в которых некоторые члены, называемые остаточными членами, выписываются не точно, а укааываются лишь их свойства при )1 — О, например порядок стремления к нулю при (1 — О.
В формуле (7.3) з(1, 11) является остаточным членом. Теорема 2.8 дает возможность указать порядок стремления з(1, р,) к нулю. В самом деле, существование производной по 11 дает возможность написать у(1,р)=у(1).+ —,'У ((,Ер)р (О«=В::=1) (7.4) и установить тем самым, что з(1, р) =0((1). Здесь и в дальней- П1ЕМ Падабного рода равенство означает, что (з(1, (1)! (С)1, ГдЕ С вЂ” некоторая постоянная, не зависятцая от )1 при достаточно малых р. Чем меныпе 11, тем лучше у(1) приблня1ает у(1, )1).
Однако в реальных задачах )1 является малой, но не бесконечно малой величиной. Поэтому асимптотическая формула произвольную степень точности обеспечить не может и это нвляется ее принципиальным недостатком. Тем не менее асимптотнческие формулы очень удобны в .тех случаях, когда требуется получить качественную картину решения. еп РЕГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ 3 а м е ч а.н иг. Сквгвнвоо относится к задачам, в которых малый параметр р является естественным фпввческвм малым параметром. о;учцгствуг>т, однако, задачи иного рода, нгпрвмгр задачи, вовникав>щяе пря обосновании вычяслвтельпых алгоритмов, когда искусственно вводится некий малый параметр, свежем, велнчвяа шага, значением которого можно распоряжаться провввовьяо. П такого рода задачах обеспечивается произвольная степень точности.
Результаты гл. 2 позволяют получить для у(г, р) асшвптотаческую формулу с остаточным членом более высокоге порядка малости, чем 0(р), если )(у, г, р) удовлетворяет условиям, обеспечивающим существование и+ 1 непрерывных производных по р. Сформулируем этот вывод из $5 гл..2 в виде отдельной теоремы. Теорема 7.7.Пусть в некоторой области >л переменив>х у, 1, р 4ункция >(у, $, р) обладает непрерывными и равномерно ограниченными частными производными по у и р до порядка и+ 1 вкл>очительна. Тогда существует сегмент (О„Т), на котором для решения у(г, р) задачи (7.1) справедливо асимптотическое представление в у (г, р) = у (г) + р е" (1, 0) + ... + р †"„ (1, О) + + (г р)* ер" (7.5) где г„о>(г, р) =ь 0 при р О, 0 ~ 1 < Т, причем е +>(г, р) = 0(р"+>). в"у Замечания. 1.
Величины — (1, О) определяются из уравпений в вариациях, выписанных в у 5 гл. 2. Представление (7.5) можно получить и иначе. Подставим в (7.1) выражение для у в виде формального ряда у =ус(1)+ ру,(г)+ ° . ° (7.6) Раскладывая после подстановки величину у(уг+ ру,+..., г, р.) также формально в степенной ряд, получим "о у> +р + ° "= о>> в> = 1(у„г, 0)+ — (у„г, 0) ру, + — (у„у, 0) р+ ... ...
+ —, (ру> —, + р, — ) 1(у„У, 0) + ...; 11 в в'1" у,(0)+„у,(0)+ ... =у. Приравнивая члены с одинаковыми степенями р, будем иметь >"уо — „"=1(уж 1,0), у,(0) у', (Уо 1,0)У>+ в (Уо У 0) У>(0)=0о (77") (зо Асимптотика Ркщвния по мАлОму ЛАРАмктру «гл. т Решая последовательно эти задачи, определим члены ряда (7.6).
Задача (7.7') для ро(«) совпадает с задачей (7.2), и, стало быть, в силу единственности ро(г) = у(») Задача (7.7") — с задачей для — '" (», 0)(см. (2Л49)), и, стнло быть,р, (С) = — '" (Г, О) и т. д. др зр 2. Если ~(р„(, р) обладает в В непрерьй»ными и равномерно ограниченными проивводными любого порядка, то в (7.5) и является величиной проиввольной. Для р(», р) тем самым определен ряд Маклорена с общим членом роро(») = р" — '„(Г„О) такой, „в"ч з и что разность г„+«(», р) между частичной суммой этого ряда и решением р(«, р) есть 0(р"+'). Такой ряд называется асимптотичвснии рядом, или асимнтотичесяим разложением по малому параметру р для р(«, р).
Подчеркнем, что е.,~((, р) =0(р"+') прп фиксированном я и р О. Если жс р фиксировано, а и, то г„+»(», р) может предела не иметь, т. е. построенный таким образом ряд сходящимся, вообще говоря, нс является. 3. Вместо тсриннов «асннптотнческая формула», «аснмптотвчесное продставлевнс», «асннптотнчоское равчож«нве» употребляется краткое название «а«амат«тика» 4. Теория, развитая в з 5 гл. 2, и следующая из нее теорема 7Л дают математическое обоснование «обычной» для физики и техники операции отбрасывания малых членов в уравнении. Зги малые члены часто называются возмущениями.
В свяви с этим уравнение (7,2) называется невоанущгнным уравнением, а уравнение (7Л) — возмущенным уравнением. Теория, имеющая целью обоснование асимптотики по малому параметру р, часто называется теорией возмущений. Теорема 7Л справедлива при условиях достаточной гладкости (пли, как говорят, регулярности) правой части (7Л) по у и р.
Возмущения, подчиняющиесн требованиям теоремы 7Л, называются регулярными возмущениями. Зтим разъясняется название иасто~пцего параграфа. П р н и ер. Получим справедлнвув на (О, Т) аснмптотнческую формулу с остаточным членом 0(р») для рею«пня Р(ц р) задачи д —— а («) Р + о (») + Р («) Р», Р (О) = О. Это травненнс рлвнатн, рож«вне которого зффентввно получить нв удает ся. Функции жс у«(«) н РЩ строятся квааратураив, а именно Р« а, = а («) Р + Ь («), Р (О) = О, тат нвгь лягныв возмь щглшя % и следовательно, )мол г (г) = ~ ь (т) ' вк ~~ = з 00 н + е (г) е , о (о) = о, и н, следовательно. ! ) мгле о (О=~с(т)о~~(т)е вп ой,р)=д (г)+ру,Р)+О(и~).
а 2. Существование решения возмущенной задачи. Результатьг, полученные в $ 5 гл. 2, обладают той особенностью, что справедливость асимптотического представления гарантируется на некотором сегменте (О, Т1, определяемом свойствами правой части (7 1), одновременно с существованием и единственкостью как невозмущенпого, так и возмущенного уравнений. Можно ставить вопрос иначе.
Допустим, что решение невозмущенной задачи (7.2) существует, единственно и принадлежат некоторой области С пространства переменных (у, а) при О~Ф» » Т. Величину Т в данном случае можно, например, установить непосредственно из явного вида у(г). Будет ли при достаточно малых )ь решение задачи (7.1) также существовать па всем [О, Т) и подчиняться формуле (7.3)? Ответ на этот вопрос дает следующая Теорема 7.2. Пусть в области С: (О (»Т, (у( Ь, 1)ь(»)ь) 7((, у, р) и — (1, у, р) непрерывны и равномерно ограничены: в? Пусть решение уЯ задачи (7.2) существует, единственно на (О, Т1 и принадлежит 7): (0»Г» Т, (у!» Ь).
Тогда при каждом 'достаточно малом )ь решение у(1, )ь) задачи (7.1) также существует, единственно на 10, Т1 и принадлежит С, и имеет место равномерный относительно 1 ы (О, Т) предельный переход 182 Асиьштотикл Решении по мллоьгу ПАРАметгу ггл. т Доказательство. Перейдем в (71) к новой неизвестной функции Ь = р — р(П.
Имеем ~, = 1(р + Ь, г, р) — 7'(у, 1, О) =: =И +Ь,, ) — ~(р,с,и+Ир,с, ) — ~Ь,1,ОЯ= = 1,(Ь, г, р)+ Р,(1, р); Ь(О) =- О. Перейдем к зквивалентиому иитегральиому уравнению Ь =) У,(Ь, г, „)~и-)-йт(г, Р), о (7-9) где г (1, р) = Р)Ут(8, р) Ж, причем !г"т(1, р)! <го(р). Здесь и в с дальнейшем бесконечно малые при р- 0 величины будем обоз- начать а(р), ю1(р) и т. д. Применим к уравнению (7.9) метод последовательных приблилекий и докажем, что Ь(1, р) суще- ствует иа сегменте (О, Т! и !Ь(1, р)! ~ ге~(р).
Это, очевидно, рав- носильно утверждению теоремы 7.2. Построим последовательные приближения обычным образом (см. гл. 2, 5 6): (л+иЬ ~у (ЮЬ 1 „)71 ! р (1 с Предварительно заметем, что так как у=р(1) принадлежит С для 0(1-=Т, то криван р=р(г)+Ь, где !Ь! ~с1(р)* при до- статочно малом р, также прииадлекотт гг' для О(1( Т. Положим 'с'Ь = О. Тогда ~ '~'Ь ~ < гс (р), !'ИЬ! <ы(р) 61+ ы(р), (7.10) ~ +'~Ь~ <ст(р)~ХА — + .. +И+ 1~ <ге(р)е~ . В равномерной сходимости последовательности '"'Ь к решению Ь(1, р,) уравнения (7.9) можно убедиться совершевко так же, как в з 6 гл. 2. В (7.10) может в пределе при й- появ~ггься равенство. Позтому (Ь(1, р)! с= ге(р)с~~=ге1(р), что равносильно (7.8). Замечания.
1. Теорема доказана для скалярного случая, на аналогичное утверждение скраведлаво н для случая, когда р — вектор. синГуляРные Возмь шення 2, Теорема 7.2 остается справедливой, если имеет место вовмущеиис яе только в уравнении, ио и в начальных условиях, т. е. (7Л) имеет вид — „, =- 1(Р, С, р), Р(ы, (и) .р) =- г + ы, (р). й 2. Сингууляриые возмущения В прило1кеннях нередко встречаются случаи, когда малый параметр )х входит в уравненпе таким образом, что теория предыдущего параграфа неприменима. Рассмотрим в качестве простейшего примера движение маятника (см. гл.
1, $ 2), )су" + ау'+ йу =1(1), (7Л1) где 1=)х является малым параметром. В случае, разобранном в предыдущем параграфе, в целях получения приближенного выражения для решения можно было в уравнении формально положить )х 0 н взять решение полученного таким образом упрощенного уравнения. Можно лп поступить так же в случае (7Л1)7 Движение маятника в (7.11) определяется заданием начального положения и скорости у (0) = ус, у'(0) = ус. Полагая в (7.11) )х= О, мы получим уравнение болев низкого (первого) порядка.
решение которого определяется только заданием у(0). Тем самым заранее ясно, что, поступая так, мы не можем учесть все факс торы, определяющие решение (7Л1), и по крайней мере в окрестности начальной точки правильной модели не получим. Таким образом, выводы предыдущего параграфа в данном случае несправедливы и, стало быть, условия теорем предыдущего параграфа нарушены.
Чтобы понять, какие условия нарушены. запишем (7.11) в форме (7Л) (уравнение уже будет векторным, но, как отмечалось выше, это не принципиально): г'= "+1() =-~,(г,у,(,(х)„ р У' = = 1г (, У, 1, Р). Отсюда видно, что ~~ не является непрерывной функцией )х при (х = О, т. е. не выполнено основное требование теории предыдущего параграфа — требование непрерывности правых частей. Другнмн словами, можно сказать,что в данном случае правая часть зависит от (х нврвгуляр ым, или сингулярным, образом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
