Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В данном случае кривая Г~ — это 1=0, х= з, и = по(з). Первыми интегралами будут и и х — иэг. Представление для искомой интегральной поверх- квзаилинвйное ттлвненнв ности можно получить, пользуясь формулой (8.43). Оно имеет вид С = С, х = г+ й(г) С, и == и«(з). (8. 46) Уравнение х = г + и«(г) С описывает проекцию на плоскость (С, х) той характеристики, которая проходит череа точку г кривой Гь а ие(г) есть значение и над этой проекцией. Зададим конкретно и«(з) = 1 — г.
Рассмотрим характеристику, проходящую череа точку Гь отвечающую г = О. Ее проекция есть х = С (прямая 1 на рис. 26). Точке г = Чг отвечает характе- 1 С ристика с проекцией х = — + — С (прямая 2) и точке з = 1 — ха- 2 4 рактеристика с проекцией х 1 (прямая Я). Над прямой 1 имеем Рвс. 27.
и=и«(г) =1, над прямой Я имеем и=1/2 и над прямой 8 имеем и=О.'Но прямые 1, 2 и У пересекаются, и получается, что, например, в точке А аначение апликаты искомой интегральной поверхности должно быть одновременно равно и нулю и единице (!). Чтобы разъяснить атот кажущийся парадокс, найдем решение поставленной задачи в явном виде. Имеем и = 1 — г, х= г+ + (1 — г)«С, откуда, исключая г, получим ! — И вЂ” «Сà — ) (8.47) ж (радикал берется со знаком « — з, чтобы удовлетворялось условие и(0, х) 1 — х). Иа выражения (8.47) непосредственно видно, что решение определено левее гиперболы: 4С(1 — х) =1 (рпс. 27, кривая Ы.
В точках гиперболы Ь подкоренное выра1кепие обращается в нуль, а далее с ростом С становится отрицательным. Таком обрааом, в точках гиперболы решение перестает существовать. ди Заметим, что при атом — -«со. Нетрудно проверить, по ва 15* !Гл. 3 УРАВИКНИЯ И ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ др линии Ь нарупгается условие —.
Ф О, фигурирующее в теореме 8.4. Слева от гиперболы пересечения проекций характеристик не происходит и никакой «неоднозначности» в решении нет. Прямая х=( «не доходит» до прямой х= 1, так как прямая х=г сначала обязана пересечь гиперболу, а на ней решение перестаег существовать. 3 а м е ч а н и е. Гипербола Х является местом пересечения бескопечно близких проекций, з данном случае огибающей семейства к = г + (1 — г) »П Ее можно найти, воспользовавшись гдиспрпминаитной кривой этого семейства. То, что решение существует лишь в ограниченной области, можно наблюдать в для обыкновенных дифференциальных уравнений, но разобранный сейчас случай интересен тем, что он имеет непосредственную связь с рассмотренны- ,РЩ ми физическими задачами. Обратимся к аадаче и.
4 з 2 гл. 1 (см. уравнение (1.33)). Функция р(и), которую можно получить экспериментально, имеет характер, представленный на рис. 28 Таким образом, физически интересный случай качественно ие слишком сильно оти личается от примера р = и», который тольРзс. 28. ко что был исследован. Естественно о кидать, что в рассматриваемой физической задаче реп«ение перестает существовать на некоторой линии Ь, при этом обратится в бесконечность производная по х, подобно тому, как з разобранном примере.
Но ведь физически процесс имеет место и за линией Е, т. е. для ббльших й Возникает вопрос,каким же образом получить отвечающее данному физическому процессу решение, справедливое за линией Ь? Для рассматриваемой задачи решение можно записать в виде, аналогичном (8.46): х =г+ р(ио(г)]1, и= иа(г). (8.48) Линию 1, можно найти так же, как и в примере, используя г-дпскриминантую кривую, т. е. исключая г из системы г = г+ р (и, (г)] г, О = 1+ р' (и» (г)] и, (г) 1. Кривую Ь удобно представить параметрически (опять через г) в виде р (к, («)] х — — г— р (и (»)] и„(») (а» («)] э«(») квхзилинепное угзвнвиие Проекции характеристик в данном случае, как и в примере, представляют собой прямые, причем прямая, выходящая из точки 1=0, к=з, имеет наклон р(и«(зД. Пусть и«(з) убывает по з.
Так как р(и) возрастает по и (см. рис. 28), то наклон характеристики убывает с ростом з, т. е. характеристики «сходятся» к »шнни ь, аналогично тому, как зто изображено на рис. 27 для примера с р = и». Если наблюдать процесс при фпксированном х=в», то при ди приближении» к (» (точка (»е, х») лежит на ь) — увеличивается, т. е. наблюдается резкое изменение плотности. Наблюдая физическое явление, можно в самом деле отметить в определенный момент времени резкое изменение плотности: череа точку х» в момент 1» проходит так нааываемая ударная волна. Затем процесс снова идет достаточно влавно, пока не образуется новая ударная волна„ но может случиться также, что новой ударной волны не воаникает.
Как же описать процесс поело прохождения ударной волны? Решение, определяемое как дифференцируемая функция, удовлетворяющая уравнению (8.38), дает возможность описать процесс только до возникновения ударной волны. Естественно, напрашивается мысль о расширении понятия решения уравнения (8.38). Мы будем искать решение в классе разрывных функций, подчиняя характер разрыва определенным требованиям, соответствующим физической природе описываемого явления.
Такое решение мы будем называть обобщенным. Не задаваясь целью построить обобщенное (разрывное) решение для общего случая (8.40), рассмотрим, как оно строится для нашего физического примера (1.33). Слева от кривой?, (в области 1) решение строится методом, описанным в п. („ такое решение мы будем называть классическим. Далее, принимая Ь за проекцню некоторой новой начальной кривой, будем снова строить классическое регление методом п. 1. Вопрос заключается в том, какое значение и следует взять вдоль кривой А для построения этого решения. Для выяснения этого вопроса мы используем физические соображения — все тот же закон сохранения ьолячестза вещества, который привел к дифференциальному уравнению (ЕЗЗ).
Обозначим через и, предельное значение и на линии г. (ее можно назвать линией разрыва), которое получено из классического решения, определенного начальными данными, т. е. предельное значение изнутри области 1 (до разрыва). Для построения следующего гладкого участка нам нужно найти предельное значение и» изнутри области 11 (после раарыва), которое примем за начальное для построения решения на следующем после разрыва »тале. т»лвнкния В частных пгоизводных ' )гл. з Уравнение баланса запишем с этой целью в следующем виде (учитывая, что и(х, Ю) =и!, и(х, й+ЬХ) =и», и(х-Лх, !) иг, см.
рис. 29, где изображен бесконечно малый прямоугольник, левая верхняя вершина которого лежит в области 1 бесконечно близко к линии Ь, а остальные в х области 11): — (иг — и,)Лх = = Ь(и!) и! — и(иг)и»1 Лт. Переходя к пределу Лх — О, Л! О и учитывая, что — стре- 1Ы Ы Иг Рвс. 29. мится к производной — от функ!!! ции, описывающей кривую Ь (эту производную естественно наавать скоростью движения разрыва и»), получим (~!) "! "("г) ~г и и — и ! г (8.49) Зная и! и и„, можно по этой формуле определить иг Зная иг, можно снова построить гладкий участок решения до новой кривой типа 6.
Такой кривой может, однако, и не возникнуть. Мы уже видели выше, что возникновение первого раарыва было связано с тем, что характеристики «сходилнсь». Второго разрыва не возникает, если после раарыва характеристики окажутся «расходящимися». Аналитически возникновение или отсутствие разрыва выясняется точно так же, как это делалось выше для решения (8.48). ЛИТЕРАТУРА 1. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— М.г Наука, 1974. 2.
Стен анов В. В. Куре дифференциальных уравнений.— Мл ГИТТЛ„ 1953. 3. Петровский И. Г. Лекции яо теории обыкновенных дифференциальных уравнений.— Мл Наука, 1970. 4, Зльсгольц Л. Э Дифферевциальвые уравнения и еариациовное исчисление.— Мл Наука, 1965. 5. Смирнов В. И. Курс высшей математики, т. 2.— М,: Наука, 1974. 6. Карташев А. П., Рождественский Б. Л. Обьпсноеенные дифференциальные ураеневия и основы еариациовного исчисления.— Мл Наука, 1976.
7. Х ар ты а н Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.— Мл Мнр, 1970. 8. В р у г и н н. и. книга лля чтения но общему курсу дифференциальных уравнений.— Минск: Наука и техника, 1972. .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
