Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Будем называть эту поверхность интегральной повсрхностьк>. $. Двумерный случаи. Рассмотрим сначала случай п=2 а на нем поясним основные идеи построения решения *) дм ди А (х, р) — + В (х, р) — = О. (8.5) Выражение слева можно интерпретировать как скалярное Ь зи) произведение векторного поля (А,В) на йгас) и=) —, — ), и, таким образом, (8.5) означает, гго производная от и по направлению вектора (А, В) равна нулю.
Обозначим через Г кривую на плоскости (х, р), которая обладает тем свойством, что касательный вектор к этой кривой коллинеарен (А, В). Ее параметрическое представление (параметром является 1) можно получить из системы уравнений „вЂ”, =А(х,у), — =В(х, у). Фазовые траектории системы (8.6) на плоскости (х, у), которые являются интегральными кривыми уравнения йа Н(х.И ( „ сх А (х, Р)1 сх А(х,у) — — (или уравнения — == — ' су В (х, Р))' (8.7) называются характеристиками уравнения в частных производных (8.5).
Вместо пары уравнений (8.7) часто записывается одно уран пение в симметричной относительно х и у форме сх йа (8.8) А (х, у) Ь'(х, у) В силу условий, наложенных на А и В (Аг+ВзчьО), через каждую точку С проходит одна и только одна характеристика (см. гл. 2, 2 2, замечание 7). х) Строгие доказательства будут содержаться в я. 2,.посвященном мвогомсрвому случаю. %6 линейнОВ угхвнепне Пусть и = п(х, у) — интегральная поверхность уравнения 18.5). Будем рассматривать ее над характеристикой.
При этом а будет сложной функцией й и = и(хП), уП)1. Нетрудно видеть, что полная производная от и по 1 е силу (8.6) совпадает с левой частью (8.5): ди ди ди ди ду ди ди си дидс дуси * дх — = — — + — — = А(х,у) —. + В(х, у) —. ду' (8.9) ди Следовательно, в силу уравнения (8.5) —, = — О, т. е. Над характеристикой апликата и интегральной ноэерхностп сохраняет постоянное значение — характеристика является линией уровня интегральной поверхности„ рассмотрим некоторую кривую т, не совпадающую с характеристккой (рис. 21). Через каждую точку М(х, у) области С проведем характеристику. Точка ее пересечения с кривой т однозначно определяет эту характеристику, т.
е. характеристики обризуют однопараметрическое семейство. В качестве параметра можно взять, например, расстояние О по кривой т от некоторой фиксированной точки (хо, уо). Положение точки М на каскдой характеристике определяетсн параметром (. Как видно из (8.6), д можно задать с точностью до произвольного слагаемого, поэтому будем считать, что точка пересечения каждой характеристика с кривой ( соответствует значению с йь Таким образом, в области С каждой точке М(х, у) можно поставить в соответствие пару чисел (6, г)с О определяет характеристику, проходящую через М, а 1 — значение параметра на характеристике, отвечающее точке М. Тем самым мы имеем взаимно однозначное соответствие (х, у) иь (О, с) или, аналитически, х=х(6,1), у=У(О,П, (8.16) 0=9(х, у), 1=Т(х, у). В переменных (О, с) уравнение характеристики имеет вид др „ вЂ” = О, откуда О = С.
Таким образом, вдоль характеристики 61(х, у) С. (8 11) Переменные О, Ф удобны в том отношении, что, перейдя к этим переменным, мы можем легко получить решение уравнения (8.5). Обозначим п(х, у) = и(Х(0, г), У(0, д)) = д(0, 1). тилвнвния в частньгх производных (гл. з В силу (8.10) уравнение (8.5) в переменных и, 6, т имеет вид ди до = О (решение сохраняет свое значение вдоль характеристики). ди 'Рак как — = О, то и янляется функцией только 6, т. е. и =Р(0), а тем самым и(х, у) =Р(8(х, у)), (8.12) где Р— произвольная функция своего аргумента.
Мы приходим, такям образом, к выводу: оби)ев рвшв ие уравнения (8.5) имеет вид (8.12), гдв Р— произвольная функция арвумента 9(х, у), а 9(х, у) — левая часть (8.11). С другой стороны, если нам каким-то образом удалось найти функцшо ор(х, у), обладатощую тем свойством, что онв тождественно обращается в постоянную вдоль каждой интегральной кривой уравнения (8.8), т. е. вдоль каждой характеристики, то в переменных (6, $) зта функция должна зависеть только от 6, но не от г, т. е.
ор(Х(6, 1), У(0, 1)) =ор(0). Поскольку в (8Л2) Р— произвольная функция, выражение для общего решения можно писать не только в виде (8Л2), но и в виде и(х, у) Р(ор(х, у)). (8.13) Действительно, Р(ф) = Р(ор(6)) =Р(0), и мы приходим опять к (8Л2). П р в и е р 83. Пусть в (8.5) козффвцвевты являются ноетоявнымвг А = Ао, В'= Во. Из (87) находвн у — иои = совой где ио = Во/Аа. Тогда согласно (838) общее решение имеет ввд и(и. у) = г'(у — ио*). одуякцяя г (у — о ы) называется бегущей волной со скоростью ио в нрсфвлем Е(у).
Легко повять смысл етого названая, если и интерпретировать как время, обозвачвв через с Нарисуем профили волям в моменты б в го (рвс. 22). Прв ио) 0 в оо ) го в(г,у) второй профиль едвввут вправо как единое целое на величину бу = (й — 6)иь Действительно, у+ Ьу — иого = ив — иооь т: е.
в точках у в у+ау волвый аргумент й один и тот аое, а Ьу/Ьо = ио, т. е. скорость сдвига есть иь +,1 Согласно (8Л2) или (8.13) общее решение гас. 22. уравнения в частных про- изводных зависит от произвольной функции, т. е. содержит еще ббльшую степень произвола, чем в случае обыкновенного дифференциельного уравнения. Рассмотрим вопрос о том, каким образом из мнояоества (8.12) можно выделить единственное решение. линеЙнОе урлвнение 218 ПУсть на кРивой Тс, УРавнение котоРой х х(з), У=У(э) н которая не совпадает с характеристикой ни на одном интервале положительной длины, задано дополнительное условие и(х, у)Ст, =се(э), (8Л4) где ы(э) — заданная функция переменной з.
Это задача называется начальной задачей, нли задачей Коппг для уравнения (8.5). '1ак как Тс не ЯвлЯетсЯ хаРактеРистикой, то 6(х, У) вдоль тс меняется: 9(х,у))т, = ь = 8(х(г), у(э)], т. е. является функцией з. Аеьс самым э=()(Э), а ю(э)=ы(Щ)). Значение и в точке $ на кривой Тс есть ссЮ(э)). Если теперь через точку $ кривой провести характеристику, то ее уравнение будет иметь зид 9(х, у) $, а значение решения в точках этой характеристики равно ыЮ(9(х, уН). А так как через каждую точку С проходит характеристика, то эта формула является выражением для решения в любой точке области С: и(х, у) ы(ь)(СО(х, у))).
(8Л5) Соответствующая геометрическая картина представлена на рис. 23. Нетрудно и непосредственно проверить, что формула (8.15) дает нужное решение: во-первых, это решение, так как содержится в (8.12), а кроме того и(х,у))т, = со(() Щ) =со(з),т. е.
удоалетворяетсн условно (8.14). Замечания. 1. Вместо 9(с, р) во всех этих рэссужленнкх можно пользоваться в(х, р) (см (ЬЛЗ)) и=со(ср®1 н,(П(й д 2, Конечно, следует иметь в эн- ду, что лля попучення П(2] нужно, 51 эс э, Рнс. 24. чтобы $ вдоль т~ зависела от с монотонно, кэк, напрнмер, на участке (сь ст) (рнс. 24) Тсгда с = И($) опрелэлено алноэнэчно.
П р я м е р 8.2. Рассмотрнм уравнение нэ примера 8.1 н э качестве (8.14) возьмем условие к(С, 8) = и(С). (8.16) Здесь Т, есть прнмая у = О, пнрлметром с служит С. В этом случае р(С, д) К вЂ” о,С, р(С, р)( = — э С 2, С = П(2) углвнкнсся В чьстных пгоизводпых Следовательно, искомое рзшзаке Сгр ' у) с ч'с и(с, р) = рс — с) = р~с — — ' Таким образом, решепке пзлзетск бзгушей волной, профиль которой однозначно определяется заданной фувкппгй р,(с). Пусть теперь П созпздает с какой-либо характеристикой.
Здесь могут предгтазпться разные случаи. а). и(х, у) ~т =- сопзс = и,. Тогда решевве, очевкдно, определяется неоднозначно, тзк как решекссесс втой задача будет любая фуккцнк и(х, у) = = с(6(х, у)), лишь бы 7(6 (х, гс) „) =. з . Папрпмзр, можно получить с (6 (х, у))=г" (О (х, у)! — г"'(6(х, Г) (, )+ и (павомввм, что г(6(х, у) ) ) =— = сопзс), где г" — уже прокззозьвая фупкпня. б) з(х, у) ) +соссзи В етом случае решение задачи ве существует, так как всякое репюнпе уравнения (8.5) постоянно вдоль харзьгеристикн н, следовательно, поставленное на тс услозке удовлетворено быть пз может.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
