Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Поэтому возмущения типа'(ху", т. е. когда малый параметр входит как множитель при старшей производной, получили в литературе наавание сингулярных возмущений. Простейшие примеры показывают, что сингулярно возмущенные системы обладают рядом свойств, коренным образом отличающих их от регулярно возмущенных систем, исследованных .в 21с 1З4 Асимптотикз Ркшвнни по мллоьгу ПЛРамвтРу 1гл. т Рассмотрим уравнение ду' = ау+ Ь; а = сопз~, Ь = соне(, (7Л2) при начальном условии у(0, )г) = уе. Его точное решение имеет внд у(г р) (уо+ "~~ аз ау а (7Л3) где )г ) 0 является малым параметром. Поставим начальную задачу г(0 р) го у(0 р) уо (7ЛЗ) Начальная задача для уравнения (7Л1), очевидно, содержится здесь как частный случай.
1'. Правые части (7.14) будем предполагать непрерывными вместе а частными производными по г и у в некоторой области Н = ((у, 1) ш Р (О < г < Т, ! у! < Ь), ! г) < Й. Полагая в (7.14) формально у*=0, получим невозмущвннук1 систему уравнений, илн, как ее называют в теории сингулярных возмущений, вырожденную систему, так кан ее порядок ниже, чем порядок системы (7Л4): 0 = г' (г, у, г), —," = 1(г, у, г). (7.16) Полагая в уравнении (7Л2) р = О, получим (применяя обозначения 4 1) у = — Ь/а.
Анализируя (7ЛЗ), можно видеть, что близость у к у имеет место лишь пря выполнении некоторых специальныл условий, о которых не было речи в 4 1. А именно, если рассматривать решение начальной задачи вправо от 1= 0, то у - у, если а<0, а )г- +О (или а>0, а р- — 0). Если же д- 0 произвольным образом, то ни пра а < О, ня прв а~О решение у предела не имеет и является неограниченным. Кроме того, если даже выполнены условия а<0, )г- +О (или а>0, р-« — 0), предельный переход у- у имеет место для 3, строго больших нуля, так как при $ О у(0, р) ус, а ус, вообще говори, не равно — Ь/а. Все зти факты говорят о том, что в сингулярно возмущенных системах пренебрегать малыми членами можно лишь прв выполнении особых условий и выяснение этих условий требует специальной теории, к которой мы и перейдем.
1. Уравненне с малым параметром при старшей производной. Теорема о предельном переходе. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений вида р — '=г(г,у,г), — з=1(г,у,г), (7.14) СИНГУЛЯРНЫЕ ВОЗМУЩЕНИЯ Нтобы определить решение этой системы, надо, прежде всего, разрешить первое из уравнений (7.16), ноторое является конечным (не дифференциальным), относительно г. Это уравнение нелинейное и поэтому может иметь несколько решений. Мы будем предполагать, что все решения (корни) г=ф(у, Ф) этого уравнения действительны и изолированы в Р. Надо выбрать один из корней г=ф(у, 8) и подставить его во второе уравнение (7Л6). Вопрос заключается в том, какой иа корней следует выбрать, чтобы обеспечить близость конструируемого нами решения системы (7.16) к решению г(Г, )Г), у(1, )г) задачи (7Л4), (7Л5).
Правило выбора корня ф(у, 8) будет сформулировано ниже (см. 3', 5'). После подстановки г ф(у, 1) во второе уравнение (7Л6) получится дифференциальное уравнение относительно у и для однозначного определения у потребуется задать начальное условие. Кстественно предположить, что из двух начальных условий (7.15) следует оставить лишь одно: условие нв у. Итак, мы приходим к задаче 4=1(фБ,Г),у, Г), у(О)=у', (7. 17) где ф(у, 8) — один иэ корней уравнения г'(г, у, Ф) = О. 2 . Будем предполагать, что функция ф(у, г) непрерывна вместе с производной по у, когда (у, г) ш Р.
Определение. й'срань г=ф(у, 8) буден называть устойчивыл в области Р, если при (у, г) снР выполняется нера- венство — е(ф(у, 1), у, Г) С О. (7Л8) Зъ меч аняе. Ср. требование а (О в рассмотренном выше првмере. 3'. Будем предполагать, что в (7.17) ф(у, 1) является устойчивым корнем. 4'. Будем предполагать, что решение у(Г) аадачи (7.17) определено на сегменте О ~ ) ~ Т и принадлежит Р = (О ~ Ф ( Т, (у( ( 5).
Прежде чем производить дальнейшее исследование задачи, рассмотрим один частный случай, а именно р — „= г" (г), г (О, )г) = г'. (7.19) Этот случай, во-первых, интересен своей геометрической наглядностью, а во-вторых, соответствующие результаты пригодятся при рассмотрении общего случая (7Л4). Пусть г=ф является устойчивым корнем уравнения Р(г) = О. ф в данном случае является константой, а,0 — любым интервалом 186 лси>«птотикл Репгэнии по и>лому плулмвтгу.; «гл.
т (7.20) ЛР вещественной оси. Условие устойчивости (7.18) имеет вид — „(«р) < О. Пусть кроме ф уравнение Р(г) = 0 имеет еще корни фг, ..., причем ф«и «рг — два ближайщих к ф корпя соответственно снизу и сверху (рис. 20, на котором представлена полоса 0~ 8 < Т, где Т вЂ” любое положительное число). Проследим эа полем направлений уравнения (7.19). При достаточно малом )«векторы, касательные к — 1 интегральным кривым, расположены почти параллельно оси г (эа исклю)««««««« чением малой окрестности корней « сунке указывают знак функции Р(г). уравнения Р(г) = 0).
«+> и « — > на рве ««Р г Заметим, что, поскольку „— (ф) ~ 0 («« корень ф является простым и при г = ф происходит смена знака функции Р(г). Рвс. 20. Пусть ф«( г>(«рг. Рассмотрим мно- жество точен «г — ф! (е, где в произвольно мало (в-окрестность корня «р). Характер поля направлений сразу дает возмоя«ность заключить, что интегральная кривая, начинающаяся в точке (О, г«) (на рисунке приведены два варианта: г«(ф и г«) ф), будет резко идти вверх (прп г>< ф) или, наоборот, вниз (при г«> ф) и, достигнув э-окрестности ф, далее из нее уже не выйдет, если только )«достаточно мало.
Это и означает, что решение г(«, )«) задачи (7 19) при )« — 0 близко к решению ф вырожденного уравнения Р(г) = О, если но считать некоторой окрестности г = 0 (см. пример). Из этого геометрического рассмотрения ясно также, насколько гажно, чтобы начальное значение г> лежало в области «р«( «р С фг, называемой областью влияния (или областью притяжения) корня ф.
Если, например, г«.сф«и Р -.0 при г сф«, то интегральная кривая уйдет вниз от ф«и тем самым пе может приблизиться к «р, а если ге < ф«и Р)0, то криван приблизится к «рь т. е. опять- таки, не к «р. Результат, полученный нами из геометрических соображений, можно сформулировать в виде следующей теоремы. Теорема 7.3.
Если ф — устойчивый корень уравнения Р(г) = О, а начальное значение гс лежит в его области влияния, то решение г((, )«) задачи (7 19) существует на сегменте 10, Т) и для него имеет место предельное соотношение )ппг(«, )г)=ф при 0(г(Т. о Приведем теперь аналитическое доказательство утверждения (7.20). Пусть для определенности г«( «р, Рассмотрим прежде всего сиигулянпые ВОзмущения область зо ях ( ф — з, 0<1( е, где е- О произвольно мало В этой области рассмотрим задачу (7.19), беря х в качестве кеза- Ш 1 висимого переменного: — =- р —, 1(х") = О. Если р достаточна с' (с)' но мало, то, как следует из теоремы 7.2, ка сегменте (хо, ф — з) существует единственное решеяие Кз) этой задачи и оно сколь угодно близко к вертикали 1= 0 (в смысле расстояния вдоль оси 1), Кроме того, око положительно в силу полояительиости г"(г).
Таким образом, интегральная кривая, начинающаяся в точке (О, зе), вхоДит в е-окРесткость с=ф пРи 1=ге, гДе го= ю()ь).Сз. Нетрудно убедиться, что, попав в е-окрестность г=ф, инте- гральная кривая из кее уже ке выйдет, пока ге < 8 ( Т. Для этого воспользуемся рассуяздекиями, подобными тем, которые проводи- лксь в теории устойчивости (гл. 5).
Введем функцию )г(х) = (з — ф)з. Предположим, что иптегралькая кривая при 1= 11) го зр д выходит иа е-окрестности прямой з = ф. Тогда имеем — ~ ~ )О. дс !=я Но с другой стороны, в силу свойства г(з) «0 при х ф, обеспеченного условием услг тойчивости — „(ф) ч. О. Противоречие приводит к выводу, что интегральная кривая останется в з-окрестности а=ф. Так как ока попадает в эту окрестность при 1=8е( з, то в силу произ- вольной малости з это фактически означает справедливость (7.20).
Утверждение (7.20) можно записать также в следующей удоб- ной для дальнейшего форме. Введем независимое переменное т = 1/)ь. Тогда задача (7.19) примет вид 2— — — -Е(з)а х(0) =з'. (7.21) Утверждение (7.20) означает, что )(шх(т) = ф, или, иначе, для )~з л те(з) такое, что при т Р- то справедливо неравенство (з(т) — ф( ( е. (7.22) Замечания. (. Как видно из проведенных рассуждений, предельный переход (7.20) ие является равномерным относительно гш (О, Т), что хорошо илльострируется рис.
20. 2. Термин «устойчнвый нореньз не является схучайвьтм. Нетрудно проследить связь проделанных построений с теорией устойчнвостн (см. гл. 5). Действительно, з = ф явлнется точным решением уразненнз (7.21), причем дР в силу у(ф) (О это решеняе аснмптотнческн устойчиво но Ляпунову. Чтобы убедиться в этом, достаточно сделать замену переменных а = з — ф я воспользоваться теоремой 5.1 нлн теоремой 5.3, аэнз в качестве функция 108 Асимптотикг Решении'по менему пАРАметРу ' [гл. т Ляпунова У.= х».
Тс, что интегральная крякая е = е(т) остается з е-окрестности прямой е ф, об>еспечеве устсйчвесстые решения е = ф урана» пеняя В = р(г). Вернемся к общему случаю (7Л4), (7Л5). При рассмотрении этого случая идеи теории устойчивости будут сочетаться с идеямн теории регулярных возмущений. Сопоставим аадаче (7Л4) (7.15) задачу в*о р — ' = т" (г„, уе, О), г, (О) = '. (7.23) Эта задача является исследованной уже задачей типа (7.19). В силу 3 ге «р(уе, О) является устойчивым корнем уравнения р(г„уе, О) =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
