Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 20

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 20)

Так как степенной ряд на интервале сходимости можно почленно произвольное число раэ дифференцировать, то, проделывая это дифференцгцввание, подставляя в левую часть (3.102) (см. (3.104)) и складывая затем оба ряда, получим в силу самого определения коэффициентов а, ряд, состоящий иэ нулевых ~ленов. Тем самым уравнение обращается в тождество.

Линейную независимость у1(х) н ут(х) можно докаэать от противного. Пусть Сгу~(х)+Стук(х) = О, причем С~8+С,Ф О. По- 1 ложим х =О. Тогда ув(0) = О, р„(0) = — —, следовательно, — С,в— 2 =О, откуда С1 = О. Имеем тогда Сврв(х) =О, но тогда 1 уи(х) = О, что противоречит, например, тому, что рв (0) = — ~— э. Таким образом, теорема докаэана.

в) Ом. Ильин В. Л., Возник Э. Г. Основы математического енализа„ч. 1.— Мк Наука. 1ЭУ1. ГЛАВА 4 КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ 5 1. Постановка краевых задач и их физическое содержание В предыдущих главах изучение дифференциальных уравнений было в основном посвящено решению начальной задачи Коши, в которой в качестве дополнительных условий' задаются начальные условия, определяющие значения неизвестной функции и ее производных при фиксированном аначенин независимой переменной. Однако, как указывалось в гл. 1, начальные условия пе являются единственно возможной формой дополнительных условий, выделяющих определенное частное решение. Во многих случаях в качестве дополнительных условгп1 задаются граничные условия, определяющие аначения неизвестной функции и ее кропзводных (вли некоторых выражений от них) при нескольких фиксированных аначениях независимого переменного. Задачу определепля частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным граничным условиям, будем называть краевой аадачей.

Исследование общих свойств и методов решения краевых задач и составляет содержанке настоящей главы, при этом основное внимание будет уделено изучению краевых аадач для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, К краевым задачам для дифференциальных уравнений сводятся многие математические и физические задачи. Так, рассмотренная в гл, 1 задача определения состояния статического равновесия закрепленного в граничных сечениях упругого стержня с коэффициентом упругости й(х) под действием внешней силы 1(х) сводится к краевой задаче ~, ~Й (л) — „ ] = — У(л), и(0) = О, и(Х) =О. (4.1) Аналогично, для амплитуды и(х) установившихся гармони ческнх колебанш1 частоты ю получим краевую задачу — ~й (х)-"~+ оРр(л) и(х) — 1(х), и(0) = О, и(1) О.

(4.2) постлнонкл кглввых злдлч ец Здесь р(х) — плотность стержня. В случае задания величины смещения граничных сечений вли задания действующих на граничные сечения внешних сил однородные граничные условия следует заменить на неоднородные условия вида и(0) =- и„илн й(0) — „" (О) =7(0). (4.3) К краевой задаче для системы дифференциальных уравнений второго порядка (4.4) сводится задача определения траектории материальной точки массы ш, выходящей в начальный момент 1о вз заданной точки хо(г($о) го) в попадающей в момент 1~ в точку гт(г(11) =г1). В дальнейшем будут рассматриваться краевые задачи на отрезке [О, В оси х для линеиных дифференциальных уравнений второго порядка у" + д(х)у'+ Ь(х) у )1(х), (4.5) где д(х), й(х), [1(х) — непрерывные функции на [О, 1), Введем функцию ,[аиха р(х) =е (4.6) и заметим, что р(х) —;+ р(х)у(х) — = — [р(х) — ь нв У д[ лк1 (4.

7) Умножая (4.5) на р(х) (очевидно, р(х) ФО на [О, П), получим Е [у) — — ~р (х) ф — о (х) у (х) = У (х), (4.8) тде д(х) = — р(х)й(х), [(х) = р(х)п(х), а через йу! мы обозначалн дифференциальный оператор в левой части (4.8). Из проведенных рассмотрений следует, что без ограничения общности рассмотрение краевых задач для общего линейного дифференциальтюго уравнения второго нарядна (4.5) может быть сведено к изучению краевых задач для уравнения (4.8). Краевые задачи для уравнения (4.8), как правило, рассматриваются с линейными граничными условиями видав) а~у'(0) + ~~У(0) ио, (4.0) нвУ (() + раУ (() мн в) В (43) нрсднолагаются односторонние нроиаводныо.

>гл з БРАввык эгдАч>т тто где ас, >)» И=1, 2), из, ис — ааданные числа, некоторые иа которых могут быть равны нулю, причем с»с + РУ Ф 0 (с = 1, 2). Есл>т а»= 0 И= 1, 2), то соответствующее граничное условие обычно называется условием первого рода; если р»=0 (»=1, 2) — условием второго рода; если а» и рс одновременно отличны от нуля— условием третьего рода. Краевые задачи, в которых правая часть уравнения не равна нулю, будем называть неоднородна>гси краевыми задачами.

Рассмотреншо этих задач посвящен 2 2 настоящей главы. Краевые аадачи для однородного уравнения с однородными граничными условиями будем называть однороднььии краевым>г задачами. Важным случаем однородных краевых задач являются так называемые задачи на собственные значения, состоящие в определении вначений параметров, входящих в дифференциальное уравнение, при которых существуют нетривиальные решения соответствующей однородной краевой задачи. Изучение ряда общих свойств задач на собственные значения будет проведено в З 3 настоящей главы. 3 а ы е ч а н и я.

1. Не ограничивая общности, неоднородную краевую задачу можно рассматривать с однородными граничными условиями. Действительно, в случае неоднородных граничных условий решение задачи можно искать в виде у(х) = У(х) + з(х), (4 10) где функция У(х) удовлетворяет лишь заданным граничным условиям, а в остальном произвольна.

Очевидно, такую функцшо всегда можно построить. Например, в случае граничных условии первого рода у(0) = из, у(() = и, в качестве функции У(х) можно выбрать линейную функцию > — х х У(х) = и, — + и,—. (4.11) Тогда для функц>п> г(х) получим неоднородну>о краевую задачу с несколько измененной правой частью, но однородными граничными условиями. 2. В общем случае для уравнения п-го порядка приходится рассматрявать краевые задзчя с грапячяымя условиями более общего вида Рс(у(0), „ут '>(О), у(>), ..., ут" '>(>)) = О„ (4.12) где я — порядок урззяеяяя, а Рс( ° ) — заданные функции от значеяпй уетяеяяя я его производных з граничных точках. Например, условиям типа (4,12) удовлетворяет задача определеяяя периодических решений, з которой дополнительные услозяя ямзют вяд у(О) = у(>), у~(О) = у'0), ..., ут"-'>(О) = ут"-с>(>), (4121 ПОСТАНОВКА КРАВВЫХ ВАдАч Отметим важныо для дальнейшего свойства решений уравнения (4.8).

Пусть у(х) и з(х) удовлетворяют уравнениям А [у[ = — [р(х) — '[ — о(х) у =((х) (4Л4) Ь [з) =- — „х ~р (х) +~ — д (х) г =. у (х). (4Л5) 'Умножая (4.14) на г(х), (4.15) на у(х) и вычитая почленно, получим а(х) — [ р(х) — 1 — у (х) — [р(х) — "1 =-((х) г(х) — д(х) у(х). (4Л6) Так как — [р(х)~х — — у — )~ = ! Л. ЛР ИР'и'[ = з — [ р (х) — ~ — у — [ р (х) — ~ + р (х) [ — — — — — ~ л*[ и 1 и*[ х~ [ ох ох !!хих~' то (4.16) может быть записано в виде — „х ~р (х) ~з — „— у — [1 = ) (х) х (х) — у(х) у (х). (4.

17) )(*ь!д! — ду! !)н =(р(о( + — „ы Ц о = ) (((х) з(х) — у(х) у(х)) Их. (4.18) о Из формулы (4.17) следует, что если у!(х) и ут(х) — два линейно независ!!мыл решения однородного уравнения (((х) =- =-у(х) =О) Х [у) = — „р(х) — — о(х) у = Ол И Нд то они удовлетворяют соотношению НД НР '[ р(х) ~у, —," — у,— ![= С, (4.19) 'Ото соотношение носит название тождество Лагранжа. Его ин- тегральная форма называется формулой Грини: [гл. г кглввыв задачи г12 3 ам еч а н и я. 1.

Поскольку решения однородного уравнения определены с точностью до произвольного множителя, константу С в (4.20) можно определить, лишь выбрав множители у решений, т. е. проведя так называемую нормировку решений. 2. Из соотношения (4.20) следует, что если известно какое- либо решение у1(х) однородного уравнения, то любое линейно неаависнмое с иим решовне р(х) этого уравнения удовлетворяет линейному дифференциальному уравнению первого порядка ЫУ '~У~ С и () — — — у(х) = —.

Характеристики

Список файлов книги