Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 11
Текст из файла (страница 11)
.) ддд о ..., у (1, а, + Ьа), ао+ Ьа) с)О, (2Л45р 1 ср, (с, Ьа) = д — '(у,(г, а,),..., у (ю, а,), а, + ОЬа) с)О. (2Л46) 1". дг о ду Здесь —,' равны нулю, если сс является одним иэ удд и отличны, вообще говоря, от нуля, если сс является одним из рд. Начальные условия для функций г1(1, Ьа) также имеют различный вид в зависимости от того, является ли параметр ао каким-либо ив начальных значений задачи, или нет.
Если аст'= ус и поскольку у<(го, ао) = Уж, У1(го, ссо+ Ья) = У1о, то в силу (2Л43) г1(го, Ьа) =О. Если же ад = уад то у1(со, яо+ Ьа) =(ад+ Ьа)бе и г,(со, Ьа) = бэ (бо — символ Кронекера). Из (2Л45), (2Л46) видно, что ас»И, Ья) и 1рс(1, Ья) — непрерывные функции с и Ьа при !1 — до! ~ Н, !Ьа! ~ с. Действительно, аа и 1р зависят от 1 и Ьа как сложные функции: и непосредственно и через у(г, яо+ Ьа). Но в силу непрерывности частных производных от функций Д и доказанной выше непрерывности у (1, ад + Ьа) по 1 и Ьа (непрерывность у(1, а) по 1 и а = ао+ Ьа, эквивалентна непрерывности у(1, ао+Ьсс) под и Ьсс) зти сложные функции будут также непрерывными по 1 и Ьа. Поэтому правые части (2Л44) удовлетворяют условиям теоремы 2.7, иэ которой следует, что г1И, Ьа) — непрерывная функция с и Ья при !1 — со! ~ Н, !Ья! < с. Зто означает, в частности, что существуют предельные значения Иш гс(г Ьа) = г1(1, О) = ьа о = и "'(' '+ ' "'(' ') ~'1, (4Л47~ Ьа да)а а' дд т.
е. производные — при а ао. Эти производные удовлетворяют да (2Л44), где а„=а„(1, О), 1р,=ср;(г, О). Из (2Л45), (2Л46) видно, дг что эти величины представляют собой — ( у (г, рд, ..., р», др У11. ' Ужо)> г рм . ~ )до) и д„( ° ) при а ао. Поэтому. зависимость Рипенин от пАРАметРОВ пользуясь той же теоремой 2.7, можно сделать заключение о непрерывной зависимости производных ' от С, параметров и начальных значений. Итак, имеет место Теорема 2.8.Если функции Х(у, 1, )г) непрерь1вны вместе с частными производными по уи ..., у, рп ..., р, в Ю, то существуют производные от решения задачи (2.131), (2.132) по начальным значениям ую, ..., у о и параметрам )и,, р.„непрерывные при Ы вЂ” Фз( «ХХ, 1уе — у;.э! в= бе !р» — р1о! "-= сз О =1, ...
о ..., т; к-1, ...,з). Сделаем ряд замечаний к доказанным теоремам. 3 а м е ч а н и я. 1. В теореме 2.8 сформулированы достаточные условия существования первых непрерывньгх производных по параметрам решения начальной задачи (2Л31), (2Л32). Вопрос о существовании и непрерывности производных высших порядков по параметрам исследуется аналогично. Можно показать, что существование непрерывных частных производных до порядка Й функций фу, Ф, )а) является достаточным условием существования непрерывных частных производных к-го порядка по параметрам у|о, ° -., у~э, )ги ..., р, решения задачи (2.131), (2.132).
Более того, если функции Х1(у, 1, (а) являются аналитическими функциями своих аргументов, то и решение задачи (2Л31), (2.132) аналитически зависит от параметров (теорема Пуанкаре). Существование непрерывных частных производных О 3" з, за,з 1, ..., т; й 1, ..., г+1) позволяет прч достаточно малых Асс= а — аз искать решение задачи (2.131), (2Л32) в виде асимптотического разложения е) т дз (аа)~ у. (г, а) =У~(1, и )+ — „' (1, „) — -+ 0((Ла) ']. (2.148) ь — ~ даэ ' " й! Идея такого разложения решения по малому параметру (в данном случае по параметру Ьа), от которого правые части зависят регулярно, восходит к работам Пуанкаре.
На формуле (2Л48) основаны многие методы асимптотического исследования и численного интегрирования дифференциальных уравнений, а также некоторые методы теории устойчивости. 2. Предельные при Ьа- 0 значения функций э,(1, Ла)— аз, ! функции з, (г, О) = — ~ — являются решениями начальной з задачи (для определенности рассмотрим случай, когда а не "*) Более детально этот вопрос освещая в гз. 7. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ входит явно в правые части )< и равно у»в) »»»., в»< — ~„.»' (у, 1) ЕА, з» (Ю», О) = б»<, (2.149) А»ВВА — (Ьу») = ~~ а»А (1) д»у»+»р, (»А»ун ...> Ьу,„, Ф) (2.150) А»т (»'=1„..., т), где е)» а (1) = †» (у* 1). (2.151) Если параметр„вначеинями которого отличаются у и у, явно не входит в г», то»р = о(! Лу! ).
Пренебрегая в (2Л50) членами о((йу1), получаем линейную систему уравнений .» (бу») = В~ а А ( ) буь Н АА т (2Л52) которая представляет собой систему в вариан»»ях» так как совпадает с точностью до обозначений с (2Л49). Если рассмотрение ведется на конечном промежутке (г», Т), то в силу доказанных выше теорем у» и у» близки на всем (г», 7) (так как их начальные значения или правые части уравнений отличаются мало) и, зная уь можно получить приближенное выражение для у» которую получим в результате предельного перехода прн»»сс- 0 в (2Л44).
Как легко видеть, эта я<е система может быть получена путем у<ар льного диу»фере цирования исходной задачи (2Л31), (2Л32) по параметру и. Уравнения (2Л49) часто нааываются системой уравнений в вариациях относительно рассматриваемого решенияу(», а). Переход к уравнениям в вариациях связан с идеей так иа аываемой линеаризации уравнений (2Л31) в окрестности некоторого выбранного решения. Пусть, например, свойства какогото частного решения у» (»=1, ..., и») нам известны и нужно исследовать другое решение у, (1=1, ..., »и) етого же уравнения, вблизкое» к у». Так, например, у» и у» могут отличаться по начальным значениям и т. п.
Введем величины <»у<=у< — у» 0=1, ..., и). Предполагая, что правые части уравнений достаточно гладки, подставим у» у<+Лу< в (2Л40) и разложим Д по стеш:ням»»у». Тогда получается уравнение вида ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИИ ОТ ПАРАМЕТ!'ОВ (2Л53) получающейся дифференцированием системы (2ЛЗ1) по Гз и явзис ляюшейся линейной системой относительно —. Чтобы получить аса начальные условия задачи, заменим исходную систему (2.131) дифференциальных уразвеяий системой интегральных уравнений рс (Г) = р . + ) Л (р, т) )г- (2.154» Если в (2Л54) подставить решеяве р(г) исходной системы, то мы получим тождества.
Дифференцируя эти тождества по гз, по- лучим с~ „, — — ссасас. о .~-~(2 — ' — ') с*, сссаас ~та асс откуда при 1 Ге в силу (2.132) будем, иметь ссхс ~ а са (2.156) Условия (2Л56) и представляют собой начальные данные для системы (2Л53). а) пм. гсь З„ в виде рс+Арь где Арс определяется яз линейных уравнений (2.152). Если же, авая рь мы хотим исследовать рс на неограниченном промежутке, то задача становится сложнее, она относится в этом случае я теории устойчивости а). Линейные уравнеяия изучены значительно полнее, чем системы общего вида, поэтому указанный выше процесс лннеаризацин — замена (2Л40) уравнениями вида (2.152) — приводит в тех случаях, когда эта операция законна, к серьезному упрощению задачи. 3.
В теореме 2.8 рассматривался вопрос о существовании производных решения по параметрам рмь ..., у з, рь ...„р„ входящим в начальные условия и правые части системы (2ЛЗ1), (2Л32). Аналогично может быть исследован вопрос и о существовании проиаводных ' . Эти производные также являются ресСзс эс» шениями начальной задачи для системы в вариациях: овщая тхогия $6. Метод последшжтельных приблизкеннй (метод Пикара) Рассмаъривая в з 2 начальную задачу Коши для одного уравнения, мы доказали существование и единственность решения этой задачи методом ломаных Эйлера, представляющим собой одновременно и эффективный алгоритм численного решения. В настоящем параграфе мы вернемся к проблеме существования и единственности решения начальной задачи и дадим ее доказательство методом последовательных приближений, основные идеи которого восходят к исследованиям Пикара. Не явлнясь столь же эффективным в алгоритмическом плане, как метод ломаных Эйлера, метод последовательных приближений обладает большой общностью и находит широкие применения при исследовании вопросов существования и единственности решения задач из различных разделов математики.
Поэтому знакомство с основными идеями етого метода на примере рассматриваемой в данном параграфе задачи, безусловно, целесообразно, Итак, рассмотрим начальную задачу — „~ = 7'(х, у), у(х,) = р„ (2Л57) где функция 7(х, р) аадана и непрерывна в прямоугольнике Р = (1х — хз1 ~ а, 1р — рз1 ~ о). Тогда найдется постоянная М такая,что !У(х, у)1<М, (х, р)юР. (2Л58) Кроме того, предположим„что ((х, у) удовлетворяет в Р условию Липппща по р 17(х, р~) — 7(х, уз)1<Ырь — рз1, (х, и!) %е Р, (х, рз) я Р. (2Л59) Мы покажем, что при выполнении условий, наложенных на 7(х, р), существует одно и толыю одно решение задачи (2Л57).
Наше доказательство будет основываться на сведении заз®чи (2Л57) к эквивалентному интегральному уравнению у (х) = у, + ) ~ ($, р Я)) с$ (2.160) и применении к последнему метода последовательных приближений. Указанная эквивалентность задачи (2Л57) интегральному уравнению была установлена выше, в $2 (лемма 2.2), Перейдем теперь к построению последовательных приближений. В качестве нулевого приблил."ения возьмем произвольную непрерывную на отрезке (хз, Х1 функцию 'з'у(х), график кото. рой яа (хз, Х), Х хе+ Н, целиком лежит в области Р, и опре- мвтод послвдовлтклъных пгивлижвнин делим последовательные приближения «)у(х) соотношением «о)у ( ) у + ~ у (оо «««-))у (оо)) оь (2Л61) (2.162 1 1««)у — уо! о- :М(х — хо) ~ ЯЕЕ1.=- Ь.
(2.163) Отсюда следует, что график функции '"у(х) на отрезке 1хо, Х) не выходит нз области Е). Повторяя проведенные выше рассуж'дения, методом математической индукции установим справедливость высказанного утверл«денни для любого нвиблих«ения. Лалама 2.8.Если непрерывная е области ЕЕ функция 1(х, уу удовлетворяет условию (2.159), то построенная по формуле (2Л61) последовательность ('"'у(х)) сходится равномерно на (х«ь Х). Доказательство. Рассмотрим ряд .с(х) «о)у(,) + (««)у(х) «о)у(х)) + + (««оу(х) « -пу( Л + (2.164) Очевидно, и-я частичная сумма Б (х) ряда совпадает с п-м членом последовательности («")у(х)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
