Тихонов, Свешников - Дифференциальные уравнения (947323), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Оценим члены ряда. Очевидно )«г)у(х) «о)у(х)(<»(«')у(х) — уо(+(«о)у(х) — уо!»~2Ь« )«о)у(х) «ъ)у(х)~» ) ) 1(з ««)у(Ь)) ~($ «о)у(Ь))(«$. Тогда в силу условия (2Л59) имеет место оценка )«з)у(х) — «пу(х)(~~)У ') («))у($) — «о)у($)(«(за,,2Ь)т" (х — х ). (2Л651 Как и в $ 2, значение ЕЕ определяется из условия Н = Ь) = п)1п (а, — 1). Легко доказать, что прн выбранном начальном приближении графики функций '"'у(х) на отрезке (хо, Х) также целиком лежат в области В. Действительно, х «г)у(х) — у + ) тд «о)у(ц) щ.
так как график 'о'у(х) лежит в области Е), то в силу оценки (2.158) получим [гл. з ОБЩАЯ ТЕОРИЯ Аналогично )<ву(х) (г)у(х)~«Аг~((г>у(Р (Пу(гь)!дг« ар «2ЬЛ™~а — *,)д5=2ЬА (,*"). хр Методом индукции получим для и-го члена оценку х — х1" 1 ~ ьау (х) — < -1гу (х) ( «2ЬФ -1 '~ . (2.166) (в — 1) ! Из оценки (2.166) следует, что на отрезке (хг, Х) члены функционального ряда мажорируются членами сход1пцегося числового ряда: (оеу (х) < -пу (х) ~ «2Ь)у" 1, (2-167) и что и является достаточным признаком равномерной сходимости ряда (2Л64).
гТемма доказана. Доказанная лемма позволяет доказать теорему. Теореми2.9(суи)ествовиния). Если (дункг)ия 1(х, у) непрерывна в г) и удовлетворяет условию Липшица (2Л59), то на отрезке (хг, Х) существует решение наиыьной задачи (2Л57). Доказательство. В силу леммы 2.2 достаточно доказать существование на отрезке (хс, Х) решения интегрального уравнения (2.160). Согласно лемме 2.8 последовательность (ооу(х)), построенная по формуле (2Л61), сходится равномерно на (хг, Х).
Так как все члены последовательности (1юу(х)) по построению являются непрерывными функциями, то и предельная функция у(х) непрерывна на (хг, Х). Равномерная на [хг, Х) сходимость последовательности (ы1у) является достаточным условием возможности предельного перехода в формуле (2Л61).
Переходя к пределу при и-, получим, что предельная функция последовательности (ы1у(х))г у (х) = Ыт 1юу (х) удовлетворяет интегральному уравненшо (2Л60), зквпвалентному исходной задаче (2.157); Теорема доказана. Перейдем к рассмотрению вопроса единственности решении. Теорема 2.19 (единственности). Интегральное уравнение (2.160) имеет не более одного непрерывного на (хг, Х) решения. метОд последовательных пгняпиженгш Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что уравнение (2Л60) имеет на [хо, Х[ два различных решения р~(х) н ут(х), н составим нх разность х(х) = у~(х) — ут(х).
(2Л 69) Очевидно, х(х) = [ (~(ф, у $)) — ~($, уз($)))сф, хе= [х„Х[.. (2.170) Будем сначала рассматривать (2.170) на отрезке [хо, х1), значенпе х~ выберем в дальнейшем. Воспользовавшись условием Лппшнца (2.159), получим [з(х) [»()у(х — хв) впр [ух я) — узщ[» 1хо х11 ()У(хг — х) впР [х($)[, хве[х„хг[. (2.171) 1хе,х11 Отсюда впр [в(х)[»»)т" (хг — хо) впр [з(х) [. (2Л72) 1хе ха1 1х,хя Выберем теперь х~ так, чтобы Ж(х~ — хо) =1. Тогда (2Л72) возможно лишь при условии, что впр [х(х) [ = О, т. е. з(х) =0 прн х~ [хю х,[, 1хв х 1 н (2Л70) можно записать в виде Повторяя проведенные рассуждения необходнмое чпсло раз, убеждаемся, что в(х) =0 при хш [хо, Х), что я доказывает теорему. Сделаем яесколько замечаяий к докаваккым теоремам.
Замечания. Ь Ыы доказаля теоремы существования, показав, что при любом нулевом приближекии <о1у(х), представтяющем собой иепрерывную яа [хо, Х[ фуикпию, график которой ке выходит ив области Р, последовательвость (гв1у) сходится к решению исходной задачи. В качестве пулевого приближения ~о1у(х[ в ряде случаев удобно бывает выбрать начальяое значение уь положив ~ >у(х) хи уо. 2.
Метод последовательных приближений мозкет быть испольаовав ке только для доказательства существования, ио я для построения решения конкретных задач. Прв атом вффективкость его применения определяется как классом фуккпий Пх, у), для которых разработаны аффективные алгоритмы вычисления правой части формулы (2.161), так и выбором качальяого приближения. 3.
Мы рассмотрели применение метода последовательных приближений дчя доказательства существования и едипствевпастя решеяия качалыюй задачи для одного скалярного уравнения первого порядка. Аналогичные рассмотреяия могут быть проведены и в случае иачалькой аадачи дая кормааьвой системы. б а. н, тихонов и ав. овгиля твогия и 7. Принцип сжатых отображений. Теорема о неподвижной точке Рассмотренный в предыдущем параграфе метод последовательных приближений основывается на общем математическом принципе, известном под названием «принципа сжатых 'отображенийь, основные идеи кото)юго будут изложены в настоящем параграфе. Будем рассматривать произвольное полное метрическое пространство М.
Напомним *), что пространство М является метрическим, если каждой паре х, у элементов этого пространства поставлено в соответствие число р(х, р), обладающее следующими свойствами: 1) р(х, у) > О, причем р(х, р) = О только при х = у; 2) р(х, р) = р(у, х); 3) для любых х, у, зазМ имеет место неравенство треугольника: р(х, р) ~ р(х, х) + р(р, х).
Число р(х, у) обычно называется расстоянием между элементами х и у. Метрическое пространство М является полным, если всякая фундаментальная последовательность (х ) элементов х„ этого пространства ь") сходится к некоторому элементу хшМ, х. е. 3 хшМ такое,что Иьч р(х, х ) = О (обозначается х )пах ). Ф-~ ПЪ МЮ Хорошо известным примером полного метрического пространства нвляется пространство непрерывных на отрезке хш(а, Ы функций у(х), в котором расстояние р(у, з) между элементамп у(х) и х(х) задается в виде р(у, з) = епр !у(х) - г(х)!.
(2Л74) кевьь) Принцип сжатых отображении является мощным методом исследования проблем существования и единственности решения функциональных уравнений в метрических пространствах. Пусть в полном метрическом пространстве М задан оператор А, обладающий следующими свойствами: а) оператор А отобраягает пространство М в себя, т. е.
переводит точки пространства М в точки того же просхранства: ~хшМ Ах=у, ушМ; (2А75) ") См. Иаьив Гь А„Позняк Э. Г. Основы математического «кала«а, ч. П.— М.: Наука, 1973, с. 262. ««) Последовательность (з ) называется фукдамевтазькой, если для нее выполнен критеряй Коши БШ р(з, хь+,) = О. з фи~~ ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОВРЛЖВНИН гц б) оператор А сближает элементы пространства М, т. е. дла лгобой пары хь хг элементов пространства М имеет место неравенство р(Ахь Ахг) ~ар(хь хг), (2Л76) где а(1. Имеет место Теорема 2.11(о неподвижной точке). Если в полном метрическом пространстве М задан оператор А, удовлетворяющий условиям а) и б), то функциональное уравнение Ах=х в пространстве М имеет единственное решение.
Доказательство. Выберем произвольный элемент хс ж М н построим последовательность (х ): х„— Ах,-ь (2Л78) Докажем, что так построенная последовательность (х.) является фундаментальной. Действительно, р(х +и х„) = р(Ах, Ах г) ~ ар(х„, х„1) = = ар(Ах„ь Ах г) К... ( а'р(хь хо). (2.179) Пользуясь втой оценкой и неравенством треугольника, получим р (хи+ям хп) » ~Р (хп+т хп+т-г) + р (хв+т — г, Хт+т г) + ... + р(х„+„х„)(а"р(х, х,)(ат-г+ ... + 1) = „1 — ат ап = а" — р (хм х~) < — р (х,, х,), (2.180) что при условии ас1 н доказывает утверждение о фундаментальности последовательности (х ), В силу полноты пространства М отсюда следует сходимость последовательности (х„), т. е. существует элемент х ж М такой, что х= Вжх. (2Л81) и т Рассмотрим теперь элемент у =А.т и покажем, что оп совпадает с элементом х.
Действительно, р(х, у) (р(х, х +г)+ р(х„+й у), (2.182) где х„+г — произвольный элемент последовательности (х„). Оценим последнее слагаемое: р(х„+и у) р(Ах, Ах) ( ар(х„, х). (2.183) В силу доказанной выгре сходимости последовательности (х„) длн )~в.'Р'0 можно указать такое )т', что для всех и ) Дг р(хт х) - з/2. зв ОБщАя теогия [гл.
2 Тогда из (2.182) следует, что р(х, у) С е, (2Л84) откуда в силу проиввольности в получаем р(х, у) О, т. е. х = у слодовательно, решение уравнения (2.177) существует. Доказательство единственности решения уравнения (2Л77) проведем от противного. Пусть х и х — два различных решения этого уравнения: Ах =х. (2Л85) Рассмотрим р(х, х) =р(Ах, Ах) ссср(х, х).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
