Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Зх — 5д+ 4=0, х+ 7и — 10=.0, 31' Зх — ду -22 =0, х+ 7у+ 10 — О. 244. Уравнения сторон прямоу- гольника: 2х — 5и + 3 =- О,. 2х — бд — 26 = О; урзвпеп;е его д аг:- пзл1п 7х — Зу — 33 = О, 245. 5х + у — 3 ††.0 — бэгс.:ктрисэ вэутргп- «его угла, х — бд — 11 ==-Π— блссею риса вие1пяего угла. 246. х+д— — 8=-.0; 11х — д — 2Я О.
Указа н ие. Условйю задаю удовлетво- ряют лэе прямые одпэ из нкх проходит через точку Р л сереэн;г,* о:резка, соедлнлюп1его точки А и В; другая проходит через точку Р параллельно отрезку АВ. 247. (- 12; 5). 248. М,(10; — 5м 249.
Р ф1 0). У к а з а н и е. Зэ чача может быть решека по сле- дующей схеме. 1) устэиаэллаасм, что точки М и 111 расголожеяь1 пг озну стор1жу оси абсцисс; 2) находим то1ку, симметричную одном пз данных точек относительно гол абсцксс. напркмср точку 1у,, 1'гимгтрп1иу!о точке Ж; 3) состзэлягм урзонеппс пучкой проходящей через точки М и Вб 4) решая соэместнр пз11делпос урээкс- няс с ураэпецлем осл абсцисс, получим координаты яск гк16 то к1.
2«0 Р (Р! 1!) 251 Р (11 1) 252 Р (2. г) 253 1) и !., 21 9=- -; 31 Р==-0 — прлшче пзрэллелып е; 4!, =-.;гс16-' —. 254, — бд --,'. =-О шля 5х+ у — !1.= О. 255, Ураэзс1п1в стор л квадро з '1х+ Зу+ 1 О, Зх — 4у+ 32 О, 4х+ Зи — 24 =,, Зх †.(д'+ 7= 0; урззнщ;ле его второй д штопали: х+ 7у — 31 = 0. 236.,'1х — 4д + 15= —.
О, 4х+ Зу — 30.= О, 3. — 4у — 10= 0, эх+ Зд— -- 5=-- 3. 257. 2х+ у — 16 =0, 2х+ у+ 14 = 0, х — 2у — 18 =-О. 258. Зх — у+ 9 =- О,:!х+ у+ 9 О. 259, 29х — 2у+ 33 =-". 262. !) Зх — 7д — 27 — — О: 21 х+ йу+ 25=-О; 3) 2х — Зу — 13.= О; 4) х-2=-0; 5) У ' 3 3. 264. ПсР:1ендлкУллРЯы 1), 3) л 4). 266, 1) 1Р = 45'"! 2) Ч1 = 50""; 3) р =-. 90'. 267. Мз (6; — 6). 268. 4х — у — ! 3=-0, х — 5=-0, 208 1;!:~1+Яд+5=0. 269. ВС: Зх+4у — 22 0; СА: 2х — 7у — 5=0 СЬВ1 Зх+ 5У-23=0.
270. х+ 2У-7 О, х-4У вЂ” 1 О, х-У+2=.0. „3' к а з а н и е. Задача может быть решена по следующей схеме: .'!;',,11', Устанавливаем, что першина А нс лежит пи па одной из данных .!прямых, 2. Накатим точку перегечеаия медиан н обозначаем ее ;.,хакой-нибудь буквой, например М. 3. На прямой, проходящей .срез ::точки А и М, стропи отре ок МВ =АМ (рис. 81). Затем опрсдс;' 'днем координаты точки В, зная точку М вЂ” ссрелзку отрезка АВ н один из его коицоэ А.
4. Устайавлиэзем что четырехугольник А ВВСМ -параллелограмм (его диагонали взэамно делятся пополам), составляем ураппеняя прямых !)В М и ВС. 5. Вычисляем координаты В точек В и С. 6. Зная координаты всех вершин треуголы1нхз, мы х ,,::;:;.' можем гостзэнть уравнения его сторон.
271. Зх — Зу — 13 = О, В 8х-Зу+ 17=0, 5х+ 2у — 1 = О. 272. 2х-у+ 3 = О, 2х+ у — 7 = О, Рис. 81. .Р". х — 2д — 6=0. Укэ танке, Е лн пэ одной кэ сторон угла дзлэ тз1ка А, то точка, спмметрлчнзя точке А относительно биссектрисы этого у..лэ. бу тет лежать на пру~ой его стороае. 273.
4х-Зу + 10 О, 7х (- 1) - о1) =- 0 Зх -«- чд — 5 = П 274. 4х + 7у — 1 = 0 у — 3 = О лх-1-3д — 5=0. 275. Зх . '7д — 5=0, Зх+2у — 10=0, 9х+ 1!у+5 О. 276. х — Зи — 23 = О, 7х -1- йд + 19 =- О. 4х + Зи + 13 = 0„ 277. х + у--7 = О, х + 'и* + 5=0 х-8у + 20==0. 278. х + 9у — 65 О, Ох — 7у — 25 --- О, 1Ях -"- 13и — 41 = О. 279. х + 2у = О. 23х + 25у = О. 280. Ях -и --24 -:=. О.
283. Зх + д О, х — Зу = О. 284. Зх + 49-1 = О, 7х + 24д — 61 =- О. 285, 1) а =- -2, 5у — 33 = 0: 2)! а, - -3, х - об =- О; аз =. 3. Ях + Я =- О: 3) а. = 1, Зх — Яи - 0; а, 3* ЗЗх — Я,'д =- 0 286. т =- 7, и =- — 2, у + 3:= О, 287. т — 4, п = 2, Г! 11 — 5 = О. 288 1) (5; 6)1 21 (3; 2)! 3) ~ †; — ); М !о; — — 1; 5' ~ — —; 21. 291. 11 Пр1 а --3.
2) при а=-3 л Ь зь 2; 31 прл 3' и 1..=2 292. 1) ю:= — 4, а~2 лзи п1=-1. пль — 2; 2) л:=.-4, и =2 злн 1п = 4, и == — 2; 31 1п- О, и — любое знэ-юл,е 293. п= —. 294. Углглш1о 1алз1а удо1летэерчют алэ зна;е. !2' эчл ш: т, =О, пь =6. 295.
11 Пср1сгк«1отся; 2! ~зс перегекаются; х и, х д 3 2 — 6 Я .' '. е перзсекп1отсл. 298. а = -7. 299, 11 — + —, 1 21 — + — —.- 1; х и 3; — -!. — ",', 1, 41 —,; — + — '„. —. 1. 51 -,— + -,— ". 1 (рис 82). 300. 6 кз. ед, 301, х + и + 4 = О. 302. х + у — 5 « О, х — у + 1 = О, Зх — 2д =- О. 303.
Р ею е н н е. Напашем уразнекне искомой прямой «а отрезкахэ Х, д а Ь Наша задача . определить значения параметров и я Ь. Точка С (1; 1) лежит на искомой прямой, следовательно, ее координаты долж удовлетворять уравнению (1). Подставим в уравнение (1) вместо "яы текущих координат координаты точки С; после приведения к общем зизменателю получим: щему и+ Ь аЬ. (2) Теперь заметим, что площадь треугольника 3, отсекаемого прямой от координатного угла, определяется формулой ш 8= — +8 2 в том случае, когда отрезки о и Ь одаого зяака, и — Я в том случае, когда эти отрезки разных знаков. Согласно условию нашей задачи будем иметь: (3) Решим систему уравнений (2) н (3): '1 аЬ 4 / аЬ- -4) тогда получим: а, =2, Ь, =2; аз =-2+ 2 У 2, Ьз — 2 — 2 У21 аз — — -2 — 2У2, Ь = — 2 21' , Ьз = — 2+-1 2.
Таким образом, условя.о задача удовлетворяют трй прямые. Подставам в уравнение (!) полу~сизые значения парзметроз а и Ь: — + У = 1, + У 1, 2 2 -2+2У 2 -2-21 2 .х — — -(- —" 1. ху — 2 — 21' 2 — 2+2У2 После упрощения этих уравнений получим.'х+ у — 2 0,(1+ 1' 2) к+ + (1 — У 2 ) у — 2 = О, (1 — 1' 2 ) к+ +(1+ У 2) у — 2 =0. 304. Условию задачи удовлетворяют следующие тря прямые: (У 2 +!) х+(У2 — 1) у— хт — !О О, (У2-!)х+(1'2+1)у+ +10=0, к — у — 10=0. 303.
Зк— — 2у — !2=0, Зх — 8у+ 24 = О. 70 37 306. х+Зу — 30=0, Зх+4у — 60 О, Зк — у — 30 = О, х — !2у+ 60 = О. 307. Условию задачи удовлетворяют две прямые, пересекающие соответРиз. 82. ственно оси координат в точках (2; 0), (О; — 3) и ( 4; 0), (О; — ~, 308. 8 ~ ' 27" >2х,уо 309.
Прямые 1), 4), 6) и 8) заданы нормальными уравнениями. 310. 1) — х — — у — 2 0; 2) — х+ — у — 1О 0; 3) — х+ 12 5 5 5 2 1 + — у — 1 0; 4) -х — 2=0; 5) =х- — у-1= О, Угб У5 311,1)а=О р 2 2)а иу 2 3)а —,р 34)а Р=З;. б: а= —, Р=З; 6) а — — Р У2; ?) и — — и 2 4' 3 ;".":,Р:зы1; 8) а- — 5, Р=д; 9) а =8 — и, Р=У. 312. !) б= — 3, 'эзй эы 3, 2) б = 1, б = 1! '3) б = -4, х( — 4; 4) б = О, и = 0 — тошхз 1) ;;::.,'~бежит иа прямой. 313. 1) По одну сторону; 2) по разные стороны,' ."8)зло одну сторшху; 4) по одну сторону; 5) ло разные стороны. ;:$!4; 5 кз.
ед. 315. 6 кв. ед. 318. Является выпуклым, 319. Не явх)Тянется выпуклым. 320. 4. 321. 3. 322. !) о 2,5; 2) х( =. 3; 3) и' 0,5; ',»й) б.= 3,5. 323. 49 кв.'ед. 326. В отношении 2: 3, считая от второй .,' 'прямой. 326. Р е ше и не. Задача о проведении прямых через точку Р ,":,1иа расстоянии, равном 5 от точки гз, равносильна задаче о прове- '~' гдеии и из точки Р касательных к окружности радиуса 5, с пентром ,""-и 1;1. Вы~~спим расстояние гзР: ОР = Ух(2 — 1)з + (7 — 2)' У 26 ;:;.',,':.Яы видим, что расстояние СР больше радиуса окружкостж слс.!,;;,:;"довательяо, из точки Р можко провести две касательные к этой ,~!':::окружности.
Теперь перейдем к составлению их уравнения. Ураа- .!~!',',":.'пение всякой прямой, проходящей через ~очку Р, имеет вяд у — 7 й(у — 2) ~11 ";,,".=, или Ьх — у+ 7 — 2й = О, где й — пока неопределенный углопой коэффяпиеят. Приведем это уравнение к нормальному виг,. С этой 1 ",ч, пелыо находим попмярующий ыножитель (х =* ш . У.чшУйз+! жая урззае1ше (1) на р, получим искомое нормальное урззяся ш Ьх — у+ 7 — 2Ь У'~2 + х2) Подставляя в левую часть уравнения (2) координаты* точка С), ) и — 2 4- 7 — 2ь' ~ имеем: — —, = б.
Резвая это уравнение, яайз=м дзз 1' з" — ! 5 звзчепия Ь: Ь; = — — уз=О. Подставляя яаздепяые изкния 12 ' углового коэффяпиеита в урзвпенле (1), полу;аем искомыс урзвпегяя: бх+ 12у — 94= 0 и у — 7= 0. Задача решена. 327. 7х+ 24у — 134=...0, х — "== О, 328. Зх+ 4у 13 О. 330. Зк — 15у+ 9 —..= О 331. Зх — 4у — 25=0, Зк — 4у+ 5.=-О. 332. Условию з" ~з" и удовлетворяют два квадрата, свмметричио расположенных отхоси-жльяо сторокь: АВ. Уравнения сторон одного нз яих: 4х+Зу — З=-О, 4х+ Зу+ 17 О, Зх — 4у — 6 = О, Зх — 4у+ 19 О, Уравнения стоРон дРУгого: 4х+Зу- 8 О, 4х+Зу — 33=0, Зх — чу — 6 О, Зх — 4у+ 19=0. ЗЗЗ. Условию задачи удовлетворяют дза квадрата; остальные стороны одного из них лежат на:рямых: Зх+4у — 11=0, 4х — Зу — 23 О,.
Зх+4у-27=-0; остальные стороны другого — на прямых: Зх+ 4у — 11 О, 4х — Зу — 23=0, 2 Зх+ 4у+ о О. 334. Зх+ 4у+ 6 О, Зх+ 4у — 14= 0 ялн Зх+ 4у+6 О, Зх+4у+26 .О. 335. !2х — 5у+ 61 О, 12х — бу + 22 0 или !2к — 5у + 61«= О, 12х — 5у + !ОО О. 336. М 12; 3). 337. 4х + у + 5 О, у — 3 О. 338, 1) Зх — у + 2 = О; 2) х — 2у + 5 * 0; 3) 20х — 8у - 9 = О. 339. 1) 4к — 4у + 3 = О, 2х+йу — 7 0; 2) 4х+1 О, 8у+13=0; 3) 14х — Зу — 3 О, 64х+ 1!2у — 23 О. 340.
х — Зу — 5=0, Зх+у — 5=0. Указан и е. Искомые прямые проходят через точку Р перпендикулярно к биссектрисам углов, образованных двумя данными прямымн. 341. 1) В одном углу; 2) в смежных углах; 3) в вертшхальных 211 углах. 342. !) В вертикальных углах; 2) в смежных углах: 3) з,>л. ном углу. 343. Внутри треугольника.
344 Вне треугольвн.;а. 345. Острый угол, 346. Тулой угол. 347. Вх+ 4у — 5 = О, 348. х + Зу — 2 = О, 349. Зх — 19 О. 350. 1Ол — 10у — 3 = О, 351. 7х+ 5бу — 40 О, 352, х+ у+ 5 О. 353. 5(2; -.!) 354. !)'Зх+2д — 7 0; 2) 2х — у 0; 3) у — 2==;0; 4) х — 1.-0. 5) 4х + ЗУ вЂ” !О 0; б) Зк — 2У + 1 =- О. 355. 74х + 13у + 39 .= 0 358, х — д — 7 = О. 357, 7х + !Оу — 2 = О. 358. х — д -1- 1 == с! 359. 4х — бу + 22 О, 4х + у — 18 О, 2х — у + ! = О. 360.
х-5>у ' +!3 О, бх+ у+ 13=0. 361. 5х — у — 5- О (ВС), х — у->- + 3= 0 (АС), Зх — у ! 0 (СД>). 362, х — 5у — 7 =0, 5»+ д+ +17=0, 10х+7д — 13=0. 363. 2х+у+8=Г>, х+2у+1= — г1, 366. С =- — 20. 367, а Ф вЂ” 2. 368. Уравнения сторон квадра>з: 4х + Зу — !4 О, Зх-4У + 27 = О, Зх- 4у + 2 = О, 4х + Зу -1- 11=-О; уравнение его в>одой диагоналя: 7» — и + 13 = О. 369. х + д + 5 О. 370. к+у+2=0, х — у — 4 О, Зх+у=б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
