Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 32
Текст из файла (страница 32)
равномерного сжатия пространства к пл г — 3 у — 4 г+2 и 3 — 5 4 1) ++++ — "' = — 1 З! 35 х у г+2 и 4 -3 4 2) — + — — — = 1 х'*' у' 15 9 х~ у 3) — + — = » 5 3 4) —" — — =» у~ 9 4 х+1 у — 2 г+3 и 2 — 1 -2 х у — 2 г+1 и 3 — 2 2 1181. Доказать, что плоскость 2х — 12у — »+ 16 = 0 пересекает гиперболический параболоид х' — 4у'=2» по прямолинейным образующим.
Составить уравнения этих прямолинейных образующих. 1182. Доказать, что плоскость 4х — бу — 1О» — 20 = 0 х' у" г" пересекает однополостный гиперболоид — + — — — "' =- 1 25 15 по прямолинейным образующим. Составить уравнения этих прямолинейных образующих. 1183. Убедившись, что точка М(1; 3; — 1) лежит на ги!:ерболнческом параоолоиде 4х' — »3 = у, составить уравнения его прямолинейных образующих, проходящих ч.рез М, 1184. Составить уравнения прямолинейных образуюх- "у' щах однополостного гиперболоида — + — — -' — = 1 4 9 1о параллельных плоскости бх+ 4у+ 3» — 17.— — О, 132 1177.
Доказать, что эллиптический параболоид, определи!емый уравнением — +-1 — = — 2», может быть полу- Р у чен в результате вр мнения параболы хг =- 2р», д -- — -- О вокруг оси О» и последующего равномерного сжатия пространства к плоскости Ох». 1178. Составить уравнение поверхности, обрззованиоя двюкеиием параболы, прп условии, что эта пара. бала все время остается в плоскости, перпендикулярной к оги Од, причем ось параболы не меняет своего направления, з вер:пина скользит подругой параболе, заданной уравнениями уг =- — 24», х = О. Подвижная парабола в одном из своих положений дана уравнениями х-'= 2р», у=О. 1179. Доказать, что уравнение».-= хд определяет гиперболический параболоид. И80.
Найти точки пересечения поверхности и прямой: , что точка А(-2; О; 1) лежит на аболоиде — — — = » определить у" 4 9 ванный его прямолинейными обраими через А, равнение конуса, вершина которого координат, а направляющая дана й. Убедившись олическом пар й, угол, образо ми, проходящ .:;,"-:...~ф88. Составить у ,'.~~1днтся в начале »=--с; х — --:= а.
"' ' '$187 Доказать ''~((Вус; с вершиной в ...";;=',.: '!13884 Составить "::)ф~~.. координат, на ;'(4~~Ми хз — 2»+ 1 = ;-'.;;"„'7.:-'",!!1 180. Составить :~Щ:;:,:-'Ф',.=с), направляю :-Ф:= = ='" 5 ;;, ',,+'-ууг = 1, » = О. :.,'1~'",:.":;:!::,1100. Составить -;;::~дится в точке "~~4ёиеииями хг+ уг .,,.;;:,; $4$$. Ось О» '-:.©."'„:-!Вершиной в нач ::-:~49Фит,-''на его пове ::;;Мауса, -";::::,..'4'$02. Ось Оу явл „",Юй'::в'" начале коор '~:,:::углом в 60" к ;,~:;;-;;~,183. 'Прямая Ффя~лгпго конуса, в ~та',.-:Ру».
Составить 'Тпрр)1а М! (11 1; —— 5 ;:-'..."'' И04. Составить :ФФого' 'оси координ 2) х' + .-' у=у; что уравнение »' = ху определяет начале координат. уравнение конуса с вершиной в направляющая которого дана уравне- О,у †»+1=0. уравнение конуса с вершиной в точке щая которого дана уравнениями уравнение конуса, вершина которого (3; — 1; — 2), а направляющая дана — »'=1, х — у+» =О. является осью круглого конуса але координат, точка М,(3; -4; 7) рхности. Составить уравнение этого яется осью круглого конуса с вершидинат; его образующие наклонены оси Оу. Составить уравнение этого 2 у+1 г+1 — — — является осью 2 2 -1 ершина которого лежит на плоско- уравнение этого конуса, зная, что ) лежит на его поверхности. уравнение круглого конуса, для ко. ат являются образующими.
133 о !95. С ставить уравненнеконуса с вершиной в точке $(5; 0; 0), образующие которого касаю ф р а . С уравнение конуса с вершинои в н- 1196. Составить чале координат, о р б азуюшие которого касаются сферы х м 2)' + (у — 1)э + (г — 3)з = 9. . С уравнение конуса с вершиной 1197. Составить ур в точке (; Я(3 О; -1), образующие которого касаются эллнпсонда б + 2 + х' уз з' 1198. Составить уравнение цилиндра, образующие оторого параллельны вектору =(; —; кот вляющая дана уравнениям + у —, — 1. 1199, Составить уравнение цилиндра, направляющая ана авненнями х- — у =г, х+ у+ которого дана ур ы к плоскости направ- а образующие перпендикулярны ляюшей.
1200. Цилиндр, образуюшне которого р го пе пенднку ны к плоскости х н . тн х+у — 2г-5=0, описан окоп '=1. Составить уравнение этого цн сферы ха+ уз+ г = . о линдра. об азующие которого параллельнь 1201. Цилиндр, разуюш '+ з+ г' — 2х+ 4у+ 2г — 3= О. Соста около сферы х'+ у-+ г— 1202.
Составить уравнение круглого цилиндра, ходящего через точку 5(; —; ), 1203. Составить уравнение цилиндр, , около двух сфер: (х — 2)'+ (у — 1)э+ге=25, хе+у' +ге 25. л Г:::„,=,'; ПРИЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ОПРЕДЕЛИТЕЛЕЙ Говорят, еделителя, о порядка жаизих на известных Определи. о столбца ф 1, Определители второго порядка и система двух '::;,;;:,';:,:"'уравнений первой степени с двумя неизвестными Пусть дана квадратная таблица из четырех чисел а„а„Ьь Ь,, ~"..':,') :; „,'акела а,Ь вЂ” а,Ь| называется определителем второго порядка, ,ерответствуюплим таблице (!).
Этот определитель обозначается сим~а, Ь,! :.-'ю~;,,~йдом ~ 1; соответственно имеем: л,; ';,"';.,': ',-' .) аз Ьл ~ь 1 а, Ь, ~ = а~аз — азЬо (2) ~ аз Ь, ":-зичфаа аь аь Ьь Ьэ называютсЯ элементами опРеделителЯ. ::;:;:;„;::,что' влементы а„Ь лежат на главной диагонали опр , аа„'-Ьгэ- на побочной. Таким образом. определитель второг ,';равеи разности между произведениями элементов, ле ., ' -;Г()дриой и побочной диагоналях. Например, ! -3 2 ! — 3 4 — ( — )) ° 2 = — 10. ~"мч" :;т-')~всемотркм систему двух уравнений а,х+ Ьну =ам (3) ~ аз»+ Ьиу Ь, °:е,:ВВУмн неизвестиымн х, Р. (Коэффициенты а„Ьь а„Ьэ н свобод).'нвгв,.члены ьь ьз предположим данными.) Ввсдем обозначенвя '-1:,' ",! '=!".'.
".! "=! ..",'( ",.'Определитель а, составленный иэ коэффкциентов при не ;„'Е))стены (3), называется определителем этой системы. урор а» получается путем замены влементов первог 1М0. Решить неравенства определителя Л свободы)мн членами скстемы (3); определитель Лч получается нз определителя Л гри помаши замены свободными члечзмк свстемы (3) элементов ега второго столбик. Есле Л~'=О, та сыстсма (3) имеет единственное решение; оыо определяется фаз)уламя х —, у= —, Л' = Л' (а) Ф. 1) Зх — 3 2 2) 1 х+5 2х — 2 1! 4) ~х Зх', 7х 21) 5' ! 4 2х(<14, Если Л О н прк этом хотя бы адын из определителей Л„, Лк отличен ат нуля, то спстема (3) совсем ие имеет решений (хак говорят, уравнения этой системы несовместимы).
еслч же л =-.О, ва также лх =- лв О, то система (3) имеет бесконечно много решевяй (в этом случае адяа из уравиенкй системы есть следств:ш другоко). Пусть в ур)п1кеккях системы (3) Л) =-Ь, О; тогда система (3) будет иметь вид: а)х+(),у.= О, (6) Система у,апкеккй вяза (6) называется одкародпай; ова всегда имен) нулевое ре)пенке) х=О, у О. Есле Л-,=О. то это решеике является едкнственаым еслк же Л О, то система (6), кроме ну.
левого, имеет бесконечно много других решений. 1204. Вычислить определители; 3) 3 6 5 10' 1) — 1 4 ! 2) 3 — 4 4) 3 16) )5) а 1 5 10 !' аз а ' ! 7) а+1 Ь вЂ” с аз+ а аЬ вЂ” ас 8) соз я 3!п'Ф 3!по' сОзо 1205. Решить уравнения: 1) 2 х — 4 "~ "й~= 5) х+1 — 5 7) 43!пх 1 1- соз"х ~ ! 2) 1 4 Зх х+ 22 =О; 4) Зх -1 6) х'-4 -1 х — 4 х+2 8) соз 8х — 3!п бх = О. 6!п Зх соз бх при каких значениях а и Ь сн. х — ау = 1, бх+ 4у = Ь 1) имеет е; 2) не имеет решений, 3) имеет шений. при каком значении а система й 13х+2у=О, бх-л ау=О имеет вух однородных уравнений )х+ З)у+ с,к=о, ,х+ й у+ с у, г, Введем обозначения: р дел))гелей Л), Л„Лз не равен нул)о, то будут определяться по формулам у= — Л)й к=Л)й ло. Каждое отдельное реп)ение получается ныом значении С .,~«>~;;!,:;,',;;,':,, 1207.
Найти все к;:.!„';~"-.~~::,;.-щстем уравнений: 1 2х+7у=81; ,;."-„-";~-'-'.'-';.-",,', -,- 3) 2х — Зу = 6, кч ' ь' ' '.!)!',".'!„':::.;, ", 5) ах + Ьу = с, 1208. Определить, "'ч!-::.".;.;-';:;;,:.,стена уравнений 3 :;-".-'='~'-:,',:;:::-;единственное решени ,~!~;;-'!'-';:::::":,'бесконечно много ре 1209. Определить, ;:::,'~~=-"~,::-,':.: однородных уравнени ;"»:-:=:"",-:::."ненулевое решение.
й 2. Однородная с степени с Пусть дана система д ',к,:.С тремя некзвестнымк х, Ислк хотя бы адчн кз оь Нее реп)екчя системы (!) х —.- Л)С ~!:,;;".,;: где ( — прокзволькае чкс к„",,'-;;::;:,-,:НРи какам-либо опРеДеле решения каждой нз следующих 2) / Зу — 4х=1, ). Зх+ 4у= 18, 4) х ух 3 х)У З вЂ” ЗУ= 1г.З. 6) ) х у'5 — бу ()'5 у Уг5 =5. истема двух уравнений первой тремя неизвестными Для практики вычясленич полезно заметить, что олределктслч ' Л| Л» Лз получаются прл положь поочередного вы |ерквьзнля столбцов таблклы: |ством ~ а, Ь, с, ) з + Ь(с,а, + с |а|Ь| -с, Ьза, -Ь,а|с, — а|с,Ь| (2) Если все три определителя Ло Л|, Лз равны нулю, то козгйфяллс|лты урзввевяй системы ()) лропорпкональвы. В этом случае одно лз ураввекай сксгемы сеть следстгяе другого и свстемз фзктвчесю( сводится к одкому уравнению. такая система, естествекко, имеет бесколе|во много реп|сияй; |тобы получить какое-и|будь из клх„ следует двум неизвестным лрл.(зть пролзаольяо (лслеккые значения, а |рсгье найти |(з урзвкелля Ь,, Ьз, сь с„ ао Ьз, сз рас лавнон, элеме ля грактвкн ые в орааой элементов о чнымл пунктк сз называются элементами опрепоаожены на диагонали определи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
