Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 29
Текст из файла (страница 29)
1076. Найти точку !), симметричную точке Р ( — 3; 2; 5) относительно плоскости, проходящей через прямые х — 2у+ Зг — 5 = О, / Зх+ у+ Зг+ 7 = О, х — 2у — 4г + 3 = О; ~ 5х — Зу + 2г + 5 = О. 1077. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую к=З)+1, д=2г+3, г= — 1 — 2 параллельно прямой 2к — у +г — 3=0, х+ 2у — г — 5 =0.
1078. Доказать, что уравнение плоскости, проходящей х — х; у — у г — г, через прямую — = †". = „ ' параллсльнопряип и, мой х=х,+Й, у у,+ тт, г=г,+п), может быть представлено в следующем виде: 1х — х, у — у, г-г, т и т, и, 1079. Составить уравнение плоскости, проходящей х †! у+2 г — 2 через пряму1о 2 -3 2 — — перпендикулярно к плоскости Зх + 2д — г — 5 = О. !64 ;„',':;: 4080. Доказать, что уравнение плоскости, проходя. .11Щай: 'чеРеез пРЯмУю х=х,+И, У=Ус+ тг, г=го+п) -""'бпвр))видикулярио к плоскости Ах+ Вд+ Сг.)- 27 = О, .,;)((ожегу быть представлено в следующем виде: хо д уо г го т и =О. 4 В С 1081. Составить канонические уравнения прямой, :;. которая проходит через точку ме(3; — 2; — 4) парал.
:„'-':))алано плоскости Зх — 2у — Зг — 7 = О и пересекает "-::::;:. 'йРЯмУю 3 1082. Составить параметрические уравнения прямой, ,-.;,,'ьоторая проходит параллельно плоскостям Зх+ 12у— ',.:,': '32 — 5= О, Зх — 4у+9г+7 О и пересекает прях+3 у — 3 +! х — 3 у+1 — 2 -Р~~ 2 — 4 3 ' — 2 3 4 ';;-:,',;,: 1083. Вычислить кратчайшее расстояние между -'двумя прямыми в каждом из следующих случаев: Х+т у+4 г+3. х — 21 у+6 г-2 ":-:.-'',: ' 1) — = 3 ! — 2 ' 6 -4 е ':-',,'~:,;::"'; ':-'2) х = 21 — 4, у = — .) + 4, г = — 21 — 1; к=41 — 5, у = — 31+5, г =- — 51+ 5; с",',!"" х+6 у+ 6 -' — 1 .
':::.'':- 3) —.' = — = — '- 3 2 — 2 .';: !:;.:::; х=6)+9, у = — 21, г = — 1+ 2. и 44. Сфера В': декартовых кркмоуголкных координатах сФера, кме!ощак .Йантр' 'С (а! (); т) к радиус г, гсределкетск урааненкем (х — а)т 4- +.'(у — р)"". + (г — т)т г'. СФера радиуса г, аектр которая нахогдгятвк в начале коордккат, имеет уракнение х'+ у'+ г' г'. 1084. Составить уравнение сферы в каждом из сле:"дующих случаев: 1) сфера имеет центр С(О; О; 0) и радиус к=9; 2),пфера имеет центр С(5; — 3! 7) и радиус г 2; 8) сфера проходит через начало координат и имеет центр С(4; — 4; — 2); 4)' сфера проходит через точку А(2; — 1; — 3) и имеет 11аитр С(3; -2; 1); 5) точки А(2; — 3; 5) и В(4; 1; — 3) являются кон.
' Кими."одного из диаметров сферы; 166 6) центром сферы является начало координат, плоскость 16х — 15у — 12г+75=0 является касательа ной к сфере; 7) сфера имеет центр С(3; — 5; — 2) и плоскость 2х — у — Зг+11=-0 является касательной к сфере; 8) сфера проходит через три точки М,(З; 1; — 3), М,( — 2; 4; 1) и М,( — 5; О; 0), а ее центр лежит на пло- скости 2х+ у — г+ 3 = 0; 9) сфера проходит через четыре точки; М (1; — 2; — 1), М?( — 5; 10; — 1), М,(4; 1; 11), М,( — 8; — 2, 2). 1085. Составить уравнение сферы радиуса г =.
3, касающейся плоскости х+ 2У+ 2г+ 3 = 0 в точке М,(1; 1; — 3). 1086, Вычислить радиус Л сферы, которая касается плоскостей Зх + 2у — бг — 15 = О, Зх + 2у — бг + 55 = О, 1087. Сфера, центр которой лежит на прямой 2х+4У вЂ” г — 7=0, 4х+ 5у+ г — 14 =-О, касается плоскостей х + 2У вЂ” 2г — 2 =О, х + 2У— — 2г + 4 = О. Составить уравнение этой сферы. 1088. Составить уравнение сферы, касающейся двух параллельных плоскостей бх — Зу — 2г — 35 =О, бх— — Зу — 2г + 63 = О, причем одной из них в точке М, (5; — 1; — 1). 1089.
Составить уравнение сферы с центром С(2, 3; — 1), которая отсекает от прямой 5х — 4У + Зг + 20 = О,, Зх — 4У+ г —,'-8 = 0 хорду, имеющую длину, равную !6. 1090. Определить координаты центра С и радиус г сферы, заданной одним из следующих уравнений: 1) (х — 3)- "+ (у + 2)з + (г — 5)~ = 16; 2) (х + 1) + (у — 3)' + г = 9; 3) х'+ у?+ г" — 4х — 2У+ 2г — 19=-0; 4) х'+ у'+ ге — бг=О; 5) х? + у~ +;='-'+ 20д = — О. 1091, Составить параметрические уравнения диаметра сферь? х'+ уз+ г'+ 2х — бд+ г — 11 = О, перпендику- лярного к плоскости 5х — у+ 2г — 17=0.
166 аметра льного — 1; 3) ри, вне очки А 62 =0 ь отно- прохо- ющнми =0; =0; = О. относироходнт уравне- .-!".''!ь::,:,:-:1092, Составить канонические уравнения ди еры хе+у?+гг — х+ Зу+г — 13=0, паралле :'..'прЯмой: х=21 — 1, у ~ — Зг+ 5, г~ 41+ 7. :.:;::,:;„,-10981 Установить, как расположена точка А(2; ,::, ';;"='относительно. каждой из следующих сфер — внут 'Илп на поверхности 1) (х 3) +(У+1) +(г — 1)?=4 Ф'(х+ 14)'+ (у — 11)'+ (г ( 12)- 625, 3).. (х 6)" т (У вЂ” 1) + (г — 2)? = 25; 4):х +у'+г 4Х+бу — Зг+ 22=0; $) х'+ у-'+ г' — х -,'- Зу — 2 1094.
Вычи ить кратчайшее р. Стояние от т ,"'.'.'-:дФ''даниой сферы в следующих случаях: а) А( — 2; 6; — 3), хе+ У2 („г2 б) А(9; — 4 3) х + у + г' + 14х — 16У вЂ” 24г + 241 = О. в)' А(11 11 3) Х2+ у + г — бх+ 4У вЂ” 10г— ,. 1095, Определить, как расположена плоскост .' '~$?тв?1ьно сферы — пересекает ли, касается или .-,11Ж;;;вне ее! плоскость и сфера заданы следу УРФВХНЕННЯМИ1 1) г*= 3, х'+ у-'+ г' — бх+ 2д — 10г+ 22 ° 2),:::.У.=1, хз -1-у? + г~ -1-4х — 2У вЂ” бг -1- 14 , ' '3)'; х ~= 5, ха+ у'+ гз — 2х+ 4у — 2г — 4 %96. Определить, как расположена прямая :"ильио .сферы — пересекает ли, касается или п -.Нйв:;-ее'„прямая и сфера заданы следующими ,' 1) х = — 21+2, У=31--, г= 1 — 2, 7 х~ + У~ + г~ + х — 4У вЂ” Зг + — = О; 1 ха+у?+ г- '— 4х — бу+ 2г — 67=0; '„.;."„ч.' " с,:д)х 2х — у+ 2г — 12= 0, 2х — 4У вЂ” г+ 6=0, х'+ У'+ г' — 2х+ 2у + 4г — 43 = О. 1097.
На сфере (х-1)'+ (у+ 2)'+ (г-3)' = 25 найти точку М„ближайшую к плоскости Зх — 4г+19=0, н вычислить расстояние о! от точки М, до втой плоскости. 1098, Определить центр С и радиус Я окружности 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ с (х — 3)2+ (у + 2)2 + (г — 1)2 = 100, 2х — 2у — г+ 9=0. 1099. Точки А(3; — 2; 5) и В(-1; 6; -3) являются концами диаметра окружности, проходящей через точку С(1; — 4; 1). Составить уравнения этой окружности.
1100. Точка С(1; — 1; — 2) является центром,окруж. ности, отсекающей от прямой ( 2х — у+ 2г — 12=0, 4х — 7у — г+ 6 =0 хорду, длина которой равна 8. Составить уравнения этой окружности. 1!О!. Составить уравнения окружности, проходящей через три точки М, (3; — 1; -2), М2(1; 1; — 2) и Мз( — 1; 3; О). 1102.
Даны две сферы (х — ~,)2+ (у — пе)2+ (г — Р,)'= Ф, ~Ь (х — э!2) + (у — п2)' + (г — р,) = тС22, которые пересекаются по окружности, лежащей в неко- торой плоскости т. Доказать, что любая сфера, про- ходящая через окружность пересечения данных сфер, а также плоскость т могут быть представлены урав- нением вида а<(х — т,)'+(д — и,) +(г — Р1) — й1 + + <! <(х — п22) + (у — иэ) + (г —,о,) — Я2( = О при надлежащем выборе чисел а и 6.
1103. Составить уравнение плоскости, проходящей через линию пересечения двух сфер: 2х2+ 2у2+ 2гз+ Зх — 2у+ г — 5 = О, х2+ у2+ гз — х + Зу — 2г+ 1 = О, !104. Составить уравнение сферы, проходящей через начало координат и окружность ( х2 < у2 < г2 2х — Зу+ 5г — 5= О. !68 ::";;:-",':.:-:.; 1105, Составить уравнение сферы, проходящей через :,;:,::, '.
'о«кружность х'+ у2+ г2 — 2х+ Зд — бг — 5 = О, бх+ 2у — г — 3= 0 и точку А(2; — 1; 1). 1106. Составить уравнение сферы, проходящей через две окружности: х' -(- г' = 25, ~ х' -<- г' = !6, 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 2 ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ г у=2, < у=З. -2-! 1107. Составить уравнение касательной плоскости к сфере х'+ уз+ г2=49 в точке М,(6; — 3; — 2). 1108. Доказать, что плоскость 2х — 6у+ Зг — 49=0 касается сферы хэ+ дз+ гэ = 49.
Вычислить координаты точки касания. 1109. При каких значениях а плоскость х+ у+ г = а касается сферы х'+ д«+ 22=-12. 1110. Составить уравнение касательной плоскости к' сфере (х — 3)'+(у — 1)'+ (г+ 2)2=24 в точке М, ( — 1; 3; О), 1111. Точка М, (х„у„. г,) лежит на сфере хэ+у2+г2=«'-'. Составить уравнение касательной плоскости к этой 'сфере в точке М,. И12. Вывести условие, прн котором плоскость Ах+ +Вд+ Сг+,0 =0 касается сферы хз+ уэ+ гэ= К'. 1113.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
