Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Уравие лается уравнением :узка плоскостей. 'эк'::,:,:: Если а ть О, то, полагая — л, уравнение (2) можно првэссти „,ге-:,.:-'.-;-:,'::, А,х+ В,у+ С,а+ Р, + Х (А,х+ Веу+ С,г+ Ре) - О. (3) ,-'ф; ° В таком виде уравяение пучка алосносте '~~~,!-';:;::Стельно, чем уравясвве (2), однако уравнением ,.,'!:,.;:,:;. лить все плоскости пу~ка, за исключением то ',:,~-'~:,'~'::етвует а О, т. е. зз исключением плоскости 131 982. Составить уравнения прямых, образованных пересечением плоскости 5х — Уу + 2г — 3 = 0 с коорди- натными плоскостями.
983. Составить уравнения прямой, образованной пересечением плоскости Зх — у-7г + 9 = 0 с плоскостью, проходящей через ось Ох и точки Е(3; 2; — 5). 984. Найти точки пересечения прямой ! 2х+ д — г — 3= О, х+у+г-1 О с координатными плоскостями. 985. Доказать, что прямая 2х — Зу + 5г — 6 = О, х+ 5у — 7г+ 10=0 пересекает ось Од. 986. Определить, при каком значении В прямая 2х 1 Зд — г+ В=О, Зх — 2у+ 2г — 6=0 пересекает: 1) ось Ох; 2) ось Оу; 3) ось Ог. 987.
Найти соотношения, которым должны удовле. творять коэффициенты уравнений прямой с А,х+ В,у+ С,г+ В, = О, А,х+ В,у+ С,г+ В,=О для того, чтобы эта прямая была параллельна: 1) оси Ох; 2) осн Оу; 3) оси Ог, 988. Найти соотношения, которым должны удовле. творять коэффициенты уравнений прямой < Ах+ В у+Сг+ В,=О, Азх+ Вьу+ Сзг+ Р, =0 для того, чтобы эта прямая пересекала: 1) ось абсцисс; 2) ось ординат; 3) ось апликат; 4) совпадала с осью абсцисс; 5) совпадала с осью ординат; 6) совпадала с осью апликат.
989. В пучке плоскостей 2х — Зу+ г — 3+ Х(х+Зу+ +2г+1)=0 найти плоскость, которая: 1) проходит через точку М,(1; — 2; 3); 2) параллельна оси Ох; 3) парал- лельна осн Оу; 4) параллельна оси Ог. 152 Г;:;;,;::. 990. Составить уравнение плоскости, которая про. Г:: "ь,колит через прямую пересечения плоскостей Зх — у + ;;+ 2г+9 = О, х+г — З=О: 1) и через точку М, (4; — 2; — 31; ",2) параллельно осн Ох; 3) параллельно осп Оу, 4) парал. ',;,:.:9)ельне оси Ог.
991. Составить уравнение плоскости, проходящей ,)":"„::.Через прямую пересечения плоскостей 2х — д+ 3- — 5=0, = ',',.:;;к+ 2у — г+ 2=0 параллельно вектору 1=(2; — 1; — 2). 992. Составить уравнение плоскости, проходяще; <~",'..;~,,";-,"::;.через прямтю пересечения плоскостей бх — 2у — г — 3 = О, "~~-:.",::."::,х+Зу — 2г+ 5=-0 параллельно вектору 1=(7; 9; 17,'. 993. Сос аси ь гравнс нн; и ю'кости, проходящей '-"::::.:.;через прямую пер "сечения плоскостей Зх — 2у -1- --3 = О, ;:-;;", х — 2г =.— О нерп'чдикулярно плоскости т — 2у+г (- 5 --- О. 994.
Сост:;в ~ть уравнение плоскости, проходящей ,„"::!:,,через прямую 52 — д — 2г — 3=0, Зх — 2у — 5г+ 2=0 ,-'~':::;:; перпендикулярно плоскости х + 19у — 7г — 11 = О. 995. Составить уравнение плоскости, которая прохо- '!Ф':,;:::„;'днт через прямую пересечения плоскостей 2х + у — г + ~~~,:;':: '+ 1 = О, х+ у+ 2г+ 1 =-О параллельно отрезку, ограннченному точками М;(2: 5; — 3) и М,(3; — 2; 2).
996. Написать уравнение плоскости, принадлежащей пучку плоскостей а(Зх — 4у+ г+6) + 6(2х — Зу+г+2) = О ;-;-'„-'=.,Н равноудаленной от точек М,(3; — 4, — 6), М,(1; 2; 2). 997. Определить„прннадлезкит ли плоскость 4х — 8д+ + 17г — 8 = 0 пучку плоскостей а(5х — у+ 4г — 1) + +6(2х+ 2у — Зг+ 2) = О. 998. Определить, принадлежит ли плоскость 5х— -9у — 2г+ 12 =0 пучку плоскостей а(2х — Зу+ г — 5)+ ~~::::::!'';:.: '+ (1 (х — 2у — г — 7) = О.
999. Определить, при каких значениях 1 и ги пло- 'скость 5х+ 1у+ 4г+ т =0 принадлежит пучку плоско!!';":;.''стей а(Зх — 7у+ г — 3)+ 6(х — 9у — 2г+ 5) =-О. 1000. Написать уравнение плоскости, которая прн« .',< 'надлежит пучку плоскостеи а(х — Зу+ 7г+ 36) + ',:Й;. + 6(2х+ у — г — 15) =0 и отстоит от начала координат ';:-'-:,::;, на расстоянии р=З. 1001. Написать уравнение плоскости, которая при- ,„~ '!;::-:надлежит пучку плоскостей а(10х — 8у — 15г+ 56) -1- ';=-':„".,:.:;:<' + р(4х+ у+ Зг — 1) 0 и отстоит от точки С (3; — 2; — 3) ';:;:,::.;:::.на расстоянии д=7.
153 1002, НИти уравнение плоскости, которая принадлежит пучку плоскостей а(4х+ 13у- 2г — 60) + р(4х+ + Зу + Зг-30) = 0 и отсекает от координатного угла Оху треугольник с площадью, равной 6 кв. ед. 1003. Составить уравнения плоскостей, проектирую. щнх прямую ~ 2х — у+2г — 3=0, х+2у — г — 1=0 и а к сорди н атные и лоскости. 1004. Составить уравнения проекций прямой х+2у — Зг — 5=0, 12х — у+ г+2=0 на координатные плоскости. 1ООХ Составить уравнение плоскости, проектирую щей прям)чо ( Зх+ 2у — г — ! =О, 2х — Зу+ 2г — 2 = 0 па плоскость х+ 2у+ Зг — 5 =-О.
1006. Составить уравнения проекции прямой с 5х — 4у — 2г — 5 = О, х+ 2г — 2=0 на плоскость 2х — у+г — 1=О. 9 42. Направляющий вектор прямой. Канонические уравнения прямой. Параметрические уравнения прямой Каждып не рзвнын кулю вектор, лежащий иа данной прямой пля лзроллельяый ей, называется нзправляющям вектором втой прячои. Направляющий вектор произвоггьной прямой в дальнейшем обозначаетсз буквой а, его коорданаты — буквами й и, и: а =(й пп п).
Если известна одна точка М,(ха; ра; з,) прямой и направляю. щвй вектор а = (й и; и), то прямая может быть определена (двумя) урзяиениями вида: х — ха гт — уа з — ха и п В таком виде уравнения прямой называются каноническими. прямой, — 1; 2), 1; — 2), ; — 6; 1) ия втой а,'.,':.;,:;:::;::,;-:.:";,,:',.'Кавоззические уравнения прямой, проходящей через две данные ;";„.;йа((яя.М, (хи рп з,) и М,(х,: уа,,)„имеют внд х — хг у — у, з — щ гз) хз — х„ уа — у, зз — з, ' —:~~,:.'."~;;".;!~:;,,:)Обозначим буквой г каждое из равпых атно пений в каиони(о~~;;~~агни уравггениях (1): мы получи ч: у — гт з — за лг х =-.-. ха+ г'Г, ( у=из+ гпд (з) ;,:,",.фйо ларамстрп;сскзе грише:щя прямой, проколлгпщ ь~~!!Фзрассмйтолвзстсаг к:к про.г1вольго в мг: яоигвйсгг лзозч ,:,'; -';~Век, что тоакз М (гк у; л,тлз;"гетсл по дзгиго!'- 1(рамой -'!~:,";; !;,.'.Если параметр 1 рзсстазтривзть кзк серсьггпяг о время, з урез.
-*" 'Каина (3) как урззлсвия двюкепяя точки Л, то ьгп ч, ззяг щя ::".";,"1фффт определять лрямоляясяное и рщщ л~арвог,таплая;к то пч М. ~!~::-:;!Ирй.г=з точка М соялгщает с точкой М,.., Скорость о тоска М о .— — р Р + иа =' па. 1007. Составить канонические уравнения прямой. ;:;-"„:";:-.'::',-:чзроходягцей через точку М:, (2; 0„— 3) тирад..ельно: ,за~!'.'1) вектору а =(2; — 3; 5); 2) прямой х „— =- — "' = ; '-;,~6$ оси Ох; 4) осн Оу; 5) осп Ог. 1008. Составить канонические уравнения грямои, =,!:-а,зз)рбходпщей через две данные точки: 1) (1; — 2; 1), ;.*:-:~3', 1; — 1); 2) (3; — 1; 0), (1; О, — 3); 3) (О; — 2; 3), : "::.(6) ' — 2; 1); 4) (1; 2; — 4), ( — 1; 2; — 4).
1009. Составить параметрические уравнения прямой, :.";.,!;,;-йроходящей через точку М,(1; — 1; — 3', параллельно: '!";,::,''' "1) вектору а = (2; — 3; 4); 2) прямой — ', -::;:~'.!$) прямой х= Зг — 1, у= — 2(+ 3, г =5г+ 2. 1010. Составить параметрические уравнения .:1."",,".";)Зроходящей через две данные точки: 1) (3; '":"-:,'~~:;-'-':42,' 1; 1); 2) (1; 1; — 2), (3; — 1; 0); 3) (О; О, 1), (О; .:~ф",:,.'. 1011. Через точки М,( — 6; 6; — 5) и Мз(12 '-.заг,:."проведена прямая.
Определить точки пересечен г-',,',~.::;:.))рямой с координатными плоскостями. !6$ 1012. Даны вершины треугольника А (3; 6; -7), В( — 5; 2; 3) и С(4; — 7; — 2). Составить параметрические уравнения его медианы, проведенной из вершины С. 1013.
Даны вершины треугольника А(3; — 1; — !), В(1; 2; — 7) и С( — 5; 14; — 3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вер. шине С. 1014, Даны вершины треугольника А(2; — 1; — 3), В (5; 2; — 7) и С(-7; 11; 6). Составить канонические уравнения биссектрисы его внешнего угла при вершине А. 1015. Даны вершины треугольника А(1; -2; — 4), В(3; 1; — 3) и С(5; 1; — 7).
Составить параметрические уравнения его высоты, опущенной ив вершины В на противоположную сторону. 1016. Дана прямая 2х — 5у+г — 3=0, х+2у — в+2=0. Вычислить проекции на оси координат какого-нибудь ее направляющего вектора а. Найти общее выражение проекций на оси координат произвольного направляю- щего вектора втой прямой. 1017. Дана прямая 2х — у+ Зг+ 1 = О, Зх+у — г †2. Найти разложение по базису 1, 1, й какого-нибудь ее направляющего вектора а. Выразить в общем виде раз- ложение по базису 1, 1, й произвольного направляющего вектора этой прямой.
1018. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М, (2; 3„— 5) параллельно прямой Зх — у+2г — 7=0, х+ Зу — 2г+ 3 =-О. 1019. Составить канонические уравнения следующих прямых; !) х — 2у+Зг — 4=0, 2) < 5х+ у+г=О, Зх+ 2у — бг — 4 = О; (2х+ Зу — 2г+ 5 =0; 3) ) х — 2у+ Зг+ 1=0, ( 2х+ у — 4г — 8 =О. 1ба рическне уравнения следую- ьность прямых: 2,г — — 1 — 7н ~ х+ 2у — 5г — 1=0, и х — 2х + Зг — 9 = О.
иуляриость прямых: Зх+ у — 5г+ 1 =-О, 2х — ', Зу — 8г+ 3 =-О; л между прямыми: х+2 ч — 3 г+5 ! ~ 1 2 ",) л между прямыми х = 3! — 2, à — 1, у=О, г=1 — 3. ус угла между прямыми: х — бу — бг+ 2 =О, 2х+ 2у+ 9г — 1 = О. рямые, заданные параметри- 1 — З,у 3! — 2, г= — 4г+6 г =1 — 4, пересекаются.
157 '=:~~':;:",::.1020. Составить парамет '"'!=;","~!щнх,прямых; '.$~-"-:;:;::: —. -".%~~-"",';:;;,'::1') 1 2х+ Зу — г — 4 =0 ';-"':"'-;,,":';-"!,: ':.'! Зх — 5у+ 2г+ 1 =О ,","-.::,' '-::, 1<091. Доказать параллел "'-'„~":-'-",:;:;:.';;::2) х = 21 + 5, у =,, — 1+ 3) < х+ д — Зг+ 1= — О, ), х — у+ г+З==О 1022. Докзззт:- перпеид~ ';"-'))::::::. 1) — ', =' „=--;-, и '::Ф':::::-'::"; 2)' х =27+ 1, у =37 — 2, ~ > и ~ ~ ~ ~ ~ ~ г ~ 2х+ у— 4х — у— х+ у — Зг — 1 =-О, 2х — у — 9г-2.=0 1023. Наити острый уго х — 3 д+2 1 — ~ 1'2 1024.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
