Сборник задач по аналитической геометрии (946870), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ходит через начало координат, Если отсутствует член с одной нз текущих координат (т. е. какой-либо из коэффициентов А, В, С равен нулю), то плоскость параллельна одной из координатных осей, именно той, которая одноимекна с отсутствующей координатой; 1. з если, кРоме того, отсУтствУет свободный член, то плоскость пРоходит чеРез эту ось. Если в уравнении отсутствуют два члена с те.
кущими координатами (какие-либо два из коэффициентов А, В, С Равны нулю), то плоскость параллельна одной из координатнык ф"г плоскостей, именно той, которзя проходит через оси, одноименные с отсутствующими коордкнатамн; если, кроме того, отсутствует сво- К-'!."!. бодный член, то плоскость совпадает с этой координатной пло- скостью. -,"~„.'с':.";:г Если в уравнении плоскости Ах+ Вд+ Сг+ В =О ня один из коэффициентов А, В, С, В яе равен нулю, то это уран. пение может быть преобразовано к виду †+ †+! х у з а Ь с (!) где В В В а= — —, о= —— с= —— А' В' С суть величины отрезков, которые плоскость отсекает нз координатных осях (считая кзждьщ от яачялз координат), Уравнение (!) иа.
зыяагтся урщзяеияем плоскости юз отрезкяхз 940. Составить уравнение плоскости. которая проходят !) серсз точку М,(2„— 3; 3) параллельно плоскости Оху, 2) через точку Мз(1; — 2; 4) параллельно плоскости Охг; 3) через точку Мз( — 5; 2; — 1) параллельно плоскости Одг. 941. Составить уравнение плоскости, которая проходит: 1) через ось Ох и точку М,(4; — 1; 2); 2) через ось Од и точку Мз(1; 4; — 3); 3) через ось Ох и точку М,,(3; — 4; 7). (зб 942. Составить уравнение плоскости, которая проходит: !) через точки М,(7; 2; — 3) и М,(5; 6; — 4) параллельно оси Охл 2) через точки Р,(21 - 1; 1) и Р,(З; 1; 2) параллельно оси Ор; 3) через точки ()2(З; -2; 5) и Оз(21 3; 1) параллельно оси Ог. 943.
Найти точки пересечения плоскости 2х — Зд— — 4г — 24=0 с осями координат. 944. Дано уравнение плоскости х+ 29 — Зг — 6 = О, Написать для нес уравнение «в отрезкзх2". 945. Найти отрезки, отсекаемые плоскостью Зх— — 49 -- 24г + 12.= 0 на координатных осях. 946, Выси!сли'гь площадь треугольника, которыи Отсекает плоскость 5х — 6у+ Зг-':- 120 =0 от кгзордннзтного угла Ог)Ь 947.
ВЬ!г!22-Л!2«Ь ОЙЪЕМ Пираиидм, ОГраии1ещщй ПЛО- скость о 2х — Зп+ 6г — 12 =-0 и координзтиыь;и плоско- 948. Плоскость проходит через точку гЦ,, (6; — 10; 1) и отсекает на оси абсиисс отрезок а = -3 н нз Осн апликат гзтрзсзгз!с с= — 2, Составить для агой плоскости УРЗВПЕПНЕ с В ОТ;2СЗКЗХ22, 949, ПЛОСКОСТЬ ПрОХОдит ЧЕРЕЗ ТОгиеи гу1, (1; 2; — 1) И Ме( — 3; 2; 11 и отсекает на осн орды!Ит отрезок Ь = — 3. Составить для втс29 плоскости уравнение «и отрезКакзз. Пой. Составить уравнение плоскости, которая проходит через точку М! (2; — 3; — 4) и отсекает па коордннатньх осях отл!явные от нуля отрезки одинаковой ВЕЛИЧИНЫ (Ген!Таи КаждЫИ ОТРЕЗОК НаПРаВЛСННЫМ НЗ Начала координат). 951.
Составить )равиеипс плоскости, которая про" ходит через точки М2( — 1; 4; — 1), Мз( — 13: 2; — 10) и отсекает на осях абсписс и апликат отличнь!е от нуля отрезки одинаковой длины. 952. Состав!!ть уравнения плоскостей, которые проходят через точку М,(4; 3; 2) и отсекают на координатных осях отличные от нуля отрезки одинаковой длины. 953. Составить уравнение плоскости, отсека!Он!гй на оси Ог отрезок с=--5 и перпендикулярной к ве11- тору и =( — 2; 1; 3). 146 954.
Составить уравнение плоскости, параллельной вектору 1=(2; 1; -Ц и отсекающей на координатных осях Ох и Оу отрезки а=З, (2= — 2. 955. Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости 2х — 2у+ 4г — 5 = 0 и отсекающей иа координатных осях Ох и Оу отрезки а= — 2„5 =- —.
2 Й 40. Нормальное уравнение плоскости, Расстояние ОТ ТОЧКИ ДО ПЛОСКОСТИ (зс!2ь2ап22ь2з! увзз22г222зсз! плоскости яззь22222сггя ее уозвяские, п2ы2чс,з22яое в вкае ' хсоза+ у сокр+ в сов у — и =-62, (:) глз гоз а, гоз р, сг. у суть вапрзвля«2!лис косю!усы порвали плоскости, р — рзсстозп2яе Ло плоскосгя от качала коорляяаг. Пр!' вычяс.чгюж кю рзвзя о!пах ког.!кусов 22оозгзл22 слсчуег считать, чго опа юпрввлека оз начала ксс2рл222!.;г к 22лоскост22 (если же плоскость аролюлкт через качало кое(2:2п22а;-, го 22гсг2г2п;!слезки. з ельяого кзп12аг2лг2П22! копь2злз! бсзр 2«лп екз Ф',: от яге до дг2кпоя плоскости.
Огклояскчев Ь точки М" от Лап22оа . "г плоское'.и '22азы22зстся" ч, ело + г(, ыл:-'. то!«а 21(уя 2!а!зло 'коорДават Лежат ПО Ра«ВЫЕ СТОРОЯЫ 2Г Лая!в!2! ггЛОСКОС2П. Я ЧПСЛΠ— аГ, фйс" ио22чялькыи урггв22сяясы с з ь З г у д х соз а + у соз р + в соз Т вЂ” р —. 2Ь то отклояея22е тожк М' о; ага!1 пзюскостп лас2ся форзгулой Ь вЂ” — х'сова+ у'сок б+ г'сову — р. Озег2ядкс2, г( — —. (Ь ( Обп;ге ураввеяке плоскости Ах+ Ву+ Сх+ В =-О пр2222олктса к нормальяому вкку (1) умко2«епяез! яа пормпруюзпий ыясзкягель, определяемый фо2зкулой 1 )' Аз + Вз + С' знак пормирующего мяожятсля берется противоположиым знаку ".'~'»,':„::;,!' свободяого члена иормпруемого уравнения.
147 956. Определить, какие нз следуюшнх уравнений плоскостей являются нормальными: 2 ! ! -х+ — у — г — 3 = 0' 3 з з 957. Прявестн каждое нз следу!ощнх уравнений пло. скостей к нормальному виду: 1) 2х — 2д+г — 18=0; 2) — х — — д+ — г+ 3=0! 3 В 2 7' 7 7 3) 4х — бу — 12г — 11=0; 4) — 4х — 4у+ 2г+ 1=-0; 5) 5р — 12г+ 26=0; 6) Зх — 4д — 1=0; 7) у + 2 =- О; 8) — х + 5 = 0; 9) — г+3=0! 10) 2г — 1 =О.
958. Для каждой из следую!них плоскостей вычислить углы о, ») и у., образуемые нормалью с осями координат, н расстояяне р от начала координат: 1) х+ у T2+г — 10=0; 2) х — р — г$~2+ 16=0! 3) х+ г — 6=0; 4) у — г+ 2=0; 5) х )/3+ 9+ 10=-0; 6) г — 2=0! 7) 2х+ 1=0; 8) 2у+ 1=0; 9) х — 2у+2г — б 0; 10) 2х+ Зу — бг+ 4= О, 939. Вычислять величину отклонения б н расстояние д точки от плоскостн в каждом нз следующих случаев; 1) М!(-2; — 4; 3), 2х — у+2г+ 3=0; 2) Мз(2; — 1'! — 1), 16х — 12у+ 15г — 4 = О; 3) Мз(1; 2; -3), 5х — Зу+ г+ 4 = 0; 4) М,(3; — 6; 7), 4х — Зг — 1 = О; 5) Ма(9; 2; — 2), 12у — 5г+5* О. !43 1) — х — у — г-5=0; 2) ! 2 2 з з з 3) =,х — д+ — тг+5=0; 4) В З 3 4 5) -'х — — г — З=О 6) В 7) — 'у — — г — 1=0; 8) В !2 !3 !3 9) х — 1=0; 10) 11) — у — 2=0; 12) е з, — — х-» — у — „г — 5=0; 7 7д —.р + — г+ 1 =О! В !2 !3 !3 4 3 х — --д+ 3 — --0; В 3 у+2 =О; г — 5=0.
! ! 1 960. Вычислить расстояние с! от точки -",:::::";до плоскости, проходящей через трн точки М,( — 2; 1; 3) н Мз(4! -51 -2) 961. Определить, лежат ли точка Я(21 Ф„.-'.;,::::,''", чало координат по одну или по разные с сительно каждой из следующих плоскосте 1) бх — Зу+ г — 18 = 0; 2) 2х+ 7д 3) х+бу+12г — 1=0; 4) 2х — у 5) 2х+ Зд — бг+ 2 = 0; 6) Зх — 2у 962. Доказать, что плоскость Зх — 4у ~~;;;::!!':-'. пересекает отрезок, ограниченный точками ~.'!::;::,:; н Мт( — 2; 5; 2). 963.
Доказать, что плоскость 5х — 2у+ пересекает отрезка, ограниченного точками 1-',"!!:,::;,' н М,(2; 5; 0). 964. В каждом нз следующих случае .,-',";1;:" 'расстояние между параллельными плоскос 1) х — 2д — 2г — 12=0, '~'2) 2х — Зу+ х — 2у — 2г — 6=0; 4х — бд ' 3) 2х — у+2г+9=0, 4) 16х+12у 4х — 2у+ 4г — 21 = 0; 16х+12у 5) ЗОх — 32у+24г — 75 = О, 6) бх — !8д 15х — 16у+12г — 25 = 0; 4х — 12у -1; !) н на- тороны отпой! +Зг+1= О; +я+11= 0; +2г — 7=0. — 2г+5=0 М,(З; — 2; 1) г — 1=0 не М,(1; 4; — 3) в вычислить тями: бг-!4 = 0 + 12г+21 = 0' — !5г+50=0, — 15г+ 25=0; — 9г — 28 =- О, — бг — 7=0 965.
Две грани куба лежат на плоскостях 2х — 2у + + г — 1 = О, 2х — 2у + г + 5 = О. Вычислить объем этого куба. 966. На оси Оу найтя точку, отстоящую от плоскости х+ 2у — 2г — 2=0 на расстоянии г(=4. 967. На оси Ог найти точку, равноудаленную от точки М(1; — 2; 0) н от плоскости Зх — 2у+ бг — 9 = О. 968. На оси Ох найти точку, равноудаленную от двух плоскостейл 12х — 1бу+!5г+ 1 =0, 2х+ 2р — г — 1 =О.
969. Вывести уравнение геометрического места точек, отклонение которых от плоскости 4х — 4у — 2г + 3 = 0 равно 2. 970. Вывести уравнение геометрического места точек, ,,:::.".;:,:;:::..„::: отклонение которых от плоскости бх+ Зу+ 2г — 10=0 равно — 3. !49 971. Составить уравнения плоскостей, параллельных плоскости 2х — 2у — г — 3=-0 н отстоящих от нее на расстоянии д = 5.
972. В каждом из следующих случаев составить уравнение геометрического места точек, рзвноудаленных от двух параллельных плоскостей; 1) 4х — у — 2г — 3=-0, 2) Зх 4-2д — г-, '3=0, 4х — у — 2я — 5=0; Зх + 2д — в — 1 == 01 3) 5х — Зу+ я+ 3=0, 10х — бу '- 2н+ 7=-О. 973.
В каждом из следую1них слу гаев состпзпть урпзпспия плоскостей, которь1е деляг пополам лпугранпь1с уплыл ооразопзн11п~ двумя гщресскаю1ппмися плос к о с т я и и .* 1) х — Зд+ 2л — 5 =-- О, 2) бх — 5д — 2н — 3 = О, Зх — 2д — н+ 3 == 0: х — , '7д — 2х -!- 1 == О' 3) 2х — д-ь Зн+ 3 ===0,. 2х -- 10д + 4л -- 2 =. О. 974. В каждом нз следующих случаев опрсдеп1ть, 11сткзг лг1 то1чкп М (2; — 1; 3) и напало 1сооо:1н:1аг в оспом, и смсжнь!х илп гсртпк11т1ьных дпугрпп!1ых углах, обр11 зоппнных при пгр, сечении лгух 11лоскостей: 1) 2х — у+ 3 — 5=-0, 2) 2х+Зд — бг — !5.= — О, Зх+ 2д--г+ 3=0; 5, 3 7 3) х-'; бд — н+! =-О, 2х -',- 17д -1- л -Р 2 = О.
975. В каждом из слсдую1ннх 1лучасв определить, лежит лп точки М(2; — 1; 1) и гт'(1; 2; — 3) в одном, в смежных пл11 Верт'.1кальных дву'. рапнь1х углах, сора зопзпных при пересечении двух плоскссте1111 1,) Зх — у — ', 2г — 3-=-0, 2) 2х — д+бз — 1=-0, х — 2у — н-'-4=-0; Зх — 2д+бг — 1= — -О. 976, Опрсделит1, лежит ли начало координат внутри острого или тупого угла, образованного двумя пло- скостями: х — 2д+ Зз — 5.=-0, 2х — у — н+ 3 = — О. 977.
Определить, лежит лп точка М(3; 2; — 1) внутри острого или тупого угла, образованного двумя плоско. стяни: 5х — у ', х -'. 3 = О, 4х — Зу + 2н + 5 = О. 1ОО делящей попоя плоскостями О, в котором авнениями (1) и а авные нусю! тогда й более употреби- (3) можно опредей, которой соответ- А,х+ Веу+ С,а+ 978. Составить уравнение плоскости, делящей попо;, лам тот двугранный угол между двумя плоскостями -: Йх- 14д+ бг — 1 = О„Зх+ бу — 5г+ 3 = О, в котором (наа(„::лежит начало координат. 979. Составить уравнение плоскости, лам тот двугранный угол между двум ~ ...',:,':::,':'.':2х — у + 2г — 3 = О, Зх+ 2у — 62 — 1 = ~,.',".,'','„-",.."..,"," лежит точка М(1; 2; -3).
980. Составить уравнение плоскости, которая делит 1 ,, пополам острый двугранный угол, образованный двумя плоскостями: 2х — Зу — 4г — 3 = О, 4х — Зу — 2г — 3 = О. 981. Составить уравнение плоскости, которая делит ~~:;;"!;-:':;:"!: пополам тупой двугранный угол, образованный двумя ; ;",';=-;;;,'::;:,плоскостямн: Зх — 4у — а+ 5=0, 4х — Зу+а+ 5=-0. В~",",",-,'-„' 6 41. Уравнения прямой Ф:;-: Прят ев как пересечение двух плоскостей определяется совмест- ным за;щщем двух уравнений первой степени: Ф" . ~ А,х+В;у+С,а+Р, О, (1) ! А,х+Ву+Ста+Р,-О при условии, что коэффициенты А„ В„ С, первого из внх не про. ;-()рл.;;;::,", порсвональвы ксэффядиенгам А, В,, С, второго (в противном „„,';()тг',,",':-.случае эти уравнения будут определять параллельные или слив- Пусть некоторая прямая а определспа ур ,'.М~!;::::.н р — кпквг угодно псла, одвогрсмевпо не р а 1 Ах + В у + Сг + Р, ) + р (Аех + Ву + Сев + Р) О (2) ',"'.~э;:„;":::;.топрсделяет плоскость, проходящую через прячу Уравнением вида (2) (прв соответствующем ;,Г!!,::: можно определить попую плоскость, проходящу Совокупность всех плоскостей, проходящих :э.,;,.'!!!а)' прямую, называется пучком плоскостей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
